海南省海口市琼山区海南中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题+答案

这是一份海南省海口市琼山区海南中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题+答案，共15页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，已知直线l，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

海南中学2025届高三年级第一次月考数学试题卷 时间：120分钟 满分：150分 命题人：余书胜潘小芳
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡相应位置上
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写 在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸 和答题卡上的非答题区域均无效。
第Ⅰ卷(选择题)
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.
1.已知集合A={x|00 且cb>0, 则
4.已知直线l:x+my+2=0 和₂ : mx+9y+6=0 互相平行，则实数m 的 值 为 ( )
A.m=-3或m=3 B.m=-3 C.m=3 D.m=0
5.双曲线4x²-y²=4a(a≠0) 的渐近线方程为( )
A.y=土x B.y=±2x C.y=± D.y=±ax
6.已知函数 满足对任意实数, 都有 成立，则a的取值范围
是( )
A.(0,3) B. c. D.[2,3]
7.高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函 数”为： 设x∈R , 用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数例如：[-2.1]=-3,[3.1]=3,若函数则函数y=[f(x)]的值域为( )
试卷第1页，共4页
A.{1,2,3} B.{0,1,2,3} C.{1,2,3,4} D.{2,3,4,5}
8.已知函数f(x) 的定义域为R,y=f(x)-4e* 为奇函数，y=f(x)+2e² 为偶函数，则f(x) 的最小值为()
A.2√3 B.4√3 C.6√3 D.8√3
二 、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的部分给分.
9.下列说法正确的是()
A.a+1 ab, ab > b2 ，即 a2 > ab > b2 ，故 B 为真命题；
对于选项 C ：若 a > b > 0 ，则 a2 > b2 > 0 ，可得 < ，
c c
因为c < 0 ，所以 a2 > b2 ，故 C 为真命题；
对于选项 D ：例如c = 0 ，则ac2 = bc2 = 0 ，故 D 为假命题； 故选：D.
4．【详解】直线l1 : x + my + 2 = 0 和l2 : mx + 9y + 6 = 0 互相平行,显然m = 0 不合题意，则 = ≠ .解得m = -3 . 故选：B.
5 ．【详解】双曲线4x2 - y2 = 4a 即 故渐近线方程为x = ±2x .故选：B
6 ．【详解】因为函数f (x) 满足对任意实数x1 ≠ x2 ，都有 < 0 成立，
不妨假设x1 < x2 ，则x2 - x1 > 0 ，可得f (x2 ) -f (x1 ) < 0 ，即f (x1 ) > f (x2 ) ，
-a + 6 ≥ a
可知函数 f (x) 在 R 上递减，则 ，解得： 2 ≤ a ≤ 3 ，
l
所以a 的取值范围是[2, 3] .故选：D.
7 ．【详解】 f (x) = = 1+ ，
: 2x > 0, :1+ 2x > 1, 0 < < 1 ，则1 < 1+ < 5 ，即1 < f (x) < 5 ，
当1 < f (x) < 2 时， f (x ) = 1 ；当2 ≤ f (x) < 3 时， f (x) = 2 ；
当3 ≤ f (x) < 4 时， f (x ) = 3 ；当4 ≤ f (x) < 5 时， f (x) = 4 ， 综上，函数y = f (x ) 的值域为{1, 2, 3, 4} .
故选：C.
8 ．【详解】 由y = f(x) - 4ex 是奇函数，得f(-x) - 4e-x = -f(x)+ 4ex ， 由y = f(x) + 2ex 是偶函数，得f(-x)+ 2e-x = f(x)+ 2ex ，
联立解得 f(x) = ex + 3e-x ≥ 2 · = 2 ·i3 ，当且仅当ex = 3e-x ，即x = ln 3 时取等号， 所以 f (x) 的最小值是2 .故选：A
二、多项选择题:本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求的.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的部分给分.
9．【详解】对于 A ，由a < a +1 ，a +1 < b ，得a < b ；反之若a < b ，而a < a +1 ，不能判断a +1 与b 的大小， 因此 a +1 ，C 错误；
对于 D ，由M ∩ N = N ，得 N 二 M ，由M = {1, 3} ，得M 有 4 个子集，因此集合 N 的个数为 4 ，D 正确. 故选：AD
10 ．【详解】因为a > 0 ，b > 0 且a + b = 1 ， 2a + 2b ≥ 2 · = 2 · = 2 · , 当且仅当 a = b = 时取“ = ” ，故 A 正确；
因为sab ≤ = ，所以( + )2 = a + b + 2 ·iab = 1+ 2vab ≤ 2 ， 所以 ·ia + ≤ ·i2 ，当且仅当a = b = 时，等号成立，故 B 正确； + ≥ 2 ·× = 2 · = ·、i2 ，当且仅当a = b = 时取“ = ”，
由 B 选项可知， ·ia + ≤ ·i2 ，所以 + ≥ 、ia + ， 当且仅当 a = b = 时，等号成立，故 D 正确；
a2 + b = a2 +1 - a = (|( a - ), 2 + ，当 a = b = 时， (|( a - ), 2 + 有最小值 ，
即a2 + b ≥ , 故 C 错误.
故选：ABD
11 ．【详解】令g(x) = f (x +1) ，因为f (x +1) 是奇函数，
所以g (-x ) = f (-x + 1) = -g (x ) = -f(x + 1) ，
即f (-x +1) = -f (x +1) , f (x ) 的图象关于点(1, 0) 对称. 令h (x) = f (x + 2) ，因为f (x + 2) 是偶函数，
所以h (-x ) = f (-x + 2) = h (x ) = f (x + 2) ，
即f (-x + 2) = f (x + 2) , f (x ) 的图象关于直线x = 2 对称.
A 选项，由f (-x +1) = -f (x +1) ，令x = 0 ，可得f (1) = -f (1) → f (1) = 0 ， 由f (-x + 2) = -f (x + 2) ，令x = 1 ，可得f (1) = f (3) = 0 ，故 A 正确.
B 选项，由f (-x + 2) = f (x + 2) ，令x = 2 ，可得f (0) = f (4) ，故 B 正确.
C 选项，由f (-x +1) = -f (x +1) ，令x = ，可得 ，故 C 正确.
D 选项，由 f (x )在[1, 2]上单调递减，结合f (x ) 的图象关于点(1, 0) 对称，可知f (x )在[0, 1]上单调递减， 由f (1) = 0 可知f (x )在[0, 2]上单调递减，又f (x ) 的图象关于直线x = 2 对称，则f (x )在[2, 4] 上单调递增， 故 D 错误.
故选:ABC .
第 II 卷 (非选择题 共 90 分)
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.把答案填在答题卡的相应位置.
12 ．【详解】等价于x(x +1) > 0 ，解集为 (-∞ , -1) u (0, +∞) .
13 ．【详解】 ∵ -1 ≤ x ≤ 3 ， ∴ -1 ≤ 2x +1≤ 7 ， ∴ f (x ) 的定义域为[-1, 7] ．故答案为： [-1, 7] .
14 ．【详解】 由P 为圆 A : (x -1)2 + y2 = 4 上一动点，得A(1，0)，AP = 2 ， 由Q 为圆B : (x - 3)2 + (y - 4)2 = 1上一动点，得B(3, 4), BQ = 1，
又iAOi = 1, iACi = 4 . 因为 上ACP = 上ACP ，所以△ACP ∽△APO ，
于是| PC |= 2 | PO | . 当P, Q, B 共线且PQ < PB 时 PQ + PB 取得最小值，即 PQ + PB ≥ 2PB -1 .
所以PC + PQ + PB ≥ 2PO + 2PB -1 ≥ 2OB -1 = 2 (3 - 0)2 + (4 - 0)2 -1 = 9 ，
当O, P, B 共线时等号成立. 故答案为：9 .
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15 ．【详解】（1）因函数y = f (x ) 满足f (x + 3) = -f (x ) ，且当x ∈[0, 3) 时， f (x) = x ，
所以 f(4) = -f(1) = -1 ， f(6) = -f(3) = f(0) = 0 ， f(8) = -f(5) = f(2) = 2 .
（2）函数y = f (x ) 的一个周期T = 6 ，
因函数y = f (x ) 满足f (x + 3) = -f (x ) ，则f(x + 6) = -f(x + 3) = - [-f(x)] = f(x) ， 所以函数y = f (x ) 的一个周期T = 6 .
16 ．【详解】（1） 由题意可得
即ax2 + bx + c = -ax2 + bx - c ，即ax2 + c = 0 ，故a = 0 ， c = 0 ，
又f (1) = = = ，故b = 1 ，即f (x ) = ；
（2） f (x )在[-2,2] 上单调递增，证明如下：
设-2 ≤ x1 < x2 ≤ 2 ，
则f (x1 )-f (x2 ) = - = x1 (x(+44))-(EQ \* jc3 \* hps21 \\al(\s\up 10(x),x) 4)
= x1x2EQ \* jc3 \* hps13 \\al(\s\up 0(2),1)xEQ \* jc3 \* hps13 \\al(\s\up 8(1),4))-(EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 11(x),x) EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 11(-),4)x2 = (x(EQ \* jc3 \* hps13 \\al(\s\up 9(1),x)1EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 12(-),2)EQ \* jc3 \* hps13 \\al(\s\up 9(2),4)))(1EQ \* jc3 \* hps20 \\al(\s\up 12(x),4)) ，
由-2 ≤ x1 < x2 ≤ 2 ，则x1 - x2 < 0 ， 4 - x1x2 > 0 ， (xEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(2),1) + 4)(xEQ \* jc3 \* hps12 \\al(\s\up 5(2),2) + 4) > 0 ，
故f (x1 )-f (x2 ) < 0 ，
故f (x )在[-2,2] 上单调递增；
（3） 由函数f (x ) 为奇函数，故f (x -1) < -f (x) = f (-x)，
又函数f (x ) 在[-2,2] 上单调递增，故有≤ 2 ，解得x ∈
所以不等式的解集为 .
所以，当VAOB 的面积最小时，VAOB 的周长为6 + 2 ·5 ，此时直线l 的方程为x + 2y - 4 = 0 .
17 ．【详解】（1）令CP∩ DE = G ，连接FG ，
由四边形PDCE 为矩形，得G 为PC 中点，又F 为PA 中点，则 AC / /FG ，
又FG 平面DEF ， AC 丈 平面DEF ，所以 AC / / 平面DEF .
（2） 由PD 垂直于梯形ABCD 所在平面， 上ADC = 90。，得直线DA, DC, DP 两两垂直， 以D 为坐标原点，直线DA, DC, DP 分别为x, y, z 轴建立空间直角坐标系，
则B(1, 1, 0), C(0, 2, 0), P(0, 0, ·i2 ) ，
设平面BCP 的法向量 ，则 = 0 ，令y = 1 ，得 由z 轴丄平面 ABCD ，得平面 ABCD 的法向量 = (0, 0, 1) ，
则| cs 所以平面ABCD 与平面BCP 的夹角的余弦值为 .
18 ．【详解】（1） 由题意知，ξ的可能取值有 0 ，1 ，2 ，3 ， P
所以ξ的分布列为：
试卷第5页，共 7页
ξ
0
1
2
3
E (ξ) = 0 × +1× + 2× + 3× = .
（2）因为甲、乙两人每次答题相互独立，设甲答对题数为X ，则X ~ B(2, P1 ) ， 设乙答对题数为η , 则η~ B(2, P2 )，
设“A = 甲、乙两位同学在每轮答题中取胜”,
则P(A) = P (X = 1)P (η = 2) + P(X = 2)P (η = 1) + P(X = 2)P (η = 2) =CEQ \* jc3 \* hps11 \\al(\s\up 4(1),2)P1 (1- P1 ) CEQ \* jc3 \* hps11 \\al(\s\up 4(2),2)P22 + CEQ \* jc3 \* hps11 \\al(\s\up 4(2),2)P12 CEQ \* jc3 \* hps11 \\al(\s\up 4(1),2)P2 (1- P2 ) + CEQ \* jc3 \* hps11 \\al(\s\up 4(2),2)P12 CEQ \* jc3 \* hps11 \\al(\s\up 4(2),2)P22
= 2P1 (1- P1 )P22 + 2P2 (1- P2 )P12 + P12P22
2 2 8
= -3P1 P2 + 3 P1P2
由0 ≤ P1 ≤ 1, 0 ≤ P2 ≤ 1 ，又p1 + p2 = ，所以 ≤ P1 ≤ 1 ，
则P1P2 = P1 (|( - P1), = P1 - PEQ \* jc3 \* hps13 \\al(\s\up 6(2),1) ，又 ≤ P1 ≤ 1 ，所以P1P2 ∈ , ，
设t = P1P2 ，所以P(A) = -3t 2 + t ,t ∈ , ，由二次函数可知当t = 时取最大值 ，
27 .
所以甲、乙两位同学在每轮答题中取胜的概率的最大值为 16
19 ．【详解】（1）在椭圆 C 中，令x = c ，可得y = ± , 故有 = 3 ，而c = 1 ， a2 = b2 + c2 ，解得a2 = 4 ， b2 = 3 ， c2 = 1 ，故椭圆 C 的标准方程为 + = 1 .
（2）(ⅰ) 设 l： x = ty +1 ，将 l 与 C 联立可得： (3t2 + 4)y2 + 6ty -9 = 0 .
设A(X1, y1 ，B X2, y2) ，则y1 + y2 = ， y1y2 = .
( x 1 y ) ( x 1 y ) ( x x 1 y y ) ( x x 1 y y )
则D - 2 , ， E - 2 , ，M + - 4 , + ， N + - 4 , + 41 , .
①当 l 与 x 轴垂直时， x1 = x2 ，此时xM = - = xN ，故MNⅡAB ；
y1 - y2
②当 l 与 x 轴不垂直时kMN = = = = kAB ，也有MNⅡAB .
4
综上，MN ⅡAB ．故 AB = ·1+ t2 y1 - y2 ，
而 MN = yM - yN = = AB ，故 = .
P
4
35
18
35
12
35
1
35
由 可知： MN ⅡAB ，故lMN ： x -
令y = 0 ，解得x =
lMN 恒过定点 ．设 到 MN 与AB 的距离分别为d1 与d2 ， △F1AB 的面积为S1 ，则
r
因为y = 3r + 在 上单调递增，故3r + 则 . 综上所述，S 的取值范围为 .
试卷第 7页，共 7页
试卷第4页，共4页