初中3.1 圆优秀达标测试

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1．“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”这是《九章算术》中的一个问题，用现代的语言表述为：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE=1寸，弦AB=10寸，求⊙O的半径
2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB.垂足为P.若CD=AP=8，求⊙O的半径.
3．如图，弓形ADB的跨度AB＝8，高CD＝3，求弓形所在圆的直径长
4．大武口青山公园地上有一排大理石球，小明想测量球的半径，于是找了两块厚20cm的砖塞在球的两侧（如图所示），他量了下两砖之间的距离刚好是80cm，聪明的你，求大理石球的半径．
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5．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EB．若AB＝4，CD＝1，求EB的长
6．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，连接AO并延长，交⊙O于点E，连接BE，DE．若DE＝3DO，AB＝6，求线段OD的长
7．如图是某品牌的香水瓶．从正面看上去它可以近似看作⊙O割去两个弓形后余下的部分，与矩形ABCD组合而成的图形（点B，C在⊙O上），其中BC∥EF；已知⊙O的半径为25，BC＝14，AB＝26，EF＝48，求香水瓶的高度h
8．如图，AB为⊙O的直径，点C是弧BE的中点．过点C作CD⊥AB于点G，交⊙O于点D，若BE=8，BG=2，求⊙O的半径长
连续递推，豁然开朗
9．如图，在圆O内有折线OABC，其中OA=8，AB=12，∠A=∠B=60°，求BC的长
10．如图，点A，C，D均在⊙O上，点B在⊙O内，且AB⊥BC于点B，BC⊥CD于点C，若AB＝4，BC＝8，CD＝2，求⊙O的面积
11．如图，正方形ABCD和正方形BEFG的顶点分别在半圆O的直径和圆周上，若BG＝4，求半圆O的半径
思维拓展，更上一层
12.．如图，用3个边长为1的正方形组成一个对称图形，求能将其完全覆盖的圆的最小半径
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参考答案
1.【解析】连接OA，如图所示，
设直径CD的长为2x，则半径OC=x，
∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB=10，
∴AE=BE=12AB=12×10=5，而OA=OC=x，
根据勾股定理得x2=52+(x−1)2，解得x=13，即⊙O的半径为13寸．
2.【解析】如图，连接 OC .
∵AP=8 ，∴AP=OA+OP=OC+OP=8 .
设 OP=x ，则 OC=8−x .
∵AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB. 垂足为 P ，∴CP=12CD=4 .
在 Rt△OCP 中， ∠OPC=90° ，∴OP2+CP2=OC2 .∴(8−x)2=x2+42 .∴x=3 .
∴OC=8−x=5 .∴⊙O 的半径为5.
3.解：设弓形所在圆的圆心是O，圆的半径是r，连接OC，OA，
由题意知O、C、D共线，∵AB＝8，∴AC＝AB＝4，
∵高CD＝3，∴OC＝r﹣3，∵OA2＝OC2+AC2，
∴r2＝（r﹣3）2+42，∴r＝，∴弓形所在圆的直径长2r＝．
4.解：如图所示，过圆心O作地面的垂线OC，交地面于点C，连接AB，与OC交于点D，
∵AB与地面平行，∴OC⊥AB，∴D为AB的中点，即AD＝BD＝AB＝40cm，又CD＝20cm，
设圆的半径为xcm，则OA＝OC＝xcm，∴OD＝OC﹣CD＝（x﹣20）cm，
在Rt△AOD中，根据勾股定理得：OA2＝AD2+OD2，即x2＝402+（x﹣20）2，
整理得：x2＝1600+x2﹣40x+400，即40x＝2000，解得：x＝50，
5.解：由题意可知，OC垂直平分AB，AE是⊙O的直径，∴CO是△ABE的中位线，
∴EB＝2OC，在Rt△ACO中，设OA＝x，则OC＝x﹣1，
∵AO2＝OC2+AC2，∴x2＝（x﹣1）2+22，解得：，
即，，∴EB＝2OC＝3，
6.解：∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，∵AB⊥OC，OC是⊙O的半径，∴AD＝BD＝AB＝3，
∵OA＝OE，∴OD是△ABE的中位线，∴OD＝，
由于DE＝3DO，可设OD＝x，则DE＝3x，BE＝2x，
在Rt△BDE中，由勾股定理得，
BD2+BE2＝DE2，即（3）2+（2x）2＝（3x）2，解得x＝3或x＝﹣3（舍去），即OD＝3，
7.解：如图，作OG⊥BC交BC于点G，延长GO交EF于点H，连接BO、EO，
∵OG⊥BC，BC＝14，∴，∵BO＝EO＝25，
在Rt△BGO中，，
∵BC∥EF，OG⊥BC，∴OH⊥EF，∴，
在Rt△EHO中，，∴h＝HO+GO+AB＝7+24+26＝57，
8.【解析】连接OD，如图，设⊙O的半径为r，∵CD⊥AB，∴BC=BD，CG=DG，
∵点C是弧BE的中点，∴CE=CB，∴BE=CD，∴CD=BE=8，∴DG=12CD=4，
在Rt△ODG中，∵OG=r−2，OD=r，∴42+(r−2)2=r2，解得r=5，即⊙O的半径为5．
9【解析】延长AO交BC于D，作OE⊥BC于点E.
∵∠A=∠B=60°，∴∠ADB=60°，∴△ADB为等边三角形，∴BD=AD=AB=12，∴OD=4，
又∵∠ADB=60°，∴DE=OD⋅cs60°=12OD=2，∴BE=10，∵OE⊥BC，∴BC=2BE=20.
10.解：连接OA、OC，过点O作OM⊥CD于M，MO的延长线于AB延长线交于N，则四边形BCMN是矩形，
∵OM⊥CD，CD是弦，∴CM＝DM＝CD＝1＝BN，∴AN＝AB+BN＝4+1＝5，
设ON＝x，则OM＝8﹣x，
在Rt△AON、Rt△COM中，由勾股定理得，OA2＝AN2+ON2，OC2＝OM2+CM2，
∵OA＝OC，∴AN2+ON2＝OM2+CM2，即52+x2＝（8﹣x）2+12，x＝，即ON＝，∴OA2＝52+（）2＝，
∴S⊙O＝π×OA2＝π，
11.解：连接OC，OF，设OB＝x，∵四边形ABCD是正方形且顶点D和C在圆上，
∴AB＝BC＝2x，∠OBC＝90°，∵BG＝4，四边形BEFG是正方形，
∴OE＝x+4，EF＝BE＝BG＝4，∠FEB＝90°，
在Rt△BCO中，OC＝，
在Rt△FEO中，OF＝，
∵OF＝OC，∴5x2＝x2+8x+32，解得x＝4或x＝﹣2（舍去）当x＝4时，OC＝4，则半圆O的半径是4．
12.解：连接OC，OD，延长BO交上面的正方形与点A，设定圆心与上面正方形的距离为x，
则BO＝1﹣x，BC＝1，AD＝0.5，AO＝1+x，
故BC2+BO2＝AD2+AO2，即1+（1﹣x）2＝（1+x）2+0.52，（两边都是圆半径的平方）
解得，x＝，所以能将其完全覆盖的圆的最小半径R2＝1+（1﹣x）2，解得R＝．