高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.4.1 充分条件与必要条件教案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.4.1 充分条件与必要条件教案设计，共7页。
课程基本信息
课例编号
2020QJ10SXRA005
学科
数学
年级
高一
学期
第一学期
课题
充分条件与必要条件（1）
教科书
名：普通高中教科书数学必修第一册A版
出版社：人民教育出版社 出版日期： 2019年6月
教学人员
姓名
单位
授课教师
李红
北京市第二十二中学
指导教师
李颖
北京市东城区教师研修中心
教学目标
教学目标：
1. 初步理解充分条件、必要条件的含义；
2. 通过对初中定理的再认识，理解充分条件与判定定理、必要条件与性质定理之间的关系；
3. 体会常用逻辑用语在表达数学内容中的作用，逐步提升逻辑推理的素养.
教学重点：理解充分条件、必要条件的含义
教学难点：理解必要条件及充分条件与判定定理、必要条件与性质定理的关系
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
7分钟
复习引入
一．教师与学生一起回顾初中阶段所学的与命题相关的知识
命题：初中阶段称判断一件事情的句子为命题.
数学中的命题是用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.
真命题与假命题：判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题；
数学命题的一般形式：“若，则”的形式是数学命题的一般形式.其中称为命题的条件，称为命题的结论.
二．提出问题：下列“若，则”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？
若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；
若两个三角形周长相等，则这两个三角形全等；
若，则；
若平面内两条直线和均垂直于直线，则.
教师引导学生回顾中学相关知识，进行如下分析：
由菱形的判定定理可知命题（1）是真命题.
追问：对角线互相垂直的平行四边形是否一定是菱形？结论是肯定的；即平行四边形的对角线只要满足互相垂直的条件，则这个平行四边形一定是菱形；
举一个反例：如果有两个三角形，第一个三角形三边分别为3，4，5，周长为12；第二个三角形为等边三角形，边长为4，周长也为12，这两个三角形显然不全等，命题（2）是假命题；
说明：两个三角形周长相等并不一定能推出这两个三角形全等的结论；
（3）解方程，得或，即若，则一定有或的结论，所以命题（3）是假命题；
（4）由垂直定义可知直线和与直线夹角都是，由同位角相等、内错角相等或者同旁内角互补一定可以证明，所以命题（4）是真命题.
学生运用自己所学的知识分析，判断.
3分钟
定义概念
理解概念
一．定义概念：
一般地，“若，则”为真命题，是指由通过推理可以得出，称由可以推出，记作，且称是的充分条件，是的必要条件.
“若，则”为假命题，是指由不能通过推理得出，称不是的充分条件，不是的必要条件.
二．理解概念
1.教师引导学生结合具体问题理解概念的含义；
结合上面的思考题，命题（1）（4）是真命题.
命题（1）条件“平行四边形的对角线互相垂直”是结论“这个平行四边形是菱形”的充分条件，结论“这个平行四边形是菱形”是条件“平行四边形的对角线互相垂直”的必要条件；
命题（4）条件“平面内两条直线和均垂直于直线”是结论“”的充分条件，结论“”是条件“平面内两条直线和均垂直于直线”的必要条件；
2.关于“必要条件”的理解
当“若，则” 形式的命题是真命题时，称是的充分条件，这点学生易于理解；但“是的必要条件”这点学生可能会产生困惑，“为什么命题的结论又成为条件了呢？”对此问题做如下分析：
和是两个语句，对于“若，则”形式的命题，无论其是真命题还是假命题，都称为命题的条件，为命题的结论.
当该命题为真命题时，即由能推出，也就是若成立，起码成立；如果不成立，那么也就不成立了，即成立是成立的必不可少的条件，称是的必要条件，它刻画了和之间的逻辑关系.
3对“充分”“必要”的进一步理解
学生结合具体命题，理解充分条件和必要条件的含义.
说明：日常生活中“肯定”“足以”等也用于表达“充分”的含义；“至少”“起码”等用于表达“必要”的含义.

13分钟
举例分析
例1 下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的充分条件？
若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形；
若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似；
若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
若，则；
若，则；
若都为无理数，则为无理数；
教师引导学生分析、判断：
由平行四边形的判定定理可知，四边形满足“两组对角分别相等”的条件就一定是平行四边形，所以“四边形的两组对角分别相等”是 “这个四边形是平行四边形”的充分条件；当然判定一个四边形是平行四边形还可以通过其他方式，例如两组对边分别相等，即“四边形是平行四边形”的充分条件不唯一；
由三角形相似的判定定理可知，三边成比例的两个三角形一定是相似三角形，所以“两个三角形的三边成比例”是 “这两个三角形相似”的充分条件，两个三角形相似也可以通过其他形式判定，即“两个三角形相似”的充分条件也不唯一；
由菱形的性质定理可知，菱形的对角线一定互相垂直，所以“四边形为菱形”是“这个四边形的对角线互相垂直”的充分条件；但“四边形的对角线互相垂直”的充分条件并不唯一；
若，解得，即由一定有，而不是，因此“”不是的充分条件；
（5）由等式的性质若一定有，所以“”是“”的充分条件；但对于任意实数，且，若，则，可见“”的充分条件也是不唯一的.
（6）可以举一个反例：若，都为无理数，，的乘积不是无理数，即由“为无理数”推不出“为无理数”，因此“为无理数”不是“为无理数”的充分条件.
学生在教师的引导下，独立思考，同伴交流，通过具体问题理解充分条件的含义.
反思小结：“若，则”形式的命题是真命题，命题中的是的充分条件，但的充分条件不一定是惟一的.
例2下列“若，则”形式的命题中，哪些命题中的是的必要条件？
若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等；
若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例；
若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形；
若，则；
（5）若，则；
（6）若为无理数，则都为无理数.
教师引导学生基于例1的分析，思考例2.
（1）由平行四边形的性质定理可知，平行四边形两组对角一定分别相等，所以“四边形的两组对角分别相等”是 “这个四边形是平行四边形”的必要条件，两组对角如果不满足分别相等的条件，则这个四边形一定不是平行四边形；同时，“四边形是平行四边形” 的必要条件并不唯一，例如“四边形是平行四边形”的必要条件也可以是“两组对边分别相等”或“两条对角线互相平分”等等；
（2）由三角形相似的性质定理可知，两个相似三角形一定是三边成比例，所以“两个三角形的三边成比例”是 “这两个三角形相似”的必要条件，如果两个三角形三边不成比例，则这两个三角形不相似；同样，“两个三角形相似”的必要条件也不唯一，“对应角相等”也可以是“两个相似三角形”的必要条件；
（3）由菱形的判断定理可知，对角线互相垂直的平行四边形一定是菱形，而对角线互相垂直的四边形，如图所示不是菱形，所以“四边形为菱形”不是“这个四边形的对角线互相垂直”的必要条件；
（4）由一定有，因此“”是“”的必要条件；“”也是“”的必要条件；
（5）由等式的性质，若即不一定有，所以“”不是“”的必要条件；
（6）可以举一个反例：若，即的乘积是无理数，的取值可以是即不都为无理数，即由“为无理数”推不出“都为无理数”，因此“都为无理数”不是“为无理数”的必要条件.
反思小结：“若，则”形式的命题是真命题，命题中的是的必要条件，但的必要条件不一定是惟一的.
教师引导学生比较例1与例2，进一步理解充分条件和必要条件的含义，体会性质定理与必要条件、判定定理与充分条件的关系，具体说明：
命题“若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形”是平行四边形的判定定理，其中“四边形的两组对角分别相等”是判定一个四边形是平行四边形的充分条件，由此体会判定定理与充分条件之间的关系；
命题“若四边形是平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等”是平行四边形的性质定理，其中“两组对角分别相等” 是平行四边形的性质之一，是一个四边形是平行四边形的必要条件，由此体会性质定理与必要条件之间的关系；
3分钟
巩固提升
象这样的例子还有很多，学生可再通过具体的例子不断体会加深理解.
:练习1：命题“对顶角相等”写成“若，则”的形式为“若两个角是对顶角，则这两个角相等”这是对顶角的性质定理，“两个角相等”是刻画两个角是对顶角的必须满足的属性，如果不满足这个属性，这两个角就不是对顶角，“两个角相等”是“两个角是对顶角”的必要条件；
但是“若两个角相等，则这两个角是对顶角”是假命题，“两个角相等”不足以推出“这两个角是对顶角”的结论，“两个角相等”不是“这两个角是对顶角”的充分条件.
练习2：“若平行四边形对角线相等，则这个平行四边形是矩形”这是矩形的判定定理，在对角线相等的条件下一定能推出平行四边形为矩形的结论，“对角线相等”是使平行四边形成为矩形的一个因素，当然改变这个因素也可以使平行四边形成为矩形.
“若平行四边形有一个角是直角，则这个平行四边形是矩形”也是一个矩形的判定定理，说明使平行四边形成为矩形的充分条件不唯一.
2分钟
课堂小结
理解充分条件、必要条件的含义；
体会充分条件与判定定理、必要条件与性质之间的关系；
运用充分条件、必要条件的方式梳理初中数学的重要知识，理解其逻辑关系.
：
回顾本节课的学习，基于初中对命题的认识，当“若，则” 形式的命题是真命题时，称是的充分条件，是的必要条件.在新的语境下，用充分条件和必要条件的知识重新审视、分析一些数学命题，不仅对命题的条件与结论的逻辑关系更加清晰，同时也很好地梳理了初中的一些重要数学知识，这对从初中到高中数学学习的顺利过渡是非常必要的.
在理解抽象概念的过程中，采用不断举例的方式，这种调用原有的学习经验和知识储备的学习方式是非常有效的，正是在这样的学习思考中，逐步提升数学抽象和逻辑推理的学科素养。