高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1.2 弧度制教案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1.2 弧度制教案设计，共6页。教案主要包含了设计意图等内容，欢迎下载使用。
课例编号
2020QJ10SXRA043
学科
数学
年级
高一
学期
上
课题
弧度制
教科书
书名：普通高中教科书 数学必修第一册（A版）
出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年6月
教学人员
姓名
单位
授课教师
胡芳
北京市第五中学
指导教师
教学目标
教学目标：1、了解弧度制引入的必要性，理解弧度制定义的合理性，能正确进行弧度与角度的换算；
2、了解角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，会用弧度制解决简单的实际问题；
3、经历建立弧度制的探究过程，感受引入弧度制的必要性，了解数学知识发展的过程，提升数学抽象，逻辑推理的数学素养；
教学重点：理解弧度的定义；正确进行弧度与角度的换算
教学难点：弧度制概念的生成
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
3分钟
问题导入
问题1、初中学过哪些度量角的单位？的角是如何定义的吗？度、分、秒又如何换算呢？
有度、分、秒.将一个圆的圆周分成360等份，每一份的圆弧所对的圆心角叫做1度的角.这种度量角的单位制叫做角度制.
问题2、你知道等于多少吗？
预计：认为两个量不能相加，因为单位不同，是角度，而是实数，所以无法相加.
我们知道度量不同的量要用不同的单位，对于同一种量，也可以运用不同的度量单位，比如，测量身高时，可以使用米，也可以使用尺；测量重量时，在不同的条件可以使用吨、公斤，也可以使用克等. 此外还有国际公制，有中国市制，那么，度量角的单位是否只有角度制一种呢？
历史背景：公元六世纪，印度数学家家阿耶波多在创新制作正弦表时, 就发现了有一个问题不好解释，比如，他发现了什么问题呢？
在这个等式中，单位制是不同的，左边是60进制,右边是10进制为单位，单位不统一的两个数学对象分别放在等式的左右两侧, 所以阿耶波多想到了能否对角的度量采用十进制.
【设计意图】引发学生的认知冲突，让学生意识到角度不是实数，产生对角的单位有必要重新认知的需要，为引入弧度制作准备.
7分钟
探究新知
探究活动：根据角的动态定义，射线绕端点旋转到形成角. 在旋转过程中，射线上点（不同于端点）的轨迹是一条圆弧. 记.
如果要把角的单位统一成十进制，那么就必须借助用十进制表示的量，这里很明显涉及到两个量：弧长和半径.
问题3：射线上三个点旋转到点
，在这个过程中，都涉及到哪些量，你能
发现它们之间蕴含着哪些相等关系与不等关系？
涉及到三个量：弧长、半径和圆心角，
显然，弧长、半径是不等的，也不相等，但角度是相等的.
【设计意图】从历史背景中引出数学问题，引导学生在熟悉的生活体验中，用数学的眼光进行观察相等关系与不等关系，为下面挖掘“弧长与半径比值为定值”这一隐含的数学现象做好铺垫.
追问1、圆心角、半径、弧长这三个量之间存在什么关系呢？能否用我们以前学过的数学公式来表示他们之间的关系？
在初中我们学过弧长公式.
追问2、你能否用弧长公式解释在这个运动过程中，弧长和半径都发生变化，而圆心角不变吗？
圆心角与弧长和半径有关，.
当圆心角不变时，为定值.
所以，圆心角所对的弧长与半径的比值只与角的大小有关.
如图，对同一个圆心角，可得：.
因此，弧长与半径的比值只与圆心角的大小有关，当圆心角确定时，也唯一确定.这就让我们想到可以用弧长与半径的关系度量圆心角.
当弧长与半径相等时，是一个定值，此时圆心角等于度. 我们把这时的比值1记为1个单位的角, 就可以用这个1个单位的角去表示其他的角.
比如当弧长时，所对圆心角为2个单位的角；当弧长时，所对圆心角为个单位的角，这里是一个实数，这样可以用来度量角的大小，解决了用实数度量角的大小问题.这就是度量角的另一种单位制——弧度制.
弧度单位用符号表示，读作弧度.
规定：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作.
【设计意图】通过对初中所学的弧长公式的回顾与变形，不仅从代数关系上说明了与角的大小有关，而且这个比值是一个实数，有弧长的参与，学生自然体会到弧度制的合理性，同时让学生经历从观察、分析到抽象、概括的过程，培养学生的理性数学思维.
6分钟
理解新知
弧度制的精髓是把角度和弧度的度量统一起来，极大的简化了与之有关的运算，在高等数学里，优势相当明显.
问题4：你能否作出大小的角？
根据定义，，即时，弧长所对圆心角为.
问题5：任意角都可以用的比值表示吗？正角、负角和零角的弧度数如何规定呢？
任意角都是从旋转角度定义的，当半径一定时，旋转量从弧长可以判断，符号由旋转方向决定，所以任意角都可以用表示.正角、零角、负角分别用正数、零、负数表示.
规定：如果半径为的圆的圆心角所对弧长为，那么角的弧度数的绝对值是，这里，的正负由角的终边的旋转方向决定.
追问: 反过来任意一个实数都可以表示角吗？这种表示是唯一的吗？
对于任意一个实数满足，那么，此时的绝对值大小确定，再由的旋转方向确定的正负符号，所以任意一个实数都可以表示唯一确定的角.
这样就在角的集合与实数集之间建立了一一对应关系.
【设计意图】帮助学生进一步理解弧度制可以度量角的大小，而且可以和实数集合建立一一对应的关系.
早在18世纪，瑞士数学家欧拉，在他的名著《无穷小分析引论》中倡导使用弧度制，统一了角与长度的单位，从而使得对三角函数的研究大为简化，并提出了弧度制的思想.
而弧度这个词产生于1873年，爱尔兰工程师詹姆斯·汤姆森（James Thmsn）教授在其编著的一本考试集中创造性地首先使用了“弧度”一词.他将“半径（radius）”的前四个字母与“角(angle)”的前两个字母组合在一起，构成了一个新词radian，被人们广泛接受.
【设计意图】在通过介绍弧度制及其名称符号的发展历史，让学生感受数学文化丰富的历史沉淀.
5分钟
应用新知
问题6：角度制、弧度制都是角的度量单位，它们之间应该如何换算呢？
当角的终边旋转一周，所得到周角的弧度数为，而在角度制下为，即，，
所以.
反过来可得.
例1.（1）把化成弧度
（2）把化成角度（用度表示，精确到）
借助前面的结论，可得

用弧度表示角的大小时，只要不引起误解，“弧度”二字或“”可以省略不写．但是“°”为单位不能省.
练习：填写下面特殊角的度数与弧度数的对应表
度
弧度
【设计意图】通过实际操作，让学生明白角度制与弧度制可以度量同一个角，所以它们之间可以互换并要掌握这种互换，同时要注意规范及掌握一些特殊角的角度和弧度值.
例2 利用弧度制证明下列关于扇形的公式
（1）； （2）； （3）.
其中是圆的半径，为圆心角，是扇形的弧长，是扇形的面积.
解：从我们前面得到的弧度制公式出发，可得.
下面我们证明（2）（3）
初中我们学过，在角度制下，半径为，圆心角为的扇形的弧长公式和面积公式分别为，.
将圆心角转化为弧度，得.
所以，代入公式得到.
再将代入上式即得.
【设计意图】让学生体会弧度制，统一了度量弧与半径的单位，从而大大简化了有关公式及运算，通过例题进一步让学生熟悉公式，学会应用公式解决简单的实际问题.
2分钟
归纳小结
本节课我们学习了什么？
（1）在数学知识上我们学习了任意角的新度量制——弧度制.
①弧度制的本质是用线段的长度度量角的大小，具体来说就是长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号表示，读作弧度；
②如果半径为的圆的圆心角所对弧的长为，那么角的弧度数的绝对值是，这里，的正负由角的终边的旋转方向决定；
③ 借助公式进行任意角的弧度制和角度制之间的互化，在今后的三角函数的学习中要熟练掌握特殊角的弧度数.
（2）数学知识大多来源于现实或自然科学中出现的问题，我们通过对问题的理解、分析，学会用数学的眼光观察问题、用数学的思维思考问题、用数学的语言表达问题.
在今天的学习中，我们运用了数形结合、转化与化归、特殊与一般等数学思想方法，在今后的学习中我们还要进一步熟悉和掌握这些思想方法.
布置作业
教科书P175-176，习题5.1 第5、6、7、8题