高中数学2.2 基本不等式教学设计

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课程基本信息
课例编号
2020QJ10SXRA010
学科
数学
年级
高一
学期
第一学期
课题
基本不等式（1）
教科书
名：普通高中教科书数学必修第一册
出版社：人民教育出版社 出版日期： 2019年6月
教学人员
姓名
单位
授课教师
马琳
北京市第二十二中学
指导教师
李颖
东城区研修中心
教学目标
教学目标：
1.初步理解基本不等式及其证明方法和几何解释；
2.通过利用基本不等式求简单的最值问题，使学生理解利用基本不等式解决最值问题的方法；
3.通过对基本不等式证明方法分析法的认识以及利用基本不等式求简单的最值问题，发展学生的逻辑推理、数学运算和数学建模的素养.
教学重点：理解基本不等式及其证明方法.
教学难点：基本不等式的几何解释以及用基本不等式解决简单的最值问题.
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
3分钟
问题引入
教师:我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用.那么，是否也有一些不等式，他们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面就来研究这个问题.
问题1：前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：∀a,b∈R,有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时，等号成立.
教师:请大家观察,这个不等式左边的平方结构要求比较高，使用不方便，能否换成一个数，又因为替换的是个平方数，所以应该是个正数。那么这里特别地，如果a>0,b>0我们用a,b分别代替上式中的a,b可以得到怎样的式子？
师生活动：学生独立计算后回答。
教师总结：对于∀a>0,b>0,a+b≥2ab变形为ab≤a+b2 = 1 \* GB3 ①当且仅当a=b时，等号成立．通常我们称不等式 = 1 \* GB3 ①为基本不等式.其中a+b2叫做正数a,b的算术平均数，ab叫做正数a,b的几何平均数．
基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
6分钟
分析法证明
问题2：前面，我们通过考察a2+b2≥2ab的特殊情形获得了基本不等式，你能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？
师生活动：学生可能根据两个实数大小关系的基本事实，用作差比较法证明上式.教师在肯定学生的做法之后，给学生简单介绍分析法并且引导学生用分析法写出证明过程.
教师:分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使他成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理）为止.
分析法解题过程如下:
要证ab≤a+b2 = 1 \* GB3 ①
只要证2ab≤a+b = 2 \* GB3 ②
要证 = 2 \* GB3 ②，只要证2ab-a-b≤0. = 3 \* GB3 ③
要证 = 3 \* GB3 ③，只要证-(a-b)2≤0 = 4 \* GB3 ④
要证 = 4 \* GB3 ④，只要证(a-b)2≥0 = 5 \* GB3 ⑤
显然， = 5 \* GB3 ⑤成立，当且仅当a=b时， = 5 \* GB3 ⑤中的等号成立.
我们可以看到，只要把上面的过程倒过来，就可以直接推出基本不等式了.
追问（1）：请同学们想一想上述证明中每一步推理的依据是什么？教师引导由 = 2 \* GB3 ②⟹ = 1 \* GB3 ①，由 = 3 \* GB3 ③⟹ = 2 \* GB3 ②, 由 = 4 \* GB3 ④⟹ = 3 \* GB3 ③，由 = 5 \* GB3 ⑤⟹ = 4 \* GB3 ④的依据.
教师总结： = 2 \* GB3 ②⟹ = 1 \* GB3 ①（根据不等式性质，两边同乘以一个正数，所得不等式与原不等式同向）
= 3 \* GB3 ③⟹ = 2 \* GB3 ②（根据不等式性质，两边同时加上正数（a+b），所得不等式与原不等式同向）
= 4 \* GB3 ④⟹ = 3 \* GB3 ③（运用完全平方差公式打开计算）
= 5 \* GB3 ⑤⟹ = 4 \* GB3 ④（根据不等式性质，两边同乘以一个负数，所得不等式与原不等式反向）
显然， = 5 \* GB3 ⑤成立，当且仅当a=b时， = 5 \* GB3 ⑤中的等号成立.
追问（2）：上述证明方法叫做“分析法”，你能归纳一下用分析法证明命题的思路吗？
师生活动：学生讨论后回答.
教师总结：分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使他成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理）为止.
追问（3）:根据我们的证明过程，说说分析法的证明格式是怎样的？
师生活动：学生思考后回答.
教师总结：由于分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所以分析法在书写过程中必须有相应的文字说明：一般每一步的推理都用“要证……”“只要证……”的格式，当推导到一个明显成立的条件之后，指出显然……成立。
下面我们一起来看问题3.
5分钟
几何解释
同学们,经过从前面基本不等式的代数解释,你是否能联想到从几何角度基本不等式也有背景对应呢?下面我们一起来探究一下?
问题3：
在图1中，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b.过点C做垂直于AB的弦DE，连接AD,BD.你能在这个图形中尝试找出和所对应的是哪条线段吗?进而得出基本不等式的几何解释吗？

师生活动：教师引导学生思考后回答，可证∆ACD∼∆DCB,因而CD=ab。由于CD小于或等于圆半径，用不等式表示为ab≤a+b2
显然，当且仅当点C与圆心重合，即当a=b时，上述不等式的等号成立. 图1
教师引导学生总结：从条件和基本不等式出发，发现圆的半径长等于a+b2，CD=ab,所以基本不等式可以利用“圆中直径不小于任意一条弦”得到它的几何解释，当且仅当弦过圆心时，二者相等.通过基本不等式的几何解释,希望同学们能借助图形记住基本不等式的结构特征,特别是不等号的方向.
5分钟
简单应用
前面我们知道了基本不等式的内容、证明方法和几何解释，下面我们利用基本不等式来解决一些简单的最值问题.请看下面的例题.
例1 已知x>0,求x+1x的最小值.
追问（1）：本题中要求最小值的代数式有什么结构特点？是否可以利用基本不等式求x+1x的最小值？
师生活动：学生思考后回答.
教师总结：本题中要求的代数式是x与1x和的形式，而且x∙1x=1，由于x+1x是x与1x的算术平均数的2倍，而后者的几何平均数x∙1x是一个定值，所以可以利用基本不等式求解. 下面是解答过程．
解：因为x>0，所以x+1x≥2x∙1x=2，当且仅当x=1x，即x2=1,x=1时，等号成立
因此所求的最小值是2.
追问（2）：在上述解答过程中，是否必须说明“当且仅当x=1x，即x2=1,x=1时，等号成立”？
师生活动：学生讨论后回答.
教师总结：这是为了说明“2”是x+1x的一个取值。
那么请同学们再想一想，当y00） 的最小值吗？
师生活动：学生思考后回答.
教师总结：当然是不能，因为x+1x的最小值，就是要求出一个y0=x0+1x0,使∀x>0,都有x+1x≥y0.如果y00,b>0,ab≤a+b2；
2、学会用分析法利用不等式的性质证明基本不等式；并且在圆中利用已知线段的大小关系记住基本不等式的几何特征；
3、明确代数式是否能转化为两个正数的和或积的形式，它们的和或者积是否是一个定值，不等式中的等号是否能取到，通俗的说就是“一正、二定、三相等”．