高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1.1 任意角教案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1.1 任意角教案，共4页。
课例编号
2020QJ10SXRA042
学科
数学
年级
高一
学期
第一学期
课题
任意角
教科书
书名：普通高中教科书数学必修第一册A版
出版社：人民教育出版社 出版日期： 2019年6月
教学人员
姓名
单位
授课教师
汪敏
北京市第二十二中学
指导教师
李颖
北京市东城区教师研修中心
教学目标
教学目标：
了解任意角和象限角的概念，会判断一个任意角是第几象限角；
了解角的概念的推广的必要性，认识终边相同角的代数特征，发展数学抽象的素养；
在角的概念的推广过程中，感受数学的应用价值，提升数学运算的素养.
教学重点：任意角，象限角，终边相同的角的概念.
教学难点：用符号代表方向的意义.
教学过程
时间
教学环节
主要师生活动
1分钟
创设情境，引出问题
引导语：我们知道，现实世界中存在着各种各样的“周而复始”变化现象，圆周运动是这类现象的代表.
问题：⊙O上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转．如何刻画点P的位置变化呢？
师生活动：学生独立思考，教师通过PPT让学生清楚：圆周上点的运动可以通过角的变化进行刻画.
设计意图：通过具体问题引出本节课的研究主题——角.
2分钟
分析实例，归纳特征
问题：你还记得初中是怎么定义角的吗？
师生活动：一起回顾初中角的概念.预设答案：有公共顶点的两条射线组成的图形.
设计意图：这里要让学生先回顾初中学习角的定义，是静态的图形，就因为静所以限制了交的范围，所以高中的定义中特别突出了动态-旋转
问题： 我们以前所学角都在0°~360°的范围内，生活中有超出0°~360°角的例子吗？请你举例说明.
师生活动：学生独立思考，并回答问题.预设答案：体操中“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”；互相咬合的齿轮.
追问：这些角的不同，体现在哪几个方面？
师生活动：可以通过学生简单的讨论，发现角的不同体现在两个方面：一是大小；二是方向.
设计意图：一方面加强数学与我们现实生活的联系，说明学习数学是有用的；另一方面，学生在用语言描述这些超出0°~360°角的时候，会发现用静态角的定义不再适合，让他们体会到：要想说清楚这些角，有必要将角的范围进行拓展，而且需要从动态的角度重新定义角.
追问：以上问题中对角的描述的共性是什么？
师生活动：学生共同回答出角的大小及旋转方向.
设计意图：通过这个具体的例子进一步让学生体会：要想说清楚一个角，包括两个方面：一是旋转方向；二是旋转量.
1分钟
通过阅读，
获得概念
问题：请同学们先阅读课本第168页最后一段至第169页最后一段，再回答下列问题：根据旋转方向的不同，角可以分为哪几类？分别是什么？这种定义方法和分类办法是与之前的哪个知识进行类比的？
师生活动：学生独立阅读课文，再举手回答上述问题.预设答案：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角，因此，角可以分为正角、负角、零角.这种定义方法和分类办法都是与实数进行类比的.
设计意图：明确了通过推广以后角的定义，知道了角是“转”出来的，关键是对旋转方向的量化可以通过类比实数，用符号表示方向.
3分钟
初步应用，理解定义
练习：你能读出下图中的各个角度吗？
师生活动：学生作答，教师点评.
设计意图：熟悉正角、负角的定义，理解“符号”与“方向”之间的关系，从形到数的认识.
追问：两个角有什么关系？
师生活动：可叫学生个别回答问题.预设答案：它们有大小关系和相等关系；
追问：两个角能相等吗？
师生活动：可叫学生个别回答问题. 预设答案：如果一个角的旋转量和旋转方向与另一个角的旋转量和旋转方向都一样，我们就称这两个角相等.
追问：两个角也能像两个实数那样进行加减运算吗？
师生活动：引入角的加法的概念：设α，β是任意两个角．我们规定，把角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角是α+β．
追问：两个角能进行减法运算吗？
师生活动：引入相反角的概念：类似于实数a的相反数是-a，我们引入任意角α的相反角的概念．我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．进而引入角的减法的概念：像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有?−?=?+(−?)．这样，角的减法可以转化为角的加法．
设计意图：定义了一个具有数量特征的数学概念之后，紧接着需要研究的就是两个这种数学对象之间的关系以及运算问题.类比实数，得到相反角的定义及两个任意角之间的减法运算.
7分钟
研究分类，精致概念
问题：在直角坐标系中研究角，其顶点和始边的位置是如何规定的？根据其终边位置的不同，又可以把角分为哪几类？在直角坐标系内讨论角有什么好处呢？
师生活动：学生互相交流后，再回答.预设答案：为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合；根据角终边所在象限，将角又可以分为第一、二、三、四象限角以及轴线角；在直角坐标系中讨论角可以很好地表现角的“周而复始”的变化规律.
设计意图：让学生明确在直角坐标系中讨论角需要有一个统一的标准.在这个统一前提下，才能对象限角进行定义.另外，终边落在坐标轴上是一种“边界”状态，因此规定它不属于任何一个象限更方便.这样讨论角的好处就是：在同一“参照系”下，可以使角的讨论得到简化，由此还能使角的终边位置“周而复始”现象得到有效表示.
练习：锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？再分别就直角、钝角来回答这两个问题．三角形的内角涵盖了哪几个象限呢？
师生活动：由学生逐题给出答案.预设答案：锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角；直角是终边落在y轴正半轴上的角，终边落在y轴正半轴上的角不一定是直角；钝角是第二象限角，第二象限角不一定是钝角.三角形的内角取值范围可以用区间角表示，即0°,180°，它从x轴的正半轴逆时间旋转到x轴的负半轴，经历了第一象限，y轴的正半轴和第二象限.
设计意图：检验学生对象限角的理解情况.
问题：那如果角的终边没有落在四个象限里，你会表示这些角吗？比如你会表示终边落在x轴的负半轴上的所有的角的集合吗？
师生活动：学生观察并思考后，再举手回答.共同寻找终边落在x轴的负半轴上角的共同特征：我们的第一反应应该是180°，但如果是顺时针转过来的话也可以是-180°，这两个角相差360°，如果180°逆时针旋转一个周角即360°的话，这个角还可以是180°+360°=540°，继续逆时针旋转一个周角的话，这个角又变成了180°+2×360°=900°，推而广之，我们只要在180°上加上k个（k∈Z）360°就能表示所有终边落在x轴的负半轴上的角，写成集合的形式就是：
S=ββ=180°+k∙360°,k∈Z进而再推广到一般情形，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S=ββ=α+k∙360°,k∈Z，
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
问题：终边落在x轴上的所有的角的集合又怎么表示？
师生活动：将x轴正半轴上所有角的集合与x轴负半轴上所有角的集合取并集即可；也可以理解成找到一个x轴正半轴上角的代表，比如0°，使其逆时针（或顺时针）旋转一个平角即180°就可以到达x轴负半轴，如果继续使其逆时针（或顺时针）旋转一个平角即180°就可以回到x轴正半轴，继续做下去，角的终边就会在x轴负半轴和正半轴上循环往复的出现，就涵盖了所有的终边落在x轴上的所有角，其集合表示形式是：S=ββ=0°+k∙180°,k∈Z，同理终边落在y轴上的所有角的集合是S=ββ=90°+k∙180°,k∈Z；如果要表示终边落在坐标轴上的所有角，我们只需找到一个角的代表，比如0°，使其不断地旋转比如90°就能涵盖所有的坐标轴，其集合表达形式是：S=ββ=0°+k∙90°,k∈Z.
设计意图：对象限角概念进行必要的补充，使得终边落到任何位置都能表示.应引导学生体会用集合表示终边相同的角时，表示方式不唯一，要注意采用简约的形式.另外，分析终边与y轴的正半轴、负半轴分别重合的两个角的集合的联系，可以简化集合的表示，实质是“终边组成一条直线”的代数解释：“两个集合中的元素相差180°的整数倍.”
问题：有了终边落在坐标轴上角的表示方法，你能表示出第二象限角吗？
师生活动：写出第二象限角的集合表示方法.
S=β90°+k∙360°