人教A版（2019）高一数学必修第二册-平面向量在几何中的应用-1教案

这是一份人教A版（2019）高一数学必修第二册-平面向量在几何中的应用-1教案，共6页。教案主要包含了证明垂直、平行，有关长度的证明，有关夹角的计算等内容，欢迎下载使用。
教学基本信息
课题
平面向量在几何中的应用
学科
数学
学段：必修第二册
年级
高一
教材
书名：数学 必修第二册 出版社：人民教育出版社 出版日期：2019年8月
教学设计参与人员
姓名
单位
联系方式
设计者
范方兵
北京市第二中学
13810547456
实施者
范方兵
北京市第二中学
13810547456
指导者
雷晓莉
庄肃钦
东城区研修中心
北京市第二中学
课件制作者
范方兵
北京市第二中学
13810547456
其他参与者
教学目标及教学重点、难点
教学目标
1.通过对具体问题的讲解，让学生了解用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”；
2.通过对具体问题的讲解，让学生体会向量方法在证明平行、垂直，计算长度、夹角问题中的应用；
3．在用向量方法解决几何问题的过程中，让学生体会向量方法的程序化步骤，体会化归转化、数形结合等数学思想，提升逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养.
教学重点
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”.
教学难点
基底向量的选取.
教学方法
讲授式.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
考虑如下三个问题：
1.为什么要用平面向量来解决几何问题？
2.平面向量可以解决哪些几何问题？
3.如何运用平面向量来解决几何问题？
提出问题，明确主线.
新课
例 如图，DE是∆ABC的中位线，证明：DE//BC，DE=.

分析 1.中点可以怎么用？
2.如何用向量表示DE//BC，DE=？
3.选哪些向量作为基底向量？
证明 如图，因为DE是∆ABC的中位线，
所以，.
从而.
因为，所以.
于是DE//BC，DE=.
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系.
讲解实例，归纳方法.
例题
应用一 证明垂直、平行
例 证明：直径所对圆周角为直角.

已知：如图，AB为⊙O的直径，C为圆上异于A，B的一点.
求证：∠ACB=90°.
分析 1.由“AB为⊙O的直径”想到半径OA= OB= OC；
2.由待证结论“∠ACB=90°”，启发我们证明.
证明 如图，设a，b，则a，且| a |=| b |.
又ab，ab=(ab).
因为(ab)[(ab)]=( a2b2)=0，
由，均为非零向量知.
从而∠ACB=90°.即直径所对圆周角为直角.
例 证明：三角形三条高线交于一点.
已知：∆ABC中，AD、BE、CF分别为BC、AC、AB边上的高.
求证：AD、BE、CF交于一点H.
分析 1.由“高线”想到两个垂直向量的数量积为0；
2.待证结论可以转化为，设AC、AB边上的高BE与CF交于
点H，证明AH⊥BC.
证明 设a，b，则a，
b.
因为BE、CF分别为AC、AB边上的高，
所以BH⊥AC，CH⊥AB.
所以(a)b=bab=0，
(b)a=aba=0.
从而b= ab，a= ba.
所以b=a.
所以(ab)=.
因为，均为非零向量，
所以.即AH⊥BC.
从而AD、BE、CF交于一点H.
分析 向量及向量运算也有坐标表示，因此考虑用坐标法进行证明.
证明 如图，以BC所在直线为x轴，BC垂直平分线为y轴，
建立平面直角坐标系.
设，其中m>0.
则；
.
因为BE、CF分别为AC、AB边上的高，
所以BH⊥AC，CH⊥AB.
所以
从而.
展开得.
整理，得.由m>0知.
所以AH⊥BC.
从而AD、BE、CF交于一点H.
应用二 有关长度的证明
例 如图，已知四边形ABCD为平行四边形.
求证：AC2+BD2=2(AB2+BC2).

分析 1.“平行四边形”启发我们利用向量加法的平行四边形法则；
2. “AC2，BD2”让我们想到向量公式，.
证明 第一步 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及
的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
设a，b，则ab，ab.
所以(ab)2，(ab)2.
所以(ab)2+(ab)2=2a2+2b2.
即.
所以AC2+BD2=2(AB2+BC2).
应用三 有关夹角的计算
例 如图，∆ABC中，AB=3，AC=5，BC=7，求∠BAC的大小.

分析 1.由“ AB，AC，BC”联想到；
2.由“∠BAC”启发我们利用公式.
解 设a，b，则=ba.
由AB=3，AC=5，BC=7知|a|=3，|b|=5，|ba|=7.
因为|ba|2=b22b·a+a2
=|b|22b·a+|a|2
=252b·a+9
=49.
所以b·a=.
所以cs∠BAC=.
又因为∠BAC∈(0,)，
所以∠BAC=.
分类讲解，
多题归一.
总结
总结知识、
提炼升华.
作业
如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、DC的中点，BE、BF分别与AC交于R、T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？
布置作业、课堂延申.