人教A版（2019）高一数学必修第二册-向量数量积的运算-1教案

这是一份人教A版（2019）高一数学必修第二册-向量数量积的运算-1教案，共8页。教案主要包含了课后作业1参考答案等内容，欢迎下载使用。

教学基本信息
课题
向量数量积的运算
学科
数学
学段：高中
年级
高一
教材
书名：普通高中教科书 数学必修 第二册 出版社：人民教育出版社 A版
出版日期：2019年6月
教学设计参与人员
姓名
单位
设计者
赵丽艳
北京市龙潭中学
实施者
赵丽艳
北京市龙潭中学
指导者
雷晓莉
东城区教师研修中心
课件制作者
赵丽艳
北京市龙潭中学
其他参与者
康杰
北京教科院
教学目标及教学重点、难点
本节课的主要知识要素是向量数量积的运算律，其核心教学环节是探究向量数量积的运算律并利用运算律解决相关问题，在课程中主要培养学生的逻辑推理素养和数学运算素养.
教学重点：向量数量积的运算律及其应用.
教学难点：向量数量积运算律的证明.
教学过程(表格描述)
教学
环节
主要教学活动
设置意图
创设
问题
情境
引入
新课
向量的数量积是向量与向量之间的一种运算，既然是一种运算，该遵循哪些运算律呢？
类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪些运算律呢？你能证明吗？
通过问题创设情境，激发学生探究新知的兴趣.
探究新知
首先回顾数的乘法运算律，向量的线性运算的运算律.
数的乘法运算律
交换律：；
结合律：；
分配律：.
向量线性运算的运算律
；
；
.
向量的数量积运算是否也满足交换律，结合律和分配律？
问题 类比数的乘法交换律，写出数量积运算对应的关系式，并进行判断与证明.
对应关系式： .
证明：当向量或为零向量时，结论自然成立.
当向量,为非零向量，设它们的夹角为，
因为，
，
所以. 交换律得证.
问题 类比数的乘法结合律，写出数量积运算对应的关系式，并进行判断与证明.
对应关系式：.
思考 设,,是向量，一定成立吗？为什么？
分析：因为表示的是与共线的向量；
表示的是与共线的向量；
而向量与不一定共线，
所以一般情况下不成立.
当然也有成立的情况，比如当三个向量是相等向量时，结论自然成立.
问题 类比向量数乘的结合律，写出数量积运算对应的关系式，并进行判断与证明.
对应关系式：.
分析：由于是实数，可正，可负，可为零，故分三种情况来讨论.
证明：当向量或为零向量时，结论自然成立.
当向量,为非零向量时，设它们的夹角为，
（1）当时，
，
，
，
所以，当时，成立.
（2）当时，与方向相同，与方向相同，因此，
与的夹角，与的夹角都为，
，
，
，
所以，当时，成立.
（3）当时，与方向相反，与方向相反，因此，
与的夹角，与的夹角，都为，
，
，
，
所以，当时，成立.
总结：对于向量,和实数，有
.
问题 类比数的乘法分配律，写出数量积运算对应的关系式，并进行判断与证明.
对应关系式为：.
证明：当向量，，中至少有一个零向量时，结论自然成立，接下来考虑，，为非零向量的情况，
如图，任取一点O，作，，，
.
设向量,，与的夹角分别为，，，它们在向量上的投影向量分别为，，，与方向相同的单位向量为，则
，
，
.
因为，所以.于是
，
即 .
整理，得
，
所以
.
即
.
所以
.
因此
.
总结：数量积的运算律
对于向量,，和实数，有
（1）；
（2）；
（3）.
思考 设,,是非零向量，由能推出吗？
分析：设与的夹角为，与的夹角为，
因为,
所以.
所以.
由于与的大小和方向都不一定相同，
因此，由不一定能推出.
如图，虽然成立，但.
通过类比数的乘法运算律及向量线性运算的运算律，探究并证明向量数量积的运算律，在探究过程中体会研究向量运算的方法.
例题
例1 我们知道，对任意，恒有
,
.
对任意向量,，是否也有下面类似的结论？
（1）；
（2）.
解：（1）
；
（2）
.
因此，上述结论是成立的.
例2 已知，，与的夹角为，求.
解：
.
变式 已知，，与的夹角为，求.
解： 因为，

.
所以，.
变式 已知，，，
求与的夹角.
解：
.
因为，
所以.
所以.
又因为，
所以.
例3 已知，，且与不共线，当k为何值时，向量与向量互相垂直？
解：与互相垂直的充要条件是
，
即
.
因为，，
所以.
解得.
也就是说，当时，与互相垂直.
巩固向量数量积的运算律，加深对向量数量积运算律的理解.在例1中体会数量积运算与多项式乘法运算的相似性.
总结
1.向量数量积运算的运算律
对于向量,，和实数，有
（1）；
（2）；
（3）.
2.研究向量运算的方法
物理模型→概念→性质→运算律→应用，
类比已知，猜想未知，证明猜想.
对本节课知识进行总结回顾，构建数量积运算的知识体系.
作业
作业1
1.已知，，，向量a与b的夹角为，
向量b与c的夹角为，计算
（1）； （2）.
2.已知，，且与互相垂直，
求证.
3.求证：.
作业2
结合下面问题写出你的学习感想.
你认为数量积运算的运算律与数的乘法运算律的哪些区别最易混淆？
你认为数量积运算中哪条运算律最重要？最有用？需要注意的关键之处是什么？
【课后作业1参考答案】
1.（1）； （2）.
2.根据题意，因为与互相垂直，
所以，
即 .
又 ，，
所以 ，
所以 .
3.原式左边右边.
实施应用