江西省赣州市南康中学2024届高三高考三轮冲刺卷数学试题（一）

这是一份江西省赣州市南康中学2024届高三高考三轮冲刺卷数学试题（一），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．某同学在一次数学测试中的成绩是班级第三名（假设测试成绩两两不同），成绩处于第90百分位数，则该班级的人数可能为（ ）
A．15B．25C．30D．35
2．抛物线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．已知数列对于任意，都有，若，则（ ）
A．2B．C．4D．
4．已知，表示直线，，，表示平面，则下列推理正确的是（ ）
A．，
B．，，且
C．，，
D．，，，
5．某班四名同学去学校食堂就餐，他们在食堂一楼、二楼、三楼都可能就餐，如果他们中有同学在一楼就餐，则他们在食堂各层楼的就餐情况有（ ）种
A．24B．37C．48D．65
6．如图，在中，为上一点，且满足，若则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．在中，角的对边分别为，若，且恒成立，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．P是椭圆C：（）上一点，、是的两个焦点，，点在的平分线上，为原点，，且．则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知的部分图象如图所示，则（ ）
A．的最小正周期为π
B．满足
C．在区间的值域为
D．在区间上有3个极值点
10．定义域是复数集的子集的函数称为复变函数，就是一个多项式复变函数．给定多项式复变函数之后，对任意一个复数，通过计算公式，可以得到一列值．如果存在一个正数，使得对任意都成立，则称为的收敛点；否则，称为的发散点．则下列选项中是的收敛点的是（ ）
A．B．C．D．
11．已知不恒为0的函数的定义域为，则（ ）
A．B．是奇函数C．是的极值点D．
三、填空题
12．已知集合，，则集合的元素个数为 ．
13．已知长轴与短轴长分别为2a与2b的椭圆围成区域的而积为，现要切割加工一个底面半径为、高为的圆柱形零件(如图所示)，截面经过圆柱的一个底面中心，并且与底面所成角为，然后在切割后得到的两个部件表面都刷上油漆，则所刷油漆的面积为 .

14．已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围为 .
四、解答题
15．已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论的单调性．
16．如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在上，且.
(1)证明：平面；
(2)当二面角的余弦值为时，求点到直线的距离.
17．京剧被誉为中国文化的瑰宝.每个脸谱都有其独特的象征意义，是京剧中不可或缺的一个组成部分.某商店售卖的京剧脸谱娃娃共有三种款式，有直接购买和盲盒购买两种方式.若直接购买京剧脸谱娃娃，则每个京剧脸谱娃娃售价54元，可选定款式；若盲盒购买京剧脸谱娃娃，则每个盲盒售价27元，盲盒中的一款京剧脸谱娃娃是随机的.
(1)甲采用盲盒购买的方式，每次购买一个盲盒并打开，若买到的京剧脸谱娃娃中出现相同款式，则停止购买.用表示甲购买盲盒的个数，求的分布列.
(2)乙计划收集一套京剧脸谱娃娃（三种款式各一个），先购买盲盒，每次购买一个盲盒并打开（乙最多购买3个盲盒），若未集齐一套京剧脸谱娃娃，再直接购买没买到的款式，以购买费用的期望值为决策依据，问乙应购买多少个盲盒?
18．已知双曲线的左、右顶点分别为、，设点在第一象限且在双曲线上，为坐标原点.
(1)求双曲线的两条渐近线夹角的余弦值；
(2)若，求的取值范围；
(3)椭圆的长轴长为，且短轴的端点恰好是、两点，直线与椭圆的另一个交点为记、的面积分别为、求的最小值，并写出取最小值时点的坐标.
19．对于数列，定义“变换”：将数列变换成数列，其中，且．这种“变换”记作，继续对数列进行“变换”，得到数列，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．
(1)写出数列，经过6次“变换”后得到的数列；
(2)若不全相等，判断数列经过不断的“变换”是否会结束，并说明理由；
(3)设数列经过次“变换”得到的数列各项之和最小，求的最小值．
参考答案：
1．B
【分析】由题意结合百分位数的算法，计算即可求解.
【详解】设班级人数为x人，由题意，，解得，
又，结合选项可得，该班级的人数可能为25.
故选：B
2．D
【分析】将抛物线方程化为标准式，即可求出其焦点坐标.
【详解】将抛物线化为标准方程得，则焦点坐标为.
故选：D．
3．C
【分析】根据题意，分别取，然后代入计算，即可得到结果.
【详解】因为数列对于任意，都有，
取，则，
取，则，则.
故选：C
4．C
【分析】由直线的位置关系判断A；由直线与平面的位置关系判断B；由面面平行的性质定理判断C；平面与平面的位置关系判断D.
【详解】对于A，由，，得平行或相交，A错误；
对于B，由，，得且或 或 ，B错误；
对于C，由，，，根据面面平行的性质得，C正确；
对于D，由，，，，得平行或相交，D错误.
故选：C
5．D
【分析】分为在一楼就餐的同学有1个，2个，3个和4个同学，再分别讨论二楼、三楼就餐的同学即可得出答案.
【详解】在一楼就餐的同学有1个，在二楼、三楼就餐的同学为，
即种；
在一楼就餐的同学有2个，在二楼、三楼就餐的同学为，
即种；
在一楼就餐的同学有3个，在二楼、三楼就餐的同学为1,0，
即种；
在一楼就餐的同学有4个，在二楼、三楼就餐的同学为，即种.
所以共有：种.
故选：D.
6．B
【分析】利用向量的线性运算及三点共线的条件，再利用平面向量的基本定理及向量的数量积的运算律即可求解.
【详解】因为所以
因为三点共线，
所以即,
又因为，
所以,且为不共线的非零向量，
所以，解得，
所以，
所以
.
故选：B.
7．A
【分析】由边角关系式可得，再结合余弦定理得到，代入可得，利用基本不等式可得；将恒成立的不等式转化为与有关的不等式，利用二次函数图象特点，求解出的范围.
【详解】由，得，
所以，又，所以，
所以，所以，
又，当且仅当时取等号，
所以，所以，
由，
可得，
所以，
设，即当时，恒成立，
设，
则，所以，
可得.
故选：A.
【点睛】本题考查解三角形中边角关系式化简、基本不等式、二次函数图象问题.利用边角关系式求得的范围是解决问题的关键；难点在于通过二次函数图像来得到关于的不等式，讨论二次函数图象通常从以下三个方面来讨论：①判别式；②对称轴；③区间端点值符号.
8．C
【分析】设，，由题意得出是等腰直角三角形，列方程组得到含的齐次方程求解离心率即可.
【详解】如图，设，，延长交于A，
由题意知，O为的中点，故为中点，
又，即，则，
又由，则是等腰直角三角形，
故有，化简得，即，
代入得，
即，由所以，
所以，.
故选：C.
9．AD
【分析】根据图象确定和周期，再确定，代入最值点确定，从而得出解析式，再由正弦函数的图象与性质逐项判断即可.
【详解】由图象可知，，所以，故A正确；
又因为，所以，
而且，所以，所以函数解析式为.
所以，故B错误；
对于C，当时，，所以，所以的值域为，故C错误；
对于D，当时，，当取得时，取得极值，所以在上有3个极值点，故D正确.
故选：AD.
10．BD
【分析】根据计算公式结合收敛点的定义判断即可.
【详解】对A，由可得数列，，，…不合题意，故A错误；
对B，由可得数列，，，…
则存在一个正数，使得对任意都成立，满足题意，故B正确；
对C，由可得数列，，，…不满足题意，故C错误；
对D，由可得数列…
因为，
存在一个正数，使得对任意都成立，满足题意，故D正确；
故选：BD
11．ABD
【分析】根据给定的函数等式，利用赋值法令即可判断A；结合奇偶函数的定义构造即可判断B；利用极值点的意义即可判断C；利用赋值法即可判断D.
【详解】函数的定义域为，
对于A，令，则，解得，A正确；
对于B，，取，则，因此，
令，即有，因此函数是奇函数，即是奇函数，B正确；
对于C，选项B中，令，则，求导得，，
因此不是的极值点，C错误；
对于D，，
由，得，即，
因此，D正确.
故选：ABD
【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解.
12．2
【分析】利用列举法求解集合，即可求解.
【详解】当时，，2，4，分别为,均不能满足，
当时，时可满足，
时，，时，均不满足，
当时，可满足，时，，时，均不满足，
所以，故集合的元素有2个，
故答案为：2
13．
【分析】设底面中心为，设椭圆的长轴端点为，证得平面，得到，进而求得截面所在椭圆的长半轴为，短半轴为，得到截面的面积以及圆柱的表面积，进而求得答案.
【详解】设底面中心为，截面与底面交于线段AB，由圆雉曲线定义可得截面为半个椭圆，
如图所示，设椭圆的长轴端点为，且底面圆周上的点满足DE垂直于底面，
可得，
因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以，
因为，截面与底面所成角的平面角是，则，
所以截面所在椭圆的长半轴为，短半轴为，
所以截面的面积为，
而圆柱的表面积是，
因此所刷油漆的面积为．
故答案为：.

14．
【分析】首先等价转化为，再设，利用导数和隐零点法得到，最后得到不等式，解出即可.
【详解】不等式对恒成立，
等价于，所以，
设，其中，则，令得，
所以当时，单调递减，当时，单调递增，
所以，又，
所以存在使得，
所以若，则或，即或，
，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
所以，所以只有才能满足要求，
即，又，解得，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：等价转化为，再设，利用导数和隐零点法得到，从而有，解出即可.
15．(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；
（2）求导可得，含参分类讨论、、和时函数的单调性即可求解.
【详解】（1）由题意知，当时，，
则，
故曲线在处的切线方程为．
（2）的定义域为，且，
当时，则，
令，解得，令，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增；
当时，则有：
若，则，令，则单调递增；
令，则或单调递减；
若，则，令，则单调递增；
令，则或单调递减；
若，则单调递减．
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减．
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连结，交于点，连结，利用相似比得，然后可得，根据线面平行判定定理即可得证；
（2）以为原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，利用二面角的向量公式求出，再由点到直线的距离的向量公式可得.
【详解】（1）连结，交于点，连结，
因为，
所以，又，
所以，所以，
因为面，面，
所以平面.
（2）以为原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
设，，则，，，，
则，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，可取，
平面的法向量可取，
所以，得，
因为，
与同向的单位向量，
所以点到直线的距离为.
17．(1)答案见解析；
(2)2个.
【分析】（1）求出的可能取值及其对应的概率，即可求出的分布列.
（2）分别求出三种方案总费用的期望值，比较它们的大小，即可得出答案.
【详解】（1）由题意可知，的取值可能是
则，
，
，
的分布列为
（2）设乙购买个盲盒，集齐一套京剧脸谱娃娃所需总费用为（单位：元），
则的取值可能是1，2，3.
方案一：购买1个盲盒，直接购买另外两款京剧脸谱娃娃，
则总费用元．
方案二：购买2个盲盒，当盲盒中的京剧脸谱娃娃的款式相同时，
直接购买另外两款京剧脸谱娃娃，总费用元，概率为；
当盲盒中的京剧脸谱娃娃的款式不相同时，直接购买第三款京剧脸谱娃娃，
总费用元，概率为．
所以购买2个盲盒的总费用的期望值为元．
方案三：购买3个盲盒，当3个盲盒中的京剧脸谱娃娃款式均相同时，
直接购买另外两款京剧脸谱娃娃，总费用元，概率为；
当3个盲盒中的京剧脸谱娃娃恰有两个款式相同时，直接购买第三款京剧脸谱娃娃，
总费用元，概率为；
当3个盲盒中的京剧脸谱娃娃款式均不相同时，总费用元，
概率为．
所以购买3个盲盒的总费用的期望值为元．
因为方案二购买费用的期望值最小，所以乙应购买2个盲盒．
18．(1)；
(2)；
(3)，.
【分析】（1）利用双曲线的渐近线方程及其方向向量，再利用向量的夹角公式计算得解.
（2）设出点的坐标，利用数量积及向量模的坐标表示，结合双曲线有范围求解即得.
（3）求出椭圆方程，设出直线方程，与椭圆、双曲线方程联立分别求出点的坐标，再建立的关系式，利用基本不等式求解即得.
【详解】（1）双曲线的两条渐近线方程为，则它们的方向向量，
设两条直线夹角为，则，
所以双曲线的两条渐近线夹角的余弦值为.
（2）设Px1,y1，，显然、，，，
则，即，又点在双曲线上，有，即，
从而，解得，而点是双曲线在第一象限的点，则，
，
所以.
（3）在椭圆中，，焦点在轴上，标准方程为，
设Qx2,y2，，直线的斜率为，，
则直线的方程为，
由，得，该方程的两根分别为和，
由，得，同理，于是，
记，，
则
，当且仅当即时取等号，
所以的最小值为，此时点的坐标为.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
②代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
19．(1)；
(2)不可能结束，理由见解析；
(3)64.
【分析】（1）根据数列的新定义写出经过6次“变换”后得到的数列即可；
（2）先假设数列经过不断的"变换"结束，不妨设最后的数列设数列，，，且，，则非零数量可能通过“变换”结束，或者数列为常数列，进而得到可能出现的情况，推出矛盾，故假设不成立，即可证明；
（3）先往后推几项，发现规律，假设1次“变换"后得到的通项，多写几项推出规律，往后继续进行，推到使数字按近时，再继续推，往后会发现次“变换”得到的数列是循环的，得到最小值，进而推出次数即可.
【详解】（1）依题意，6次变换后得到的数列依次为
；；；；；，
所以，数列，经过6次“变换”后得到的数列为.
（2）数列经过不断的“变换”不可能结束
设数列，，，且，，
依题意，，，所以，
即非零常数列才能通过“变换”结束．
设（为非零自然数）．
为变换得到数列的前两项，数列只有四种可能
，，；，，；，，；，，．
而任何一种可能中，数列的第三项是0或．
即不存在数列，使得其经过“变换”成为非零常数列，
由①②得，数列经过不断的“变换”不可能结束．
（3）数列经过一次“变换”后得到数列，其结构为．
数列经过6次“变换”得到的数列分别为：
；；；
；；．
所以，经过6次“变换”后得到的数列也是形如“”的数列，
变化的是，除了3之外的两项均减小18．
因为，所以，数列经过次“变换”后得到的数列为2，5，3．
接下来经过“变换”后得到的数列分别为：
3，2，1；1，1，2；0，1，1；1，0，1；1，1，0；0，1，1；1，0，1，，
至此，数列和的最小值为2，以后数列循环出现，数列各项和不会更小，
所以经过次“变换”得到的数列各项和达到最小，
即的最小值为64．
【点睛】思路点睛：本题考查数列的新定义问题.关于数列的新定义一般思路为：（1）根据定义写出几项；（2）找出规律；（3）写成通项；（4）证明结论.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
C
C
D
B
A
C
AD
BD
题号
11









答案
ABD









2
3
4