【开学摸底考】2024-2025学年春季期九年级下册数学开学摸底考（无锡专用）（原卷+答案+答题卡）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是
A．B．C．D．
2．（3分）抛物线的顶点坐标和开口方向分别是
A．，开口向上B．，开口向下
C．，开口向上D．，开口向下
3．（3分）如图，与交于点，，且，则
A．B．C．1D．
4．（3分）如图，是的直径，点，在上，若，则的大小为
A．B．C．D．
5．（3分）半径等于8的圆中，垂直平分半径的弦长为
A．B．C．D．
6．（3分）在直角坐标系中，半径为4的的圆心坐标为，那么下列说法正确的是
A．轴与相交
B．轴与相切
C．原点到上任意点距离的最小值为1
D．轴上不存在到圆心为4的点
7．（3分）有下列几个命题：①长度相等的弧是等弧；②三点确定一个圆；③三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等；④平分弦的直径垂直于这条弦；⑤的圆周角所对的弦是直径，其中正确的命题个数有
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．（3分）已知△△，和是它们的对应角平分线，若，若，则
A．2B．3C．6D．9
9．（3分）已知抛物线在自变量的值满足时，与其对应的函数值的最小值为，求此时的值为
A．1或B．2或C．3或D．或
10．（3分）如图，已知，，，动点从向终点运动，线段的中垂线分别交、于点、，在整个运动过程中，点的运动路程长为
A．8B．9C．10D．11
第二部分（非选择题 共120分）
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡上相应的位置）
11．（3分）关于的方程是一元二次方程，则满足的条件是 ．
12．（3分）如果，且是和的比例中项，那么等于 ．
13．（3分）如图，正方形的边长为，以点为圆心，为半径画圆弧，得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的全面积是 ．
14．（3分）如图，是△的外接圆，的半径为4，，则的长是 ．
15．（3分）如图，某小区有一块长为15米，宽为10米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为96米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．设人行通道的宽度为米，则所列方程是 ．
16．（3分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，和的顶点都在网格线的交点上．设的周长为，的周长为，则的值等于 ．
17．（3分）如图所示，在平面直角坐标系中，的半径为2，动弦，是的中点，直线与轴交于，与轴交于，连接和，则的面积的最大值为 ．
18．（3分）如图，正方形的边长为4，点是平面内一点，连接，，且，点是正方形的中心，连接，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则的最大值是 ．
三、解答题（本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）解下列方程：
（1）； （2）；
； （4）．
20．（10分）如图，在等腰三角形中，，点在平分线上，过点作线段分别交，于点，，已知．
（1）求证：△△．
（2）若，是的中点，求的值．
21．（10分）关于的一元二次方程有两个实数根、．
（1）求的取值范围；
（2）若、分别是一个矩形的长和宽．
①是否存在，使得矩形的面积为10，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由；
②是否存在，使得矩形的对角线长为？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
22．（10分）如图，已知△，．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图；
①在上求作点，使以为圆心的圆经过，两点；
②若交于，求作点，使为劣弧的中点．（不写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母）
在（1）的条件下，连接交于点，若，，则 ．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过点，，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接、、，求的面积．
24．（8分）如图，已知为的直径，是的中点，垂直于过点的直线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，．求的长．
25．（8分）某超市经销一种商品，每千克成本为40元，试经销发现，该种商品的每天销售量（件与销售单价（元件）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的几组对应值如表所示：
（1）求（件与（元件）之间的函数解析式；
（2）销售过程中要求卖出的商品数不少于60件，求销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
26．（10分）如图①，二次函数的图象交轴于点和点，交轴于点．
（1）填空： ， ；
（2）如图②，已知点在抛物线上运动，连接、、，若，求点的坐标；
（3）如图③，若点是抛物线位于第三象限图象上的一动点，连接交于点．连接，若△的面积记为，△的面积记为，则是否存在最大值？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
27．（10分）如图，在▱ABCD中，P是线段BC中点．
（1）连接AC交DP于点E，连接BE并延长交CD于F．
①试说明F为CD中点；
②若BF恰好垂直CD，且BE=3CE，求ABBC的值；
（2）▱ABCD的对角线交于点O，将线段BP绕着点A旋转，使点B的对应点B'落在点O上，此时点P的对应点P′落到BD所在直线上，求ABBC的值．
28．（10分）在平面直角坐标系中，已知抛物线、是常数）经过点和，点在这个抛物线上，设点的横坐标为．
（1）求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点的坐标．
（2）点在这个抛物线上（点在点的左侧），点的横坐标为．
①当是以为底的等腰三角形时，求的面积．
②将此抛物线、两点之间的部分（包括、两点）记为图象，当顶点在图象上，记图象最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为，求与之间的函数关系式．
（3）设点的坐标为，点的坐标为，点在坐标平面内，以、、、为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出的取值范围．
销售单价（元件）
55
60
70
销售量（件
70
60
40