【开学摸底考】2024-2025学年春季期九年级下册数学开学摸底考（福建专用）（原卷+答案+答题卡）

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（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本题共10题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示的物体组合，它的左视图是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过对简单组合体的观察，从左边看圆柱是一个长方形，从左边看正方体是一个正方形，但是两个立体图形是并排放置的，正方体的左视图被圆柱的左视图挡住了，只能看到长方形，邻边用虚线画出即可．
【详解】从左边看圆柱的左视图是一个长方形，从左边看正方体的左视图是一个正方形，从左边看圆柱与正方体组合体的左视图是一个长方形，两图形的邻边用虚线画出，
则如图所示的物体组合的左视图如D选项所示，
故选：D．
【点睛】本题考查了简单组合体的三视图．解答此题要注意进行观察和思考，既要丰富的数学知识，又要有一定的生活经验和空间想象力．
2．年9月25日，一枚东风洲际弹道导弹从海南成功发射，目标直指太平洋南部海域．已知该导弹最远射程可达米，将数用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数解题的关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：，
故选：D．
3．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计（如图所示），其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中，右图是八角形窗户的示意图，它的一个外角的大小为（ ）
A．22.5°B．45°C．60°D．30°
【答案】B
【分析】本题考查了多边形外角和定理，由多边形的外角和定理直接可求出结论，掌握正八边形的外角和为是解此题的关键．
【详解】解：正八边形的外角和为，
每一个外角为，
故选：B．
4．如图，在中，已知，将绕点顺时针旋转到的位置，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了旋转的性质，将绕点A顺时针旋转得到的位置，依据旋转的性质即可得解．
【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转得到，
∴旋转角，
故选：B．
5．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了完全平方公式、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，解题的关键是掌握有关运算法则以及公式．运用相关运算法则逐项判断即可得解；
【详解】解：A、，此选项错误；不符合题意，
B、，此选项错误；不符合题意，
C、，此选项正确；符合题意，
D、，此选项错误．不符合题意，
故选：C
6．某品牌专营店店主对上一周新进的某款衬衫销售情况统计如下：
该店主决定本周进货时，增加一些42码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（ ）
A．平均数B．中位数C．众数D．加权平均数
【答案】C
【分析】销量大的尺码就是这组数据的众数．
【详解】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．
故选：C．
【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
7．如图是某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线相互平行，则点表示的数是（ ）
A．B．C．D．5
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定与性质进行计算即可，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：如图，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点表示的数是，
故选：C．
8．如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点A，B，C均在格点上，D是与网格线的交点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查勾股定理逆定理、平行线所截线段成比例、斜边中线定理及三角函数，熟练掌握勾股定理逆定理、平行线所截线段成比例、斜边中线定理及三角函数是解题的关键；由题意易得，即是直角三角形，然后可得，则有，进而根据三角函数可进行求解
【详解】解：如图，由题意得：，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴，．
∵，，
∴，
∴，
∴是斜边上的中线，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴;
故选A．
9．在数轴上，把原点记作O，表示数2的点记作A，对于数轴上任意一点P（不与点O，A重合），将线段与线段的长度之比定义为点P的“特征值”，记作，即．已知数轴上两点M，N，，则线段最长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了坐标轴上两点间的距离，根据新定义推出，点表示的数是，分当点在点右侧和左侧，两种情况分别求出点点表示的数为或，直接代值计算，再比较即可．
【详解】解：因为，，
所以，
所以，
又因为点A表示的数是2，点O表示的数是0，
所以点是的中点，
所以点表示的数是，
如图，当点在点右侧时，
则，即，
所以，则，
所以点表示的数是，
所以；
如图，当点在点左侧时，
则，即，
所以，则，
所以点表示的数是，
所以；
因为，
所以最长为；
故选：C．
10．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形绕O点顺时针旋转i个，得到正六边形，当时，顶点C的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】以O为圆心，为半径作 得到将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转i个，即把绕点O顺时针旋转i个，与重合，利用正六边形的性质与锐角三角函数求解的坐标，根据对称性从而可得答案．
【详解】解：如图以O为圆心，为半径作 ；
将边长为1的正六边形绕点O顺时针旋转i个；
即把绕点O顺时针旋转i个；
C旋转后对应点依次为，，……；
∵1周；
∴绕点O顺时针旋转12次回到原位置；
∵；
∴与重合；
如图：
∵多边形是正六边形；
∴每个内角为；
即；
∵正六边形是轴对称图形；
∴
∵；
∴；
∴坐标为；
由对称性得点，，
即的坐标为；
故选：A．
【点睛】本题考查的是旋转的性质，正六边形的性质，对称性，锐角三角函数，掌握旋转的性质和轴对称以及中心对称是解题的关键；
第二部分（非选择题 共110分）
填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了提公因式法进行因式分解．直接提取公因式，即可作答．
【详解】解：∵，
故答案为：．
12．小华去文具店买文具，已知一支铅笔2元，一个笔记本3元，假设他买了支铅笔和本笔记本共花了12元，则可列方程为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了列二元一次方程，解题的关键是根据支铅笔和本笔记本共花了12元，列出方程即可．
【详解】解：∵一支铅笔2元，一个笔记本3元，他买了支铅笔和本笔记本共花了12元，
∴可列方程为．
故答案为：．
13．一个不透明的盒子中装有黑、白两种颜色的小球共30个，它们除颜色外其他都相同．小明任意摸出一球记下颜色后再放回，通过大量重复摸球试验后，发现摸到黑色小球的频率稳定在0.6左右，则估计盒子中黑球的个数是 ．
【答案】18
【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此求解即可得到答案．
【详解】解：根据题意，由此估计，摸到黑色小球的概率是0.6，
设盒子中黑色小球的个数是，则，解得，
故答案为：18．
14．如图，在中，，以点C为圆心，以小于的长为半径画弧，分别交，于点E，F；再分别以点E，F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点O，作射线交于点G．若，，H为上一动点，则最短为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是垂线段最短，角平分线的性质，过点G作于点，证明，由垂线段最短的含义可得答案．
【详解】解：如图，过点G作于点，
由作图知是的平分线，
∵，，
∴，
∴最短为，
故答案为3．
15．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1．若点都在格点上，交点，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
连接，，根据题意可得：，从而可得，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，进而可得，然后利用等量代换可得：，即可解答．
【详解】解：如图：连接，，
由题意得：，
∴，
由题意得：，
，
，
，
是直角三角形，
，
，
，
，
∴，
故答案为：．
16．抛物线过点，，与轴交于，两点（点在点的左侧），若点为轴上一点，点满足，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】利用待定系数法求得抛物线解析式，求得点，根据题意可知点在以为直径的圆周上，设线段的中点为M，则，半径，作点D关于y轴的对称点G，过点G作轴，则点，，，有，当点G、E、F、M三点共线时取的最小值，利用勾股定理求得，则．
【详解】解：把点，代入抛物线，
得
解得：，
∴抛物线的解析式为，
∵抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），
∴，化简得，解得，
则点，
∵点满足，
∴点在以为直径的圆周上，
设线段的中点为M，
∴，半径，
如图，作点D关于y轴的对称点G，过点G作轴，
则点，，，
∴，
当点G、E、F、M共线时取的最小值，
∵，
∴，
则，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数的性质、90度的圆周角所对的弦是直径、对称性、三点共线和勾股定理，解题的关键是熟悉圆周角定理和对称性．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（8分）
计算：．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简、负整数指数幂的概念、绝对值的相关知识和实数的有关运算，是对基本概念和基本技能的考查，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
按照实数的运算法则依次计算即可．
【详解】解：
．
18．（8分）
如图，在的边，上截取线段，，使，连接，M，N是线段上的两点，且，连接，．求证：．

【答案】见解析
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定以及平行线的判定，掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定以及平行线的判定是解题的关键．
根据四边形是平行四边形可得，进而可证出，即可证出．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，
在和中，
，
，
，
．
19．（8分）
先化简，再求值：计算，其中．
【答案】
【分析】本题主要考查分式的化简求值能力，熟练掌握分式的运算顺序和运算法则是解题的关键．
先计算括号内的，再将除法转化为乘法，最后约分即可化简原式，将的值代入可得答案．
【详解】原式，
当时，原式．
20．（8分）
秋天是桔子收获的季节，某班同学前往桔园开展综合实践活动，对甲、乙两个桔园的桔子大小情况进行调查统计，
【收集数据】从两块桔园采摘的桔子中各随机选取200个，测量每个桔子的直径作为样本数据．
【整理数据】将所收集的两个桔园样本数据分别进行整理，分成A，B，C，D，E五组．桔子直径用x（单位：）表示，A组：；B组：；C组：；D组：；E组：．
【描述数据】根据统计数据，绘制成如下统计图．
【分析数据】两个桔园样本数据分析统计如下表．
根据以上统计数据，解答下列问题：
(1)补全频数分布直方图；
(2)结合市场情况，将C，D两组的桔子认定为一级，乙桔园有桔子树100棵，一棵桔子树平均结果500个，平均5个一级桔子重一斤，估计乙桔园的一级桔子产量约有多少斤；
(3)从平均数、中位数、众数、方差中任选一个，说明其意义．
【答案】(1)见解析
(2)估计乙桔园的一级桔子产量约有斤；
(3)见解析
【分析】本题考查频数（率）分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体；平均数、中位数、众数、方差的意义．
（1）先求出甲桔园中组别C的桔子个数，进而补全统计图即可；
（2）利用样本估计总体求解即可；
（3）根据平均数、中位数、众数、方差的意义求解即可．
【详解】（1）解：C组的人数有个，
补全频数分布直方图如图，
（2）解：乙桔园的一级桔子的个数有个，
估计乙桔园的一级桔子产量约有斤；
（3）解：平均数表示两个桔园选取200个桔子的平均直径；
众数表示两个桔园选取200个桔子中平均直径在某个范围的个数最多；
中位数表示两个桔园选取200个桔子中，将直径从小到大排列后，位于中间位置的直径；
方差表示两个桔园选取200个桔子的直径的稳定性（任选其中一个说明即可）．
21．（8分）
某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案，现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：
方案一，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，．
方案二，抛物线型拱门的跨度，拱高其中，点在轴上，．
要在拱门中设置高为的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计），方案一中，矩形框架的面积记为，点、在抛物线上，边在上；方案二中，矩形框架的面积记为，点在抛物线上，边在上，现知，小华已正确求出方案二中，当时，，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：
(1)求方案一中抛物线的函数表达式；
(2)在方案一中，当时，求矩形框架的面积并比较的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出函数关系式．
（1）由题意知抛物线的顶点，设顶点式用待定系数法可得方案一中抛物线的函数表达式；
（2）令可得或，故；再比较的大小即可．
【详解】（1）解：由题意知，，，
方案一中抛物线的顶点，
设抛物线的函数表达式为，
把代入得，，
解得：，
，
方案一中抛物线的函数表达式为；
（2）解：在中，
令得：；
解得或，
，
，
，
．
22．（10分）
如图，已知，点在射线上，，点为垂足．
(1)求作：延长线上一点，使点到的两边的距离相等（保留作图痕迹，不写作法．写出结论）；
(2)在（1）的条件下，如果，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用尺规作图作出的角平分线即可；
（2）设，利用直角三角形的性质、三角形的外角性质求得，在线段上取点，使，得到，再证明，据此求解即可．
【详解】（1）解：如图，点即为所作，
；
（2）解：设，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
在线段上取点，使，连接，如图，
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了尺规作图－作角的平分线，等腰直角三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，三角形的外角性质．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
23．（10分）
已知如图，的内接切于A点，过C作的平行线交于D点．
(1)求证：．
(2)若的直径为6，求．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了圆的相关知识点，涉及了切线的性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理以及三角函数等知识点，掌握相关结论是解题关键．
（1）过点作直径，连接，根据、可得；结合可得，根据得，即可推出，证即可；
（2）连接，作，可得进而得，分别求出即可求解；
【详解】（1）证明：过点作直径，连接，如图所示：
∵是切线，
∴
∵是直径，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
即：
（2）解：连接，作，如图所示：
∵
∴
∵
∴
∴，
∴
∴
24．（12分）
【项目式学习】
项目主题：数学智慧拼图
项目背景：为了缓解同学们的学习压力，提高思维能力，增强学习兴趣，并促进同学们的全面发展．王老师将数学学习小组分成三组，每组领取一些矩形卡片，开展“数学智慧拼图”为主题的项目式学习．
任务一：观察建模
如图1，第一小组领了8个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个大矩形，每个小矩形的长和宽分别分别为x、y（），小组同学测得拼成的大矩形长为30，宽为16，可得方程组 ，则： ， ；
任务二：推理分析
第二小组也领了8个大小、形状完全相同的小矩形，把它们按图2方式放置在一个大矩形中，求图2中阴影部分的面积；
任务三：设计方案
第三小组领了A、B、C三种类型的矩形卡片，它们的长为18，宽分别为a、b、c，其中且a、b、c均为正整数，分别取A、B、C卡片2、3、4张， 把它们按图3方式放置在一个边长为36的正方形中，则阴影部分的面积为144；若分别取A、B、C卡片3、2、5张，能否把它们放置在边长为36的正方形中（不能有重叠），如果能，请你在图4中画出放置好的示意图，并标注a、b、c的值，如果不能，请说明为什么．
【答案】任务一：5，10任务二：31任务三：，，，图见解析
【分析】此题考查了二元一次方程组的实际应用和不等式组的应用，正确理解图形中各线段之间的关系列出方程组是解题的关键．
任务一：直接解方程组即可；
任务二：设8个大小、形状完全相同的小矩形长为m，宽为n，列方程组求出长宽，再求出阴影部分面积即可；
任务三：先列方程组求出，根据题意得出或2，进而求出两种情况下a、b、c的值，根据面积得出当时无法放置，当时能放置并画出放置方式即可．
【详解】解：任务一：
由①得：，
把代入②，得：，
原方程组的解是；
任务二：设8个大小、形状完全相同的小矩形长为m，宽为n，由题意得：
，
解得：，
则图2中阴影部分的面积；
任务三：由题意得：，
解得：，
且a、b、c均为正整数，
，
解得：，
或2，
当时，，，
分别取A、B、C卡片3、2、5张，拼成的不重叠的图形面积为：，
故此时不能放置；
当时，，，
分别取A、B、C卡片3、2、5张，拼成的不重叠的图形面积为：，
故此时能放置，放置方式如下图：
25．（14分）
如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数交于，B两点，与x轴交于点C．
(1)求反比例函数解析式；
(2)P为反比例函数图象上任意一点（不与重合）
①过P作交y轴于点Q，若，求P点坐标；
②如图2，直线与x轴、y轴分别交于点，直线分别与x轴y轴交于．试判断是否为定值．若是，求出该值；若不是，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①或；②是定值，
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）①证明，则，得到，进而求解；②求出直线的表达式为：，得到点的坐标分别为：，同理求出的坐标分别为：，即可求解．
【详解】（1）解：当时，，即点，
将点A的坐标代入反比例函数表达式得：，
则反比例函数表达式为：；
（2）设直线交y轴于点T，由直线的表达式知，当时，，
∴点，
∴，
联立直线和反比例函数的表达式得：，
解得：（舍去）或，则点，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
①过点P作y轴的平行线交过点Q和x轴的平行线于点N，
∴，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴设，则，
∴，
∴，
∴，
即点P的横坐标为或6，
即点或；
②为定值，理由：
设点P的坐标为：，
设直线的表达式为：．
把代入得：
，
∴，
∴直线的表达式为：，
令，则，令，则，
即点的坐标分别为：、，
设直线的表达式为，
把代入得：
，
∴，
∴直线的表达式为，
令，则，令，则，
∴，
∴，
，
即．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到解直角三角形、一次函数的性质等，分类求解和数据运算是解题的关键．
尺码
39
40
41
42
43
44
45
平均每天销售数量/件
10
23
30
35
28
21
8
果园
平均数
中位数
众数
方差
甲
5.90
5.8
6.5
1.33
乙
5.94
6.0
6.2
1.22