【开学摸底考】2024-2025学年春季期高三数学开学摸底考试卷（北京专用）

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数学
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．已知集合
A．
，
，则
（
）
B．
的模为（
B．
C．
D．
D．
2．复数
A．
）
C．1
3．已知向量
A．
，
，
，且
，则
D．
（
）
B．
C．
C．
4．已知函数
A．
是
上的奇函数，则函数
的图象恒过定点（
）
B．
D．
5．若
A．2
的展开式中含 的系数为 15，则实数
（
）
B．1
C．
D．
.则
D．4
，则
D．
6．已知 是抛物线
A．
上一点， 是抛物线的焦点，
（
）
B．
B．
C．3
7．在
A．
中内角
所对边分别为
，若
（
）
C．
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8．设
，则“直线
与直线
平行”是“
”的（
）
A．充分不必要条件
C．充要条件
B．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
9．“蝠”与“福”发音相同，在中国文化中，蝙蝠图案经常寓意福气临门．某商家设计的折叠储物凳是正三棱台
形状，如图，其侧面展开图形似蝙蝠．每个侧面梯形的上底长为 分米，下底长为 分米，梯形的腰长
分米，忽略储物凳的表面厚度，则该正三棱台储物凳的储物容积为（
为
）
A．
10．设
立方分米 B．
立方分米
C．7 立方分米
，面积为 为正整数）．若
，则（
D． 立方分米
的三边长分别为
、
、
（
，其中
，
，
，
）
A．
为严格减数列
为严格增数列
为严格增数列，
为严格减数列，
B．
C．
D．
为严格减数列
为严格增数列
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11．已知函数
，则
．
12．已知双曲线
的渐近线方程为
，则双曲线的离心率 e=
.
13．若对任意的实数
，
恒成立，则满足条件的一组
，
的值为
，
.
14．在数学发展史上，已知各除数及其对应的余数，求适合条件的被除数，这类问题统称为剩余问题.1852
年《孙子算经》中“物不知其数”问题的解法传至欧洲，在西方的数学史上将“物不知其数”问题的解法称之为
“中国剩余定理”，“物不知其数”问题后经秦九韶推广，得到了一个普遍的解法，提升了“中国剩余定理”的高
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度.现有一个剩余问题：在
的整数中，把被 除余数为 ，被 除余数为 ，被 除余数也为 的数，
按照由小到大的顺序排列，得到数列
，则数列
的项数为
.
15．几位同学在研究函数
（ ）时给出了下面几个结论：
①函数
②若
③
的值域为
；
，则一定有
；
在
是减函数；
，且对任意正整数 n 都有：
④若规定
，则
对任意
恒成
立.
上述结论中正确结论的序号为
.
三、解答题：本题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
16．（13 分）如图，
平面
，
，
，
为
的中点．
(1)求证：
平面
；
(2)求二面角
的余弦值．
17．（14 分）已知函数
①最大值为 2； ②最小正周期为
，由下列四个条件中选出三个：
；
③
；
④
．
(1)求函数
(2)设
的解析式及单调递减区间；
．当 时，
的值域为
，求 的取值范围．
18．（13 分）为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的 1 班~8 班进行了抽测，采取如下方
式抽样：每班随机各抽 10 名学生进行身体素质监测.经统计，每班 10 名学生中身体素质监测成绩达到优秀
的人数散点图如下（x 轴表示对应的班号，y 轴表示对应的优秀人数）：
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(1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测 1 人，试估计该生身体素质监
测成绩达到优秀的概率；
(2)若从高一 2 班抽测的 10 人中随机抽取 1 人，从高一 5 班抽测的 10 人中随机抽取 1 人，设 X 表示这 2 人
中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求 X 的分布列和数学期望；
(3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的 10 名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中
分别随机抽取 1 名同学，用“
”表示第 k 班抽到的这名同学身体素质优秀，“
”表示第 k 班抽到的这
名同学身体素质不是优秀
程）.
.直接写出方差
，
，
，
的大小关系（无需过
19．（15 分）已知椭圆
(1)求 的方程；
经过点
，离心率为
.
(2)若
，
为
上的两点，且直线
与直线
的斜率之积为 ，求证：直线
过定点.
20．（15 分）已知函数
，其中
在点
.
(1)当
(2)求
时，求曲线
的单调区间；
处的切线方程；
(3)当
且
时，判断
是各项均为正整数的无穷递增数列，对于
为集合 中的元素个数，若 时，规定
的值；
是等差数列，求数列
与
的大小，并说明理由.
21．（15 分）已知
，定义集合
，设
．
(1)若
，写出
及
(2)若数列
(3)设集合
的通项公式；
，求证：
且
．
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