2023-2024学年辽宁省丹东市八年级上学期期末数学试卷及答案

这是一份2023-2024学年辽宁省丹东市八年级上学期期末数学试卷及答案，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．B．
C．3.D．0.7272272227
2．（2分）在平面直角坐标系中有两点A，B，其中点A（a，5）与点B（2，b）关于x轴对称，则a，b的值分别为（ ）
A．2，﹣5B．2，5C．﹣2，5D．﹣2，﹣5
3．（2分）如图，下列条件中，不能判定l1∥l2的是（ ）
A．∠3＝∠4B．∠2+∠5＝180°
C．∠2＝∠4D．∠1+∠5＝18°
4．（2分）甲，乙两名射箭运动员进行了五次射击测试，测试成绩如下图．甲，乙两名运动员成绩的方差分别记为和，则与的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．无法确定
5．（2分）如图，将长为6cm的橡皮筋水平放置，固定两端A和B，然后把中点C竖直向上拉升至D点，使得橡皮筋被拉长了4cm，则橡皮筋竖直升高的距离CD为（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
6．（2分）下列命题：①内错角相等；②相等的角是对顶角；③同旁内角互补，两直线平行；④一个角的余角一定大于这个角．其中真命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．（2分）将一副三角板按如图所示方式摆放，使两条斜边互相平行，则∠1＝（ ）
A．45°B．50°C．60°D．75°
8．（2分）如图，长方体的长为4cm，宽为4cm，高为3cm，BC＝2cm，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点C，则需要爬行的最短路程为（ ）
A．B．C．D．6cm
9．（2分）一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列选项正确的有（ ）
①y2随x的增大而减小；②函数y＝bx+d的图象不经过第二象限；③2a﹣2c＝b﹣d；④a+b+c+d＞0．
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（每小题2分，共18分）
10．（2分）的平方根是 ．
11．（2分）若的值在两个整数n与n+1之间，则n＝ ．
12．（2分）面试时，某人的基本知识、表达能力、工作态度的得分分别为95分、85分、90分，若依次按2：2：1的比例确定成绩，则这个人的面试成绩是 分．
13．（2分）如图是某灯具的镜面反射示意图，从光源点P处发出的光线PA，PB经弯曲的镜面反射后射出，且满足反射光线AC∥BD，若∠PAC＝40°，PA⊥PB于点P，则∠PBD的度数为 ．
14．（2分）如图，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，∠D＝15°，则∠A＝ ．
15．（2分）一次函数y＝kx+b（k≠0）中，x与y的部分对应值如下表所示，那么关于x的一元一次方程kx+b＝3的解为 ．
16．（2分）如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为60，一个直角三角形的面积为10，则（b﹣a）2的值为 ．
17．（2分）若关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为 ．
18．（2分）如图，直线y＝2x+3交x轴，y轴于A，B两点，点P（1，m）在直线AB上，点C在x轴上，若∠APC＝45°，则点C的坐标为 ．
三、（每小题6分，共12分）
19．（6分）计算：（2﹣3）×﹣6．
20．（6分）解方程组：．
21．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1并写出点B1的坐标；
（2）在第一象限的格点上找一点D，连接AD，CD，使△ACD是以AC为腰的等腰三角形，此时点D的坐标为 ．
22．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F在边AB上，过点D作DE∥BC交AC于点E，G为BC上一点，连接FG，且∠1+∠CGF＝180°．
（1）求证：DC∥GF；
（2）若点E为AC的中点，且∠DCA＝25°，求∠GFB的度数．
五、（每小题8分，共16分）
23．（8分）某校为了推动“双减”政策落地，强化对学生的德智体美劳全面培养，决定开设以下四种拓展课程：A（摄影）、B（舞蹈）、C（音乐）、D（足球）．为了解学生的选课情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果整理如下（每名学生必须且只能选择其中一种课程）．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生人数为 名，m＝ ；
（2）补全条形统计图；
（3）求拓展课程D（足球）所对应的扇形的圆心角的度数；
（4）根据调查结果，请你估计该校1000名学生中，有多少名学生选择A（摄影）拓展课程．
24．（8分）丹东市某商场销售A，B两种空调，这两种空调的进价与售价如下表所示：
（1）若该商场用25000元购买A，B两种空调，全部销售完后可获利7000元，该商场购进A，B两种空调各多少台？
（2）若该商场计划购进两种空调共20台，其中购进A种空调m台（4≤m≤10，且m为整数），当把购进的两种空调全部售出，求m为何值时商场能获得最大利润，并计算最大利润是多少元？
六、（本题满分10分）
25．（10分）小明、小刚两人同时从家步行到乙地游玩，小明开始以50m/min的速度行走，行走了一段路程后开始加快速度，两人到小明家的距离s（m）与行走时间t（min）之间的函数图象如图所示，根据图象提供的信息解答下列问题．
（1）a＝ min．
（2）若小刚的速度是小明提速后速度的．
①小刚到达乙地的时间为 min；
②求两人相遇时离乙地的距离．
七、（本题满分10分）
26．（10分）阅读：将一个量用两种方法分别计算一次，由结果相同构造等式解决问题，这种思维方法称为“算两次”原理．在学习第一章探索勾股定理时，我们就是“用不同的方式表示同一图形的面积”探究出了勾股定理．这种方法又称为等面积法．
【问题探究】小明所在的学习小组尝试了用等面积法解决下面的问题：
如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D是线段BC上任意一点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC垂足分别为E，F．求DE+DF的值．
他们用两种方法表示出△ABC的面积：
①作AG⊥BC于点G，则．
②连接AD，则S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝ ．
请你帮助该小组的同学算出DE+DF＝ ．
【学以致用】
如图2，直线与x轴交于点A，且经过点D（2，m），已知点C的坐标为（6，0）．
（1）求直线CD的解析式；
（2）在直线CD上有一动点P，且点P到直线AD的距离为2，请利用以上所学的知识求点P的坐标．
【拓展延伸】
如图3，若点Q是第一象限内一点，且点Q到△ADC三边所在直线的距离相等，请求出点Q的坐标．
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的.每小题2分，共18分）
1．（2分）下列各数中，是无理数的是（ ）
A．B．
C．3.D．0.7272272227
【分析】根据无理数的定义逐项进行判断即可．
【解答】解：A．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；
B．是无理数，故本选项符合题意；
C．是循环小数，属于有理数，故本选项不符合题意；
D．0.7272272227是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查无理数，理解无理数的定义是正确解答的前提，掌握无限不循环小数是无理数是正确判断的关键．
2．（2分）在平面直角坐标系中有两点A，B，其中点A（a，5）与点B（2，b）关于x轴对称，则a，b的值分别为（ ）
A．2，﹣5B．2，5C．﹣2，5D．﹣2，﹣5
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征即可解答．关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
【解答】解：在平面直角坐标系中有两点A，B，其中点A（a，5）与点B（2，b）关于x轴对称，则a，b的值分别为2，﹣5．
故选：A．
【点评】本题考查了关于x轴对称的点的坐标特征，熟记关于x轴对称的点坐标特征是解题的关键．
3．（2分）如图，下列条件中，不能判定l1∥l2的是（ ）
A．∠3＝∠4B．∠2+∠5＝180°
C．∠2＝∠4D．∠1+∠5＝18°
【分析】在图形中具有相等关系或互补关系的两角首先要判断它们是否是同位角、内错角或同旁内角，被判断平行的两直线是否由“三线八角”而产生的被截直线．
【解答】解：A、∵∠3＝∠4，
∴l1∥l2（内错角相等，两直线平行）；
故不符合题意；
B、∵∠2+∠5＝180°，
∴l1∥l2（同旁内角互补，两直线平行）；
故不符合题意；
C、∠2与∠4既不是内错角，也不是同位角，所以根据∠2＝∠4，不能判定l1∥l2；
故符合题意；
D、∵∠1＝∠2（对顶角相等），
∠1+∠5＝180°（已知），
∴∠2+∠5＝180°（等量代换），
∴l1∥l2（同旁内角互补，两直线平行）；
故不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的判定．解答此类要判定两直线平行的题，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角．本题是一道探索性条件开放性题目，能有效地培养学生“执果索因”的思维方式与能力．
4．（2分）甲，乙两名射箭运动员进行了五次射击测试，测试成绩如下图．甲，乙两名运动员成绩的方差分别记为和，则与的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．无法确定
【分析】直接根据图表数据的波动大小进行判断即可．
【解答】解：图表数据可知，
甲数据偏离平均数数据较大，乙数据偏离平均数数据较小，
即甲的波动性较大，即方差大，
∴＞．
故选：B．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
5．（2分）如图，将长为6cm的橡皮筋水平放置，固定两端A和B，然后把中点C竖直向上拉升至D点，使得橡皮筋被拉长了4cm，则橡皮筋竖直升高的距离CD为（ ）
A．3cmB．4cmC．5cmD．6cm
【分析】由题意可知AD与AC的长，再根据勾股定理求出CD的长即可．
【解答】解：∵将长为6cm的橡皮筋水平放置，固定两端A和B，然后把中点C竖直向上拉升至D点，使得橡皮筋被拉长了4cm，
∴AD＝BD＝＝5（cm），AC＝BC＝cm，
∴CD＝（cm），
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．
6．（2分）下列命题：①内错角相等；②相等的角是对顶角；③同旁内角互补，两直线平行；④一个角的余角一定大于这个角．其中真命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】利用平行线的性质及判定方法、对顶角的定义及互余的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：①两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
②相等的角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
③同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题，符合题意；
④一个角的余角不一定大于这个角，故原命题错误，是假命题，不符合题意．
真命题有1个，
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
7．（2分）将一副三角板按如图所示方式摆放，使两条斜边互相平行，则∠1＝（ ）
A．45°B．50°C．60°D．75°
【分析】给图中各点标上字母，由BC∥DE，利用“两直线平行，内错角相等”，可求出∠MNB的度数，由∠AMN是△BMN的外角，利用三角形的外角性质，即可求出∠1的度数．
【解答】解：给图中各点标上字母，如图所示.
∵BC∥DE，
∴∠MNB＝∠D＝45°．
∵∠AMN是△BMN的外角，
∴∠AMN＝∠B+∠MNB＝30°+45°＝75°，
∴∠1＝75°．
故选：D．
【点评】本题考查了三角形的外角性质以及平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”及“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”是解题的关键．
8．（2分）如图，长方体的长为4cm，宽为4cm，高为3cm，BC＝2cm，一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A爬到点C，则需要爬行的最短路程为（ ）
A．B．C．D．6cm
【分析】将长方体分三种情况展开利用勾股定理分别求解即可．
【解答】解：将长方体侧面展开如图，则AC＝（cm）；
将长方体侧面展开如图，则AC＝（cm）；
将长方体侧面展开如图，则AC＝（cm），
∵，
∴需要爬行的最短路程为cm，
故选：C．
【点评】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，将立体图形展开在平面图形中求解是解题的关键．
9．（2分）一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列选项正确的有（ ）
①y2随x的增大而减小；②函数y＝bx+d的图象不经过第二象限；③2a﹣2c＝b﹣d；④a+b+c+d＞0．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】①根据函数图象直接得到结论；
②根据b、d的符号即可判断；
③当x＝3时，y1＝y2；
④当x＝1时，根据图象得不等式，
【解答】解：由图象可得：对于函数y2＝cx+d来说，y随x的增大而减小，故①正确；
由于b＞0，d＜0，
∴函数y＝bx+d的图象经过第一，三，四象限，不经过第二象限，故②正确；
∵一次函数y1＝ax+b与y2＝cx+d的图象的交点的横坐标为﹣2，
∴﹣2a+b＝﹣2c+d，
∴a﹣2c＝b﹣d，故③正确；
当x＝1时，y1＝a+b，y2＝c+d，由图象可知|y1|＞|y2|，
∴a+b＞﹣（c+d），即a+b+c+d＞0，故④正确；
综上①②③④都正确，故选：D．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质，利用数形结合是解题的关键．
二、填空题（每小题2分，共18分）
10．（2分）的平方根是 ±3 ．
【分析】根据算术平方根的定义求出＝9，再根据平方根的定义求出9的平方根即可．
【解答】解：因为＝9，而9的平方根为＝±3，
所以的平方根为±3．
故答案为：±3
【点评】本题考查平方根、算术平方根，理解平方根、算术平方根的定义是正确解答的前提．
11．（2分）若的值在两个整数n与n+1之间，则n＝ 3 ．
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可．
【解答】解：∵＜＜，
∴3＜＜4，
∵n＜＜n+1，n是整数，
∴n＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键．
12．（2分）面试时，某人的基本知识、表达能力、工作态度的得分分别为95分、85分、90分，若依次按2：2：1的比例确定成绩，则这个人的面试成绩是 90 分．
【分析】根据加权平均数定义可得．
【解答】解：这个人的面试成绩是（分）．
故答案为：90．
【点评】本题主要考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的定义是解题的关键．
13．（2分）如图是某灯具的镜面反射示意图，从光源点P处发出的光线PA，PB经弯曲的镜面反射后射出，且满足反射光线AC∥BD，若∠PAC＝40°，PA⊥PB于点P，则∠PBD的度数为 50° ．
【分析】过点P作PM∥AC，从而可得AC∥PM∥BD，则可得到∠APM＝∠PAC＝40°，∠BPM＝∠PBD，则可求得∠BPM＝50°，从而可求解．
【解答】解：过点P作PM∥AC，如图所示：
∵AC∥BD，
∴AC∥PM∥BD，
∴∠APM＝∠PAC＝40°，∠BPM＝∠PBD，
∵PA⊥PB，
∴∠APB＝90°，
∴∠BPM＝∠APB﹣∠APM＝50°，
∴∠PBD＝50°．
故答案为：50°．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等．
14．（2分）如图，E为BC延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，∠D＝15°，则∠A＝ 30° ．
【分析】先根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠ECD，再根据三角形外角性质得∠ACE＝∠A+∠ABC，代入得：∠A＝2（∠ECD﹣∠CBD），可得结论．
【解答】解：∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，
∴∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠ECD，
∵∠ACE＝∠A+∠ABC，
即∠ACD+∠ECD＝∠ABC+∠CBD+∠A，
∴2∠ECD＝2∠CBD+∠A，
∴∠A＝2（∠ECD﹣∠CBD）
∵∠ECD＝∠CBD+∠D，∠D＝15°
∴∠D＝∠ECD﹣∠CBD＝15°
∴∠A＝2×15°＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是180°和三角形外角性质进行计算．
15．（2分）一次函数y＝kx+b（k≠0）中，x与y的部分对应值如下表所示，那么关于x的一元一次方程kx+b＝3的解为 x＝0 ．
【分析】此题实际上是求当y＝3时，所对应的x的值．
【解答】解：根据上表中的数据值，当y＝3时，x＝0，
即一元一次方程kx+b＝3的解是x＝0．
故答案为：x＝0．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次方程．认真体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系是解题的关键．
16．（2分）如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为60，一个直角三角形的面积为10，则（b﹣a）2的值为 20 ．
【分析】根据图形表示出小正方形的边长为（b﹣a），再根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去4个直角三角形的面积即可得解．
【解答】解：由图可知，（b﹣a）2＝60﹣4×＝60﹣4×10＝20．
故答案为：20．
【点评】本题考查了勾股定理的证明，仔细观察图形利用小正方形的面积等于大正方形的面积减去4个直角三角形的面积是解题的关键．
17．（2分）若关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为 ．
【分析】设x﹣1＝m，y+1＝n，方程组变形后求出解得到m与n的值，进而求出x与y的值即可．
【解答】解：设x﹣1＝m，y+1＝n，则方程组可化为，
∵关于x，y的方程组的解为，
∴解得：，
即，
所以，
故答案为：．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握方程组的解法是解本题的关键．
18．（2分）如图，直线y＝2x+3交x轴，y轴于A，B两点，点P（1，m）在直线AB上，点C在x轴上，若∠APC＝45°，则点C的坐标为 （，0） ．
【分析】可将线段AP绕点A顺时针旋转90°，利用等腰直角三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：将AP绕点A顺时针旋转90°，得到线段AQ，连接PQ，分别过点P和点Q作x轴的垂线，垂足为M和N，如图所示，
则△APQ是等腰直角三角形，
∴∠APQ＝45°．
将点P坐标代入一次函数解析式得，
m＝2×1+3＝5，
故点P的坐标为（1，5）．
令y＝0得，
2x+3＝0，
解得x＝，
故点A的坐标为（，0）．
∵∠PAQ＝90°，
∴∠PAM+∠QAN＝90°，
同理可得，∠PAM+∠APM＝90°，
∴∠APM＝∠QAN．
在△PAM和△AQN中，
，
∴△PAM≌△AQN（AAS），
∴PM＝NA，AM＝NQ．
又∵PM＝5，MA＝1﹣（）＝，
∴NA＝5，NQ＝．
∴点Q的坐标为（）．
由P，Q两点的坐标可得出直线PQ的函数解析式为：y＝﹣3x+8．
令y＝0得，
﹣3x+8＝0，
解得x＝．
即点C的坐标为（）．
故答案为：（）．
【点评】本题考查一次函数的图象和性质，通过旋转线段AP构造出等腰直角三角形是解题的关键．
三、（每小题6分，共12分）
19．（6分）计算：（2﹣3）×﹣6．
【分析】利用分配律先计算括号，再合并同类二次根式．
【解答】解：原式＝6﹣9﹣3
＝6﹣12，
【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算法则．
20．（6分）解方程组：．
【分析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：原方程组整理得：，
①﹣②×2得：x＝﹣，
将x＝﹣代入②式得：
5×+y＝﹣2，
解得：y＝，
原方程组解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，代入消元法与加减消元法是关键．
21．（8分）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1并写出点B1的坐标；
（2）在第一象限的格点上找一点D，连接AD，CD，使△ACD是以AC为腰的等腰三角形，此时点D的坐标为 （1，2）或（2，1） ．
【分析】（1）根据关于y轴对称的点的坐标特征得到点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）先作点A关于直线x＝﹣1的对称点D，再作点D关于直线y＝x的对称点D′，则△ACD和△ACD′都满足条件，从而得到点D、点D′的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作，点B1的坐标为（4，﹣3）；
（2）如图，点D、点D′为所作，点D的坐标为（1，2），点D′的坐标为（2，1）．
故答案为：（1，2）或（2，1）．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：作轴对称后的图形的依据是轴对称的性质，掌握其基本作法是解决问题的关键（先确定图形的关键点；利用轴对称性质作出关键点的对称点；按原图形中的方式顺次连接对称点）．
22．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F在边AB上，过点D作DE∥BC交AC于点E，G为BC上一点，连接FG，且∠1+∠CGF＝180°．
（1）求证：DC∥GF；
（2）若点E为AC的中点，且∠DCA＝25°，求∠GFB的度数．
【分析】（1）先由DE∥BC得∠1＝∠BCD，进而可得∠BCD+∠CGF＝180°，然后根据平行线的判定可得出结论；
（2）先证DE⊥AC，进而得DE是线段AC的垂直平分线，则DC＝DA，由此得∠A＝∠DCA＝25°，从而可求出∠ADE＝65°，∠1＝65°，进而得∠ADC＝∠ADE+∠1＝130°，由此可得∠CDB＝180°﹣∠ADC＝50°，然后在由（1）的结论可知DC∥GF，最后根据平行线的性质可得∠GFB的度数．
【解答】（1）证明：∵DE∥BC，
∴∠1＝∠BCD，
又∵∠1+∠CGF＝180°，
∴∠BCD+∠CGF＝180°，
∴DC∥GF；
（2）解：∵∠ACB＝90°，DE∥BC，
∴∠DEA＝∠ACB＝90°，
即DE⊥AC，
又∵点E为AC的中点，
∴DE是线段AC的垂直平分线，
∴DC＝DA，
∴∠A＝∠DCA＝25°，
∴∠ADE＝90°﹣∠A＝65°，∠1＝90°﹣∠DCA＝65°，
∴∠ADC＝∠ADE+∠1＝130°，
∴∠CDB＝180°﹣∠ADC＝50°，
由（1）可知：DC∥GF，
∴∠GFB＝∠CDB＝50°．
【点评】此题主要考查了平行线的判定和性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质等，熟练掌握平行线的判定和性质，线段垂直平分线的性质，理解等腰三角形的两个底角相等，直角三角形的两个锐角互余是解决问题的关键．
五、（每小题8分，共16分）
23．（8分）某校为了推动“双减”政策落地，强化对学生的德智体美劳全面培养，决定开设以下四种拓展课程：A（摄影）、B（舞蹈）、C（音乐）、D（足球）．为了解学生的选课情况，学校随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果整理如下（每名学生必须且只能选择其中一种课程）．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生人数为 160 名，m＝ 35 ；
（2）补全条形统计图；
（3）求拓展课程D（足球）所对应的扇形的圆心角的度数；
（4）根据调查结果，请你估计该校1000名学生中，有多少名学生选择A（摄影）拓展课程．
【分析】（1）利用A的人数除以A的百分比即可求出调查的人数，用喜欢C的人数除以总人数即可求出m的值；
（2）根据总人数和A、C、D的人数可得B的人数，即可补全条形统计图；
（3）利用360°乘D的百分比即可；
（4）利用1000乘以A的百分比求解即可．
【解答】解：（1）此次被调查的学生人数为32÷20%＝160（名），
∵m%＝×100%＝35%，
∴m＝35；
故答案为：160，35；
（2）选择B课程的人数为：160﹣32﹣56﹣32＝40（人），
补全条形统计图如下：
（3）360°×＝72°，
答：拓展课程D（足球）所对应的扇形的圆心角的度数为72°；
（4）1000×20%＝200（名），
答：估计该校1000名学生中，有200名学生选择A（摄影）拓展课程．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24．（8分）丹东市某商场销售A，B两种空调，这两种空调的进价与售价如下表所示：
（1）若该商场用25000元购买A，B两种空调，全部销售完后可获利7000元，该商场购进A，B两种空调各多少台？
（2）若该商场计划购进两种空调共20台，其中购进A种空调m台（4≤m≤10，且m为整数），当把购进的两种空调全部售出，求m为何值时商场能获得最大利润，并计算最大利润是多少元？
【分析】（1）根据“全部销售完后可获利7000元”列方程组求解；
（2）先用m表示利润和，再求出最大利润．
【解答】解：（1）设商场购进x台A空调，y台B空调，
则：，
解得：，
答：该商场购进A，B两种空调都是10台；
（2）设商场的利润为z元，
则z＝（1500﹣1200）m+（1700﹣1300）（20﹣m），
即：z＝﹣100m+8000，
∵m值越大，z的值越小，
∴当m＝4时，z取最大值，为﹣100×4+8000＝7600（元），
答：m为4时商场能获得最大利润，最大利润是7600元．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．
六、（本题满分10分）
25．（10分）小明、小刚两人同时从家步行到乙地游玩，小明开始以50m/min的速度行走，行走了一段路程后开始加快速度，两人到小明家的距离s（m）与行走时间t（min）之间的函数图象如图所示，根据图象提供的信息解答下列问题．
（1）a＝ 2 min．
（2）若小刚的速度是小明提速后速度的．
①小刚到达乙地的时间为 min；
②求两人相遇时离乙地的距离．
【分析】（1）由100÷50＝2（min）可得a＝2；
（2）①求出小明提速后速度为（900﹣100）÷（10﹣2）＝100（m/min），可得小刚的速度是100×＝60（m/min）；再列式计算可得答案；
②根据相遇时两人距小明家的距离相等得：200+60t＝100+100（t﹣2），t＝，即可列式算得答案．
【解答】解：（1）∵小明开始以50m/min的速度行走，
∴a＝100÷50＝2（min）；
故答案为：2；
（2）①小明提速后速度为（900﹣100）÷（10﹣2）＝100（m/min），
∵小刚的速度是小明提速后速度的，
∴小刚的速度是100×＝60（m/min）；
∵（900﹣200）÷60＝（min），
∴小刚到达乙地的时间为min；
故答案为：；
②根据题意得：200+60t＝100+100（t﹣2），
解得t＝，
∵900﹣200﹣60×＝900﹣200﹣450＝250（m），
∴两人相遇时离乙地的距离为250m．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是能从函数图象中获取有用的信息．
七、（本题满分10分）
26．（10分）阅读：将一个量用两种方法分别计算一次，由结果相同构造等式解决问题，这种思维方法称为“算两次”原理．在学习第一章探索勾股定理时，我们就是“用不同的方式表示同一图形的面积”探究出了勾股定理．这种方法又称为等面积法．
【问题探究】小明所在的学习小组尝试了用等面积法解决下面的问题：
如图1，在等腰△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，D是线段BC上任意一点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC垂足分别为E，F．求DE+DF的值．
他们用两种方法表示出△ABC的面积：
①作AG⊥BC于点G，则．
②连接AD，则S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝ AC•DF ．
请你帮助该小组的同学算出DE+DF＝ ．
【学以致用】
如图2，直线与x轴交于点A，且经过点D（2，m），已知点C的坐标为（6，0）．
（1）求直线CD的解析式；
（2）在直线CD上有一动点P，且点P到直线AD的距离为2，请利用以上所学的知识求点P的坐标．
【拓展延伸】
如图3，若点Q是第一象限内一点，且点Q到△ADC三边所在直线的距离相等，请求出点Q的坐标．
【分析】【问题探究】S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝AC•DF＝DE+DF＝（DE+DF），可得（DE+DF）＝60，故DE+DF＝；
【学以致用】（1）求出D（2，3），再用待定系数法可得直线CD解析式为y＝﹣x+；
（2）过D作DG⊥AC于G，过P作PH⊥AC于H，连接AP，分两种情况：当P在D下方时，由S△ACD＝S△ADP+S△ACP，点P到直线AD的距离为2，有×8×3＝×5×2+×8•PH，可得P的纵坐标为，即可得P（，）；当P在D上方时，×8×3＝×8PH﹣×5×2，得PH＝，即可得P（，）；
【拓展延伸】证明Q在AC的垂直平分线上，可得Q的横坐标为＝2；设点Q到△ADC三边所在直线的距离为m，有×8×3＝×5m+×8m+×5m，可解得Q是纵坐标为；故点Q的坐标为（2，）．
【解答】解：【问题探究】①作AG⊥BC于点G，则；
②连接AD，则S△ABC＝S△ABD+S△ACD＝AC•DF＝DE+DF＝（DE+DF），
∴（DE+DF）＝60，
∴DE+DF＝；
故答案为：AC•DF；；
【学以致用】（1）把D（2，m）代入y＝x+得：m＝×2+＝3；
∴D（2，3），
设直线CD解析式为y＝kx+b，把C（6，0），D（2，3）代入得：
，
解得，
∴直线CD解析式为y＝﹣x+；
（2）过D作DG⊥AC于G，过P作PH⊥AC于H，连接AP，
当P在D下方时，如图：
在y＝x+中，令y＝0得x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∵D（2，3），C（6，0），
∴AC＝8，AD＝5，DG＝3，
∵S△ACD＝S△ADP+S△ACP，点P到直线AD的距离为2，
∴×8×3＝×5×2+×8•PH，
解得PH＝，即P的纵坐标为，
在y＝﹣x+中，令y＝得x＝，
∴P（，）；
当P在D上方时，如图：
∵S△ACD＝S△ACP﹣S△ADP，
∴×8×3＝×8PH﹣×5×2，
解得PH＝，
在y＝﹣x+中，令y＝得x＝，
∴P（，）；
综上所述，P的坐标为（，）或（，）；
【拓展延伸】如图：
∵Q到AD，CD的距离相等，
∴Q在∠ADC的角平分线上，
∵A（﹣2，0），D（2，3），C（6，0），
∴AC＝8，AD＝5，CD＝5，
∴AD＝CD，
∴Q在AC的垂直平分线上，
∴Q的横坐标为＝2；
设点Q到△ADC三边所在直线的距离为m，
∵S△ACD＝S△AQD+S△AQC+S△CQD，
∴×8×3＝×5m+×8m+×5m，
解得m＝，
∴Q到AC的距离为，即Q是纵坐标为；
∴点Q的坐标为（2，）．
【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，分类讨论思想的应用等，解题的关键是读懂题意，用两种不同的方法表示同一个三角形的面积．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/1/19 19:57:32；用户：巴巴爸爸吧；邮箱：rFmNtwtkgB1OZsB7sE8GbKrEJj@；学号：46376935x
﹣2
﹣1
0
1
2
y
9
6
3
0
﹣3
A
B
进价（元/台）
1200
1300
售价（元/台）
1500
1700
x
﹣2
﹣1
0
1
2
y
9
6
3
0
﹣3
A
B
进价（元/台）
1200
1300
售价（元/台）
1500
1700