安徽省合肥市第十一中学2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题（Word版附解析）

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1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】明确集合，根据交集的概念求.
【详解】时，不等式的解集为，即，
不等式，解得，即，
故．
故选：B．
2. 下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用定义判断函数的奇偶性可对A、C判断：利用函数奇偶性的判断并结合函数单调性可对B、D判断．
【详解】对A、C：由，定义域为，
所以不是奇函数，故A错误；
定义域为，
所以是偶函数，故C错误；
对B、D：，定义域为，
，所以为奇函数，
当时，，且在上单调递减，故B正确；
，定义域为，且，
所以为奇函数，且在定义域上为增函数，故D错误，
故选：B．
3. 已知函数，则“”是“为奇函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据“”与“为奇函数”互相推出的情况判断属于何种条件．
【详解】当时，，定义域为且关于原点对称，
所以，
所以为奇函数；
当为奇函数时，显然定义域为且关于原点对称，所以，
所以，
所以，
由上可知，“”是“为奇函数”的充要条件，
故选：C．
4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可得的范围为，求解的范围，再结合分母不为0即可得解．
【详解】由题意得，解得，
由，解得，
故函数的定义域是，
故选：B．
5. 设，不等式的解集为或，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】二次不等式的解集端点是对应方程的两根，利用韦达定理得出的关系，从而得出结果.
【详解】由题意可知是方程的两根，
则，∴
∴
故选：D
6. 已知函数，若，实数（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
分析】根据分段函数解析式计算可得.
【详解】因为，所以，
所以，解得.
故选：C
7. 若且，则的最小值为（ ）
A. 2B. C. 3D.
【答案】C
【解析】
【分析】化简、变形，由基本不等式求出答案.
【详解】∵且，
∴，
当且仅当 时取等号．
故选：C．
8. 已知函数的定义域为，且，，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定条件，利用赋值法依次求出即可.
【详解】在中，令，则，
令，则，即，
在中，令，则，则，
令，则，令，则.
故选：A
二、多选题：本题共3小题，共18分．错选0分，部分对得部分分．
9. 已知，，且，则（ ）．
A. ab的最大值为B. 的最大值为
C. 的最小值为9D. 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据基本不等式及其应用，逐项分析判断，对A，直接利用基本不等式即可判断； 对B，由即可判断， 对C，由，再利用基本不等式即可；对D，即可判断.
【详解】对A，，所以，当且仅当时成立，故A正确；
对B，由，可得，可得，的最小值为，故B不正确；
对C，，
当且仅当即时成立故C正确；
对D，，当且仅当时成立，故D正确.
故选：ACD
10. 已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A. 的定义域为全体实数
B. 的值域是
C. 为偶函数
D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】首先求出幂函数的解析式，然后再根据幂函数的性质逐个判断选项即可.
【详解】解：设为常数，则，即，解得，
则，
的定义域为的值域是，A错；B对；
的定义域关于原点对称，
，
为偶函数；C对；
，
，
，
，
，
，
当时，．D对；
故选：BCD
11. 已知集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所
有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”．（ ）
A. 不是“可分集合”
B. 是“可分集合”
C. 四个元素的集合可能是“可分集合”
D. 五个元素的集合不是“可分集合”
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据给定条件，利用“可分集合”的定义逐项分析判断即得.
【详解】对于A，去掉后，不满足定义，不是“可分集合”，A正确；
对于B，集合所有元素之和为，
当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意；
当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意；
当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意；
当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意；
当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意；
当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意；
当去掉元素时，剩下的元素之和为，集合与的元素和相等，符合题意，
因此集合是“可分集合”，B正确；
对于C，不妨设，去掉，则，去掉，则，
于是，与矛盾，因此一定不是“可分集合”，C错误；
对于D，不妨设，
若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集，
且两个子集元素之和相等，则有①，或者②，
若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集，
且两个子集元素之和相等，则有③，或者④，
由①③或②④得，矛盾；由①④或②③得，矛盾，
因此集合不是“可分集合”，D正确．
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：考查新定义下的集合问题，对此类题型首先要多读几遍题，将新定义理解清楚，然后根据定义验证，证明即可，注意对问题思考的全面性.
三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 函数的值域为________．
【答案】
【解析】
【分析】化简函数为，根据其单调性求解即可．
【详解】由，
函数在上单调递减，
所以当时，，
当时，，
所以函数的值域为．
故答案为：．
13. 若函数对于任意恒成立，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】判断函数的单调性，根据二次函数的性质可得关于的不等式，求解即可．
【详解】由题意得，在上单调递增，
所以，解得．
即实数的取值范围是.
故答案为：.
14. 已知，若成立，则实数取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意得，再结合单调性讨论的取值即可．
【详解】由题意得，在上是增函数，所以，
因为成立，
所以，即，
，
当时，，不满足题意，舍去；
当时，，
解得或（不合题意，舍去）．
综上，实数的取值范围是．
故答案为：．
四、解答题：本题共5小题，13+15+15+17+17=77共分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15. （1）计算：；
（2）已知，求的值．
【答案】（1） 1；（2）
【解析】
【分析】根据指数幂的运算法则，进行化简计算即可；
【详解】（1）
.
（2）因为，
所以，
所以，
所以．
16. 已知集合
（1）若命题p：“，都有”为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若“”是“”的必要条件，求实数m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题可知，分类讨论求解；
（2）由题可知，列出不等式组求解．
【小问1详解】
由命题“，都有”为真命题知．
当时，，即，解得；
当时，，解得；
当时，，无解；
当时，，无解；
综上，实数的取值范围是．
【小问2详解】
“”是“”的必要条件，，
，解得，
实数的取值范围是．
17. 已知函数是奇函数，其中为自然对数的底数．
（1）求实数的值，判断函数的单调性（无需证明）；
（2）当不等式在恒成立时，求实数的取值范围．
【答案】（1），在上单调递增
（2）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的概念求的值，利用单调性的定义判断函数的单调性；
（2）利用函数的单调性及二次函数的性质求解．
小问1详解】
函数是奇函数，且定义域为，所以，
所以，解得，
所以，
此时，是奇函数，符合题意.
设，且，
所以
，
因为，所以，又，
所以，即，
所以在上单调递增．
【小问2详解】
因为在上恒成立，
所以，
因为为奇函数，所以，
因为在上单调递增，所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，则，
所以，
所以的取值范围为．
18. 已知函数．
（1）当时，求不等式解集；
（2）若不等式的解集为，求的取值范围；
（3）对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用解不含参的一元二次不等式解法求解，即可；
（2）对参数进行分类讨论，并结合一元二次函数性质即可求解；
（3）转化为时，恒成立，分离参数，利用基本不等式求最值求解的取值范围．
【小问1详解】
当时，，
由得，解集为．
【小问2详解】
当时，由，得到，所以，不合题意，
当时，不等式的解集为，
得，解得，
所以实数的取值范围为，
【小问3详解】
由不等式，得，
恒成立，
，
设，，则，
，
，当且仅当，即时取等号，
当时，，
．
19. 已知函数的定义域为．对任意的非零实数恒有，且当时，．
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）证明：函数在区间上单调递减；
（3）若，函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数的取值范围．
【答案】（1）偶函数，证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）采用赋值法可求得，取即可得到奇偶性；
（2）任取，令，结合已知等式和在上的正负即可得到结论；
（3）记在上的值域为在上的值域为，将问题转化为；根据的单调性可求得；分别在和的情况下，结合二次函数单调性和函数对称性求得，根据包含关系可构造不等式求得结果．
【小问1详解】
是偶函数；
证明：令，则；
令，则；
取，则；
为定义在上的偶函数．
【小问2详解】
任取，
令，则，即；
，
又当时，，即，
在上单调递减．
【小问3详解】
由（1）（2）知：在上单调递减且，又，
当时，，记；
对任意，总存在，使得，
记在上的值域为；
①当，即时，
当时，在上单调递增，
，即，
的图象关于点中心对称，
当时，，即，
当时，，
则，，即，
由得：，又，解得：；
②当，即时，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
，即，
的图象关于点中心对称，
当时，，即，
当时，，
，即，
由得：，又，解得：；
③当，即时，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
，即，
的图象关于点中心对称，
当时，，即，
时，，，
由得：，又，解得：；
④当，即时，
当时，在上单调递减，
，即，
的图象关于点中心对称，
当时，，即，
当时，，
则，，即，
由得：，又，解得：，
综上所述：实数的取值范围为．