安徽省黄山市屯溪第一中学2023-2024学年高二上学期期末数学测试题（Word版附解析）

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第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 空间三点，，，则（ ）
A. 与是共线向量B. 的单位向量是
C. 与夹角的余弦值D. 平面的一个法向量是
【答案】D
【解析】
【分析】由题得，，，再依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：根据题意得，，
A： 显然，所以与不共线，故错误；
B：的单位向量为，即为或，故错误；
C：，故错误；
D：设平面ABC的一个法向量是，因为，，所以，即，所以，所以D正确
故选：D
2. 设，向量，，，且，，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用空间向量垂直的坐标表示及向量共线的坐标表示求出，再利用坐标运算及模的坐标表示计算得解.
【详解】由，及，得，解得，
由及，得，解得，则，
所以.
故选：C
3. 已知公差不为零的等差数列中，成等比数列，则等差数列的前8项和为（ ）
A. 20B. 30C. 35D. 40
【答案】B
【解析】
【分析】由题意设等差数列的公差为d，运用等比数列的中项的性质，结合等差数列的通项公式，解方程可得d，进而利用求和公式得到n=8的结果；
【详解】由题意设等差数列的公差为d，d≠0，由可得
又成等比数列，
可得a32＝a1a6，
即有（a1+2d）2＝a1（a1+5d），结合
解得d＝（0舍去），
则数列{an}的通项公式an＝2+（n﹣1）＝n+；
∴a8＝，∴
故选：B．
【点睛】本题考查等差数列通项公式及求和公式的应用，考查了等比数列中项的应用，属基础题．
4. 过点且与原点距离最大的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据题意得到过点且与垂直的直线为所求直线，再求直线方程即可.
【详解】由题知：过点且与原点距离最大的直线为过点且与垂直的直线.
因为，故所求直线为，即.
故选：A
【点睛】本题主要考查直线方程的求解，数形结合为解题的关键，属于简单题.
5. 若直线经过点，且点，到它的距离相等，则的方程为（ ）
A. B.
C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】分类讨论，满足条件的直线有两条，一条是过这两点的中点，另一条是平行于这两点的直线，然后利用直线方程的知识求解即可.
【详解】根据题意，分情况讨论可得：
当两个点，在所求直线的异侧时，
即过线段的中点．由于直线又经过，
此时直线的斜率不存在，即满足题意的直线方程为；
当，在所求直线同侧时，
直线与所求的直线平行，
又因为，
所以所求的直线斜率为，由于直线又经过，
直线方程为，
化简得：，
综上，满足条件的直线为或，
故选：C．
6. 与圆关于直线对称的圆的方程为，则等于（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】先利用两个圆的一般方程得到各自的圆心，通过题意可得两个圆心关于直线对称，即可得到答案
【详解】解：由可得，所以圆心为，
由可得，所以圆心为，
因为与圆关于直线对称的圆的方程为，
所以关于直线对称的点为，且半径相等，
所以与的中点在上，即解得，满足题意，
故选：C
7. 已知，是双曲线：的左、右焦点，椭圆与双曲线的焦点相同，与在第一象限的交点为P，若的中点在双曲线的渐近线上，且，则椭圆的离心率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用椭圆和双曲线的定义表示出，利用中位线定理找到,的关系，再结合
，借助勾股定理进行运算即可.
【详解】根据题意:设，设椭圆长半轴长为，短半轴长为，双曲线实半轴长为，虚半轴长为，则由椭圆及双曲线定义可得：，
又因为，且分别为，的中点，所以,
所以到渐近线的距离为，
所以，，结合，可得：①
因为，所以即，
整理得：，将①代入，，所以.
故选：C.
8. 在圆幂定理中有一个切割线定理：如图1所示，QR为圆O的切线，R为切点，QCD为割线，则．如图2所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P是圆上的任意一点，过点作直线BT垂直AP于点T，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先利用和余弦定理得到，可得，即可求，进而求得，再利用基本不等式即可得到答案
详解】连接，
在中，因为是的中点，
所以，平方得，
将代入可得，
因为，所以，
所以，
在，，
所以，
当且仅当即时，取等号,
故选：A
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 以下四个命题表述正确的是（ ）
A. 直线恒过定点
B. 已知圆，点P为直线上一动点，过点P向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB经过定点
C. 曲线与曲线恰有三条公切线，则
D. 圆上存在4个点到直线的距离都等于1
【答案】BC
【解析】
【分析】根据直线与圆的相关知识对各选项逐个判断即可解出．直线恒过定点，判断错误；求出直线方程，判断直线经过定点，正确；根据两圆外切，三条公切线，可得正确；根据圆心到直线的距离等于1，判断错误.
【详解】对于，直线方程可化为，令，则，，，所以直线恒过定点，错误；
对于，设点的坐标为，所以，，以为直径的圆的方程为，
两圆的方程作差得直线的方程为：，消去得，，
令，，解得，，故直线经过定点，正确；
对于，根据两圆有三条公切线，所以两圆外切，曲线化为标准式得，
曲线化为标准式得，
所以，圆心距为5，因为有三条公切线，所以两圆外切，即，解得，正确；
对于，因为圆心到直线的距离等于1，所以直线与圆相交，而圆的半径为2，故到直线距离为1的两条直线，一条与圆相切，一条与圆相交，因此圆上有三个点到直线的距离等于1，错误；
故选：．
【点睛】本题主要考查直线系过定点的求法，以及直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，属于中档题．
10. 已知曲线，则下列结论正确的是（ ）
A. 若曲线C是椭圆，则其长轴长为B. 若，则曲线C表示双曲线
C. 曲线C可能表示一个圆D. 若，则曲线C中过焦点的最短弦长为
【答案】BD
【解析】
【分析】因为恒成立，所以，曲线C不可能为圆，可判断选项C错误，当时为椭圆，且焦点在轴上，可判断选项A错误，时为双曲线，所以选项B正切，时，曲线方程确定，需要用弦长公式求解弦长的最小值
【详解】解：由题意，若曲线C是椭圆，则，因为恒成立，所以椭圆的焦点在x轴上，所以其长轴长为，故A错误；
若，根据双曲线的定义可知曲线C表示双曲线，故B正确；
因为对任意的m恒成立，所以曲线C不可能表示一个圆，故C错误；
若，则曲线C为椭圆，方程为，焦点坐标为，
若过焦点直线斜率为0时，此时该直线截椭圆C的弦长为；
若过焦点的直线斜率不为0时，不妨设该直线过椭圆C的右焦点，方程为，与椭圆C的两个交点分别为，
由，可得，
则有
，
当时，上式不等式可取等号，即
综上，可知椭圆中过焦点的最短弦长为，故D正确；
故选：BD
11. 如图，在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，点为线段上的一点，则下列说法正确的是（ ）
A. 平面平面
B. 直线与所成角的余弦值为
C. 平面与平面夹角的余弦值为
D. 点到直线的距离的最小值为
【答案】AC
【解析】
【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据面面垂直、异面直线成角、面面角和点线距离的向量求法依次判断各个选项即可.
【详解】以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如图空间直角坐标系，
则，，，，，，，，；
对于A，，，，
，，，，
又，平面，平面，
平面，平面平面，A正确；
对于B，，，，
即直线与所成角的余弦值为，B错误；
对于C，，，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，，
平面，平面的一个法向量为，
，
平面与平面所成角的余弦值为，C正确；
对于D，，设，则，
，又，
，
到直线的距离，
当时，，
即点到直线距离的最小值为，D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 过点且与圆相切的直线方程为________.
【答案】或
【解析】
【分析】
分斜率存在和不存在两种情况进行讨论，利用圆心到直线的距离等于半径求切线方程.
【详解】解：当时，，所以在圆外，
由标准方程可知，圆心为，半径为，当所求切线斜率不存在时，方程为，
圆心到该直线的距离为和半径相等，所以是所求切线；
当所求切线斜率存在时，设斜率为，则切线方程为，
即，圆心到直线的距离，解得，
所以切线方程为，
综上所述，切线方程为或.
故答案为: 或.
【点睛】本题考查了圆切线方程的求解，属于基础题.本题的易错点是未讨论全面.
13. 已知正项数列中，，，，则数列的前60项和______．
【答案】5
【解析】
【分析】由条件可知，数列是等差数列，求出，采用裂项相消法求出数列的前60项和.
【详解】由条件可知，数列是首项为，公差为的等差数列，
所以，又，所以，
所以，
所以数列的前项和，
所以．
故答案为：5
【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，考查了裂项相消法求和，考查了学生的运算求解能力.
14. 已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，且在第一象限交于点，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，若，则的最小值为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
由题意设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴为，令在双曲线的右支上，由已知条件结合双
曲线和椭圆的定义推出，由此能求出的最小值．
【详解】由题意设焦距为，椭圆长轴长为，双曲线实轴为，
令在双曲线的右支上，
由双曲线的定义，
由椭圆定义，
可得，，
又，
，
可得，
得，
即，
可得，
则
，
当且仅当，上式取得等号，
可得的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查椭圆和双曲线的性质，主要是离心率，解题时要熟练掌握双曲线、椭圆的定义，注意均值定理的合理运用．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知平行六面体，底面是正方形，，，设．
（1）试用表示；
（2）求长度．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量线性运算，结合几何体特征确定与的线性关系；
（2）由（1），结合空间向量数量积的运算律及已知条件求的长度.
【小问1详解】
【小问2详解】
，
，
所以
.
所以.
16. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-2(n∈N*)，在数列{bn}中，b1=1，点P(bn，bn+1)满足2+bn=bn+1.
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）记Tn=a1b1+a2b2+…+anbn，求Tn.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由，得，两式相减，化简可得是以2为首项，2为公比的等比数列，结合是以1为首项，2为公差的等差数列，从而可得答案；
（2），利用错位相减法可得答案.
【详解】（1）由，得，
两式相减得，即，
又
是以2为首项，2为公比的等比数列，
是以1为首项，2为公差的等差数列，
（2）①
②
①-②得：
17. 如图1，在边长为2的菱形中，于点，将沿折起到
的位置，使，如图2.
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）存在，.
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直判定证平面，再由线面垂直性质有，最后由线面垂直判定证结论；
（2）建立空间直角坐标系，应用向量法求二面角余弦值；
（3）令，根据面面垂直及相关面的法向量列方程求参数，即可得答案.
【小问1详解】
因为，即，又平面，
所以平面，平面，所以.
又平面，所以平面.
【小问2详解】
因为平面，以为原点，为轴，建立空间直角坐标系，
则，所以.
设平面的法向量，由，令，得.
因为平面，所以平面的法向量，
所以.
因为所求二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
【小问3详解】
假设在线段上存在一点，使得平面平面.
设，则.
所以，则.
设平面的法向量，由，令，得.
因为平面平面，所以，解得，
所以在线段上存在点，使得平面平面，且.
18. 已知圆的圆心在直线，且过圆上一点的切线方程为．
（1）求圆的标准方程；
（2）设过点的直线与圆交于另一点，求的最大值及此时的直线的方程．
【答案】（1）
（2）5，或
【解析】
【分析】（1）根据题意，过点的直径所在直线方程为，进而与直线联立方程即可得圆心，进而求解方程；
（2）要使最大，则点满足所在直线与所在直线垂直，再根据三角形面积公式计算，且所在直线方程为，再与圆的方程联立即可求得的坐标为或，再分别讨论求解方程即可.
【小问1详解】
解：由题意，过点的直径所在直线方程为，即．
联立，解得，
∴圆心坐标为，半径，
∴圆的方程为；
【小问2详解】
解：，要使最大，
则点满足所在直线与所在直线垂直，
此时的最大值为；
∵，
∴所在直线方程为，即，
联立，得或，
即的坐标为或，
当时，的方程为，即；
当时，的方程为，即．
综上所述，所在直线方程为或．
19. 已知椭圆的左右焦点是，且的离心率为.抛物线的焦点为，过的中点垂直于轴的直线截所得的弦长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆上一动点满足：，其中是椭圆上的点，且直线的斜率之积为.若为一动点，点满足.试探究是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由.
【答案】（1）；（2）为定值；.
【解析】
【分析】（1）由抛物线的弦长求得抛物线的焦点坐标，即为椭圆焦点坐标，结合离心率可求得得椭圆方程；
（2）设，，，由向量关系表示出，代入椭圆方程得一等式，同时由得代入可得，即点一椭圆上，恰为此椭圆的两个焦点，结论即得．
【详解】解：（1）抛物线的焦点为，∴
过垂直于轴的直线截所得的弦长为
所以，解得.
所以
又∵椭圆离心率为，∴
椭圆的方程为，.
（2）设，，，则由，
得，
∵点在椭圆上，
∴所以，，
故
.
设分别为直线的斜率，由题意知，
因此
所以..
所以点是椭圆上上的点，.
∵，又∵，∴.
∴恰为椭圆的左、右焦点，由椭圆的定义，为定值.
【点睛】本题考查抛物线的焦点，求椭圆标准方程，考查向量的线性运算，以及椭圆的应用．本题旨在考查学生的分析问题解决问题的能力，逻辑推理能力，运算求解能力．