安徽省示范高中培优联盟2024-2025学年高一上学期冬季联赛数学试题（Word版附解析）

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本试卷分选择题和非选择题两部分，选择题第1至第3页，非选择题第4至第6页．全卷满分150分，考试时间120分钟．
考生注意事项：
1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致．
2．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效．
4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知集合，若，则实数的值可以为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
2. 下列命题中为真命题的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列四个选项中，使成立的充分不必要的条件是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知幕函数在上单调递减，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
6. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A B. C. D.
7. 函数的定义域为为奇函数，且，则（ ）
A. 2B. 1C. 0D.
8. 我们知道未知数次数最高项次数高于二次的多项式方程称为高次方程，解高次方程的关键是降次，降次的基本方法是因式分解法和换元法．现需要求解四次方程：．方法如下：显然不是方程的根，所以可以两边同除以得，作换元，令，先求解，再求解．则该四次方程的最大正根为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9. 下列选项中，正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
10. 已知函数，令函数，则下列选项中，正确的是（ ）
A. 函数的单调递减区间为和
B. 当时，函数有两个不同的零点
C. 当关于方程有5个不等根时，则实数的取值范围是
D. 若函数有3个不同的零点分别为，则的取值范围是
11. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为，其中表示不超过的最大整数，例如：．下列关于高斯函数的相关结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D. 方程有两个不相等的实数根
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12. 已知，则_______．
13. 若，则的取值范围是_______．
14. 定义域为函数，若，使得成立，则称函数为“局部奇函数”．假设函数（其中e为自然对数的底数）为定义域为的“局部奇函数”，则实数的取值范围是_______．
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
15. 已知且．
（1）若命题：为真命题，求的取值范围；
（2）试比较与的大小，并证明之．
16. 已知二次函数在时有最小值2．
（1）求值；
（2）已知，且当时，的取值范围是，求的值．
17. 2024年8月12日，为期16天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，中国元素在这里随处可见．这个盛夏，“中国智造”不仅为巴黎奥运会注入了新动力，也向世界展示了中国向“新”而行的活力，让人们在享受比赛的同时，感受到中国发展的脉搏．巴黎奥组委的数据显示，本届奥运会80%的吉祥物产自中国．据调查，国内某公司生产的一款巴黎奥运会吉祥物的供货价格分为固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为60元，浮动价格（浮动价格单位：元，销售量单位：万件）．假设每件吉祥物的售价为整数，当每件吉祥物售价不超过100元时，销售量为10万件，当每件吉祥物售价超过100元时，售价每增加1元，销售量就减少0.2万件，例如，单价售价为101元时，销售量为9.8万件；单价为102元时，销售量为9.6万件，以此类推．利润=（售价-供货价格）×销售量，不计其它成本
（1）当每件吉祥物的售价为85元时，获得的总利润是多少万元；
（2）每件吉祥物的售价为多少元时，单件吉祥物的利润最大，最大为多少元．
18. 若对于定义域内的任意，都有，其中为正常数，则称函数为“距”增函数，这种性质在数学和物理中都有广泛的应用．
（1）若，试判断是否为“2距”增函数；
（2）假设函数为“2距”增函数，求最小值．
19. 若存在集合是集合的非空子集（其中），且满足，，则称为的一个分划．
（1）当时，，，试判断是否为的一个2分划，试判断是否为的一个2分划；
（2）若，规定和是的同一种2分划，请写出的所有2分划；
（3）若，集合是的非空子集，且中任意两个不同元素之和不被5整除，求集合
元素个数的最大值．