安徽省休宁中学2023-2024学年高一上学期期末测试数学试题（Word版附解析）

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第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设，已知集合，且，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题设可得，根据已知集合的并集结果即可求的取值范围.
【详解】由题设，，又，，
∴.
故选：D
2. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】对于ABD：举反例分析判断；对于C：根据不等式的性质分析判断.
【详解】对于选项A：若，则，故A错误；
对于选项B：若满足，则，故B错误；
对于选项C：若，则，即，故C正确；
对于选项D：若满足，则，故D错误；
故选：C.
3. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A 或B.
C. D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知不等式的解集利用韦达定理得到、与的关系，代入所求不等式求出解集即可．
【详解】由不等式的解集为，得到，
方程的两个根分别为，，
由韦达定理得：，，
所以，，
所以不等式为，
即，即，
解得或，
所以不等式的解集为或.
故选：A．
4. 设，，，则（ ）
A. a＞b＞cB. b＞a＞cC. a＞c＞bD. c＞a＞b
【答案】C
【解析】
【分析】由换底公式得，由幂的运算法则得，利用对数函数的单调性比较的，再借助中间值1和指数函数性质比较大小可得结论．
【详解】∵9＞8，∴3＞，故，从而有，
故选：C
【点睛】本题考查比较对数和幂的大小，掌握指数函数和对数函数性质是解题关键，解题时可借助中间值如0，1等进行比较．
5. 已知，，则的值为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】
所以 ，选D
6. 实数a，b满足a＞0，b＞0且a＋b＝3，则的最小值是（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】令利用换元法得到，将转化为，最后利用1的代换求解即可.
【详解】令
则，
所有，
故选:D.
【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
7. 已知幂函数为偶函数，则关于函数的下列四个结论中正确的是（ ）
A. 的图象关于原点对称B. 的值域为
C. 在上单调递增D.
【答案】CD
【解析】
【分析】根据为幂函数且为偶函数可得，进而得，根据函数的奇偶性的定义即可判断A，根据函数的单调性确定值域可判断B，C,代入计算进而可判断D.
【详解】因为是幂函数,所以,解得或,
又因为是偶函数,所以,故,
故;
对于A，由，得，所以的定义域为，，
故是偶函数，图象关于轴对称，故A错误，
对于B，，由于，所以，所以，
故，故值域为，故B错误,
对于C，,由于在单调递增，故在单调递减，故在递增，故C正确，
对于D，从而，故D正确，
故选：CD.
8. 已知函数，.设为实数，若存在实数，使得
成立，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用二次函数的性质和对数函数的单调性求出函数的值域，然后根据存在实数，使得成立，得到，即，解得，即可得到所求的范围．
【详解】解：当时，，
∵，∴，
∴．
当时，单调递增，
∴．
综上可得．
若存在实数，使得成立，
则，
即，
整理得，
解得．
∴实数的取值范围为．
故选：B．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 的一个必要不充分条件是
B. 若集合中只有一个元素，则
C. 已知p：，，则p的否定对应的x的集合为
D. 已知集合，则满足条件的集合N的个数为3
【答案】AC
【解析】
【分析】根据必要条件、充分条件的定义，集合的基本关系，以及全称命题的否定逐一判断即可．
【详解】解：对于A，因为由，得成立，即成立，反之不成立，
故“”是“”的一个必要不充分条件，故A正确；
对于B，若集合中只有一个元素，当时，，符合题意，又，解得，也符合题意，故B不正确；
对于C，已知p：，，即，，故对应的x的集合为，故C正确；
对于D，由，，故集合N的个数为，故D不正确．
故选：AC
10. 下列命题中正确的是（ ）
A. B. 的最小值是
C. 当时，D. 若，则的最大值是
【答案】AD
【解析】
【分析】利用基本不等式，需要一正二定三相等，分别判断即可.
【详解】对于选项A中式子，，
，当且仅当，
即时取等号，故A正确；
对于选项B中的式子，，
，
当且仅当时取等号，但是此时无解，
所以最小值不是2，故B 错误；
对于选项C中的式子，，
当时，没有最小值，故C错误；
对于选项D，，，
，，当x=-1时取等号，故D 正确.
故选：AD
11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数的值域为
B. 若函数关于对称，则的最小值为
C. 若函数在上单调，则的取值范围是
D. 若，当时，函数的所有零点的和为
【答案】ABD
【解析】
【分析】对于A，化简可得，结合正弦函数性质可得出值域；对于B，利用对称性，可得出，得出的最小值；对于C，结合正弦函数的单调性列不等式，即可求出的取值范围；对于D，求出零点的值，即可求和．
【详解】因为，
又，
所以函数的值域为，所以选项A正确；
由函数关于对称可得，，
，
，最小值为，所以选项B正确；
若函数在上单调，
则，，
解得，，
，所以选项C错误；
若，则，
令，即，
当时，则，
，
则，
，所以选项D正确．
故选：ABD．
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数则满足的的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】首先根据题中所给的分段函数的解析式，分和两种情况讨论，求解指数和对数不等式求得结果.
【详解】根据题意得，或，
综上：的取值范围是.
故答案为：
13. 已知关于的不等式的解集是空集，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】考虑和，两种情况，得到不等式，求出实数的取值范围.
【详解】当时，解得或，
当时，不等式为，解集不为空集，不合要求，舍去；
当时，不等式为，解集为空集，满足要求，
当时，要想不等式解集为空集，则，
解得，
综上，实数的取值范围是
故答案为：
14. 已知函数，，若，且在上单调递增，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】将的解析式化为正弦型函数，然后根据求出的值，根据在上单调递增求出的范围，即可得答案.
【详解】，
由，得，
故，∴，，
又在上单调递增，∴，又，
∴，故当时，．
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知集合．
（1）求；
（2）若，且，求实数a的取值范围．
【答案】（1）;
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据指数函数单调性求集合，再由集合的并、补运算求集合；
（2）由题设，根据已知列不等式组求参数范围.
【小问1详解】
由，得，所以，
所以，而，得，
所以；
【小问2详解】
由，得，
所以，解得，即．
所以实数的取值范围．
16. 已知
（1）求的值；
（2）若，求及的值．
【答案】（1）；
（2），.
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系化简，再利用诱导公式可求得的值；
（2）根据已知条件可得出，利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系可求得所求代数式的值.
【小问1详解】
解：，
所以．
【小问2详解】
解：因为，
所以，
.
17. 设函数，其中.
（1）若不等式的解集为，求的值；
（2）若时，，，，求的最小值；
（3）若，求不等式的解集.
【答案】（1）
（2）
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）由题可知和是方程的两个实根，利用根与系数的关系即可得到关于，的方程组，求解即可得到的值；
（2）由题可得，然后利用基本不等式即可求解的最小值；
（3）将不等式化简然后对的值分类讨论进行求解即可得.
【小问1详解】
因为不等式的解集为，
所以和是方程的两个实根，且，
从而有，解得；
【小问2详解】
，，
又，，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为.
【小问3详解】
因为，可得，
即可得，即，
，
当时，方程的根，，
故不等式的解集为；
当时，方程的根，，
当即时，不等式的解集为；
当，即时，不等式的解集为；
当，即时，不等式的解集为；
综上所得，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
18. 已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当时，.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据函数是奇函数及的解析式，求出时的解析式，并且，故求出f（x）在R上的解析式；（2）根据第一问结论，对题干条件进行变形，再根据单调性进行不等式求解，换元后，用对勾函数求解最值，最终求得a的取值范围.
【小问1详解】
当时，，所以，因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以，，所以，故，故函数f（x）的解析式为
【小问2详解】
，，则，根据f（x）是定义在
R上的奇函数，所以，故，且当时，单调递减，故在R上单调递减，所以，令，则在上恒成立，其中在上单调递减，故当时取得最大值，故，故，故实数a的取值范围为.
19. 已知函数()，的最小正周期为.
（1）求的值域；
（2）方程在上有且只有一个解，求实数的取值范围；
（3）是否存在实数满足对任意，都存在，使成立.若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）或；（3）存在，.
【解析】
【分析】（1）利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的最值求值域即可．
（2）根据函数与方程的关系转化为两个函数交点问题，再结合三角函数的性质求解即可．
（3）由（1）可知.实数满足对任意，都存在，使得成立等价于成立．换元后，分类讨论求出左边式子的最小值，即可列不等式求解.
【详解】（1）函数
∵的最小正周期为.，∴，∴.
那么的解析式则取值范围是；
（2）方程；在上有且有一个解，
转化为函数与函数在上只有一个交点.
∵，∴
因为函数在上增，在上减，
且，
∴或，所以或
（3）由（1）可知，∴.
实数满足对任意，都存在，使得成立.即成立，
令，
设，那么
∵，∴，可得在上恒成立.
令，其对称轴，∵上，
∴①当时，即，，所以；
②当，即时，，所以；
③当，即时，，所以；
综上可得，存在，可知的取值范围是.
【点睛】方法点睛：分类讨论思想常见类型
1、问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；
2、问题中的条件是分类给出的；
3、解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；
4、涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.