安徽省宣城中学2023-2024学年高一上学期期末数学测试题（Word版附解析）

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第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合间的关系，以及交并补运算的定义，结合选项即可逐一求解.
【详解】集合
，，故选项A错误；
显然且，故选项B错误；
，故选项C正确；
，选项D错误.
故选：C
2. 下列说法正确的是（ ）
A 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，，则
【答案】D
【解析】
【分析】根据不等式的性质或者举反例逐个选项判断即可.
【详解】对于A选项,若,则命题错误．故A选项错误；
对于B选项,取,,则满足,但,故B选项错误；
对于C选项,取,,,则满足,但,故C选项错误；
对于D选项,由不等式的性质可知该选项正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质,属于基础题型.
3. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】使函数有意义得到不等式组，求解即得.
【详解】由有意义，可得，解得且.
故选：D.
4. 设，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指数函数与对数函数的性质，结合临界值0、1，即可得解.
【详解】因为在上单调递减，
所以，
因为在上单调递减，且恒成立，
所以，
因为在上单调递减，所以，
综上：.
故选：A.
5. 若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件，利用分段函数增减性的判断方法即可求出结果.
【详解】因为函数在R上单调递增，
所以，解得，
故选：D.
6. 设则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角函数的诱导公式化简，再利用弦化切，代入即可求解．
【详解】解：，
，又
所以原式，
故选：A．
7. 若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将题目转化为与的图象有两个交点，再作出函数图象即可得到范围.
【详解】函数有两个零点，即与的图象有两个交点，
令，作出与的大致图象如图所示，
由图可知，则，
故实数的取值范围是.
故选：D.
8. 函数，若对任意，存在，使得成立，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】∵当时,，∴f(x)∈[1,2]，
对于 (m>0)，
当时,,
∵对任意，存在,使得成立，
∴解得实数m的取值范围是.
故选D.
点睛：函数中的方程有解问题：
（1）若为一元方程，通常有两个方法：要么画函数的图象，研究图象与轴的交点即可；要么将方程整理成两个函数相等，画两个函数的图象求解即可；
（2）若为二元方程，通常是转成研究方程左右两边的函数的值域的包含关系即可.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 设全集为，若，则
B. 命题“，有”的否定是“，”
C. 已知，，则
D. 若，则函数的最大值是
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用韦恩图法可判断A选项；利用全称量词命题的否定可判断B选项；利用不等式的基本性质可判断C选项；利用基本不等式可判断D选项.
详解】对于A选项，如下图所示：
设全集为，若，则，A对；
对于B选项，命题“，有”的否定是“，”，B错；
对于C选项，已知，，则，，
由不等式的基本性质可得，C对；
对于D选项，若，则，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故当时，函数的最大值是，D对.
故选：ACD.
10. 函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的有（ ）
A. 是的一条对称轴
B. 在上单调递增
C. 的一个对称中心为
D. 是偶函数
【答案】AD
【解析】
【分析】先由图象得出 ，再由三角函数性质逐一判定即可得出结论．
【详解】由图知，则，
，所以，则，
即
因为，所以，，即，
因为，得，所以
所以
对于选项A：当时，，故A对
对于选项B： 的单调递增区间为，
解得，
当时，故在上单调递增，在上单调递减，故B错
对于选项C：，故C错
对于选项D：，
所以是偶函数，故D对，
故选：AD．
11. 已知偶函数的定义域为，对任意两个不相等的正数，都有，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】设，确定其单调性，再由偶函数定义把自变量是负数的函数值化为正数的函数值，然后由单调性得结论．
【详解】对任意两个不相等的正数，都有，
设，则，
当时，，即，函数在上单调递减，
函数为偶函数，，，，，
在上单调递减，则，，，，
由此可判断A错误，B，C，D正确，
故选：BCD.
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知函数，若，则___________．
【答案】3
【解析】
【分析】
分类讨论，分别令，，求得后，继续将作为函数值求自变量.
详解】由题意，当时，，当时， ，
又，
则，可得，再令，得，符合；
故答案为：.
【点睛】本题考查已知分段函数的函数值求自变量，考查分类讨论的思想，是基础题.
13. 一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站处建仓库，则和分别为2万元和8万元．则这家公司应该把仓库建在距离车站_______千米处时，才能使两项费用之和最小？
【答案】5
【解析】
【分析】先利用待定系数法求出和关于的函数解析式，再利用基本不等式即可求解．
【详解】依题意，设，，其中，是比例系数，
在距离车站处建仓库，则和分别为2万元和8万元，
，，
，，
，，其中，
两项费用之和，当且仅当，即时，等号成立，
故这家公司应该把仓库建在距离车站5千米处，才能使两项费用之和最小．
故答案为：5
14. 已知，则不等式的解集为______________．
【答案】
【解析】
【分析】判断出在上单调递增，并容易说明为偶函数，从而便可由
得到，从而得到，这样解该不等式便可得出的取值范围．
【详解】因为，对任意的，，即函数的定义域为，
，所以为偶函数，
当时，，
因为内层函数在为增函数，外层函数为增函数，
所以，函数在为增函数，
又因为函数在为增函数，
所以，函数在上为增函数，
由得，，
因为在上单调递增，所以，
即，即，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 在“①，②，③”这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，求解下列问题.
已知集合，集合.
（1）若，求；
（2）若_______，求m的取值范围.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个计分.）
【答案】（1）；
（2）见解析.
【解析】
【分析】（1）利用交集的定义直接求解即可；
（2）若选① ，由列不等式求解即可；若选② ，由或即可得解；若选③ ，由或即可得解.
【小问1详解】
因为，所以或，
若，， 则.
【小问2详解】
若选① ，则，
所以，解得；
若选② ，则或，解得或；
若选③ ，则或，解得或.
16. 如图，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求点B在AM上，点D在AN上，点C在MN上，米，米．
（1）要使扩建成的花坛面积大于27米，则AN的长度应在什么范围内？
（2）当AN的长度是多少米时，扩建成的花坛面积最小？并求出最小面积．
【答案】（1）或
（2）当AN的长度是4米时，扩建成的花坛AMPN的面积最小，最小值为24米
【解析】
【分析】（1）设，（），由∽，得到，然后得到花坛AMPN的面积，再由求解；
（2）由（1）的结果变形，然后利用基本不等式求解；
【小问1详解】
解：设，则．
∽，
，即，
解得．
花坛AMPN的面积．
由，得，则，
解得或，
故AN长度范围是或．
【小问2详解】
由，
当且仅当，即时，等号成立．
当AN的长度是4米时，扩建成的花坛AMPN的面积最小，最小值为24米．
17. 已知函数
（1）若，求的零点；
（2）若函数在区间上恒成立，求实数a的取值范围；
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）令，即可得到，解得即可；
（2）依题意可得恒成立，令，参变分离可得，根据函数的单调性，求出函数的最小值，即可求出参数的取值范围；
【详解】（1）当时，
令，则，则
(2)由题意得：，即恒成立，
令，则， 则恒成立，即
令，因为在上单调递增，
所以，即
【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
(1)恒成立⇔；
(2) 恒成立⇔.
18. 已知函数()，的最小正周期为.
（1）求的值域；
（2）方程在上有且只有一个解，求实数的取值范围；
（3）是否存在实数满足对任意，都存在，使成立.若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）或；（3）存在，.
【解析】
【分析】（1）利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的最值求值域即可．
（2）根据函数与方程的关系转化为两个函数交点问题，再结合三角函数的性质求解即可．
（3）由（1）可知.实数满足对任意，都存在，使得成立等价于成立．换元后，分类讨论求出左边式子的最小值，即可列不等式求解.
【详解】（1）函数
∵的最小正周期为.，∴，∴.
那么的解析式则取值范围是；
（2）方程；在上有且有一个解，
转化为函数与函数在上只有一个交点.
∵，∴
因为函数在上增，在上减，
且，
∴或，所以或
（3）由（1）可知，∴.
实数满足对任意，都存在，使得成立.即成立，
令，
设，那么
∵，∴，可得在上恒成立.
令，其对称轴，∵上，
∴①当时，即，，所以；
②当，即时，，所以；
③当，即时，，所以；
综上可得，存在，可知的取值范围是.
【点睛】方法点睛：分类讨论思想的常见类型
1、问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；
2、问题中的条件是分类给出的；
3、解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；
4、涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.
19. 已知幂函数满足.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数，，且的最小值为0，求实数的值.
（3）若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）存在；实数的取值范围.
【解析】
【分析】
（1）根据为幂函数，由求得p，再由确定.
（2）由（1）得，令，转化为，，利用二次函数性质求解.
（3），易知在上单调递减，由，得到，令，转化为，利用二次函数的性质求解.
【详解】（1）∵为幂函数，
∴，∴或.
当时，在上单调递减，故不符合题意.
当时，在上单调递增，
故，符合题意.
∴.
（2），
令.
∵，
∴，
∴，.
①当时，即时，则当时，有最小值，
∴，.
②当时，即时，则当时，有最小值.
∴，（舍）.
③当时，即时，则当时，有最小值，
∴，（舍）.
综上所述.
（3），易知在上单调递减，
∴，即，
两式相减，
又，
∴，
故有.
因为且，，
所以，解得，
令，∴，
∴，，
所以，
故实数的取值范围.
【点睛】方法点睛；(1)二次函数在闭区间上最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．