八年级数学开学摸底考（无锡专用）-2024-2025学年初中下学期开学摸底考试卷

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数学·参考答案
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确
的，请用 2B 铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）
题号
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
B
A
D
C
A
A
D
A
A
A
二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分.不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡
上相应的位置）
11．
．
12．
16．
（答案不唯一）．
17．
13．
．
14．
．
15．10．
．
或
．
18．
三、解答题（本大题共 10 小题，共 84 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过
程或演算步骤）
19．（8 分）
解：（1）
，
或
或
，
；
（2）
．
．
20．（8 分）化简：
（1）
；
（2）
．
解：（1）原式
；
（2）原式
1 / 11

．
21．（6 分）解：
，
当
时，
原式
．
22．（8 分）
证明：
，
是
边上的中线，
，
，
，
，
，
，
，
．
23．（8 分）
解：（1）由作图可知，点 在线段
的垂直平分线上，
．
故答案为：
；
（2）
，
，
，
，
平分
，
；
2 / 11

（3）结论：
．
，
理由：
平分
，
，
，
，
．
24．（6 分）
解：（1）由题知：
，
解得：
，
故直线 的函数关系式为：
；
（2）由题意得．
，
解得
点
，
的坐标为
，
．
直线
，与 轴交于点
，
，
，
，
；
（3）由题及（1）可设点 的坐标为
．
，
3 / 11

，即
，解得：
或
（与点 重合，舍去），
点
的坐标为
，
．
25．（10 分）
（感知）解：如图 1，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
；
（探究）证明：如图 2，
是等边三角形，
，
，
，
是
的外角，
，
，
4 / 11

在
和
中，
，
，
；
（应用）解：如图 3，
是等边三角形，
，
，
，
是
的中点，
，
，
由探究可知
，
，
，
，
是等边三角形，
，
四边形
26．（10 分）
的周长
．
解：（1）由题意，根据图象可得，
，
两地距离为
；
快车的速度为：
．
快车单程时间为
又快车比慢车早
慢车全程时间为
慢车的速度为：
，
，
．
．
故答案为：400；150；50．
（2）由题意，分成两种情形．
5 / 11

①经过
快车与慢车第一次相遇，
．
．
②经过
快车返回追上慢车第二次相遇，
．
．
综上，两车出发
或
后相遇．
（3）由题意，分以下几种情形．
①在两车第一次相遇前，经过
．
两车相距
，
．
②两车第一次相遇后，快车未到 地，经过了
．
两车相距
，
，不合题意．
③当快车在 地，经过
两车相距
，
．
．
④当快车从 地出发后，超过了慢车，经过
．
两车相距
，
，符合题意．
答：经过
、
或
后，两车相距
．
27．（10 分）
解：（1）
，
，
；
，
解得：
的值为 4， 的值为 6；
（2）
的度数不变，理由如下：
如图 2，过点
作
轴于
，
6 / 11

，
，
，
，
，
，
，
，
，
的平分线
，
交于点
，
，
，
，
；
（3）①由（2）可知：
，
，
，
，
点
，
设直线
的解析式为
，
，
，
直线
的解析式为
，
，
，
设直线
的解析式为
，
，
，
直线
的解析式为
，
7 / 11

点
在直线
；
上．
②
直线
与
轴交于点
，
，
，
当点 在线段
三角形
上时，即
，
的面积不超过三角形
面积的
，
，
，
；
当点 在线段
三角形
的延长线上时，即
，
的面积不超过三角形
面积的
，
，
，
；
综上所述：
，且
．
，
；
，且
28．（10 分）
解：（1） 直线
（6 分）别与
，
轴交于
，
两点，
令
，则
，且
的解析式为
，
，
设直线
，代入得：
，
解得，
直线
，
的解析式为
，
8 / 11

故答案为：
；
（2）方法一：由（1）可知直线
的解析式为
，直线
的解析式为
，
，
，
，
，
，
，
如图 1 所示，点 在直线
上，过点
作
轴于
，
设
，
，
，
，
；
①当
若
，即
时，
，
，
，则
解得
，
则
，
；
②当
，即
，则
时，
，
若
，
解得
（舍去）；
，即
③当
时，
，
若
，则
，
解得
则
，
；
9 / 11

综上所述，当
方法二：
，
或
时，
；
，
，
联立得：
解得：
，
，
点坐标为
联立得：
，
；
，
解得：
，
点坐标为
；
（3）已知
，
，
，
设
在
，
，
中，
，
，
是等腰直角三角形，
；
，
如图 2 所示，过点
作
轴于 ，
在
在
，
和
中，
，
，
，
中，
10 / 11

，
，
，
，
，
，且
是等腰直角三角形，
则点 的轨迹在射线 上，
如图 3 所示，作点 关于直线
轴，
，
的对称点
，
连接
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，即
，
，根据对称性质，
轴，且
，
，则
，
，
如图所示，当点
由勾股定理得：
，
在一条直线上时，
，
的值最大，最大值为
的值；
故答案为：
．
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