2025八校联考高二上学期1月期末考试数学含解析

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1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答卷前考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上.
3.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
2. 如图所示，在平行六面体中，为与的交点.若，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，在正方体中，M，N分别为的中点，异面直线MN与所成角为（ ）
A. B. C. D.
4. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜.据明代杨慎
《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一“.在某种玩法中，用表示解下个圆环所需的移动最少次数，若.且，则解下6个环所需的最少移动次数为（ ）
A. 13B. 16C. 31D. 64
5. 已知双曲线与椭圆的焦点重合，则以椭圆的短轴端点为顶点，且与双曲线具有相同渐近线的双曲线方程为（ ）
A. B. C. D.
6. 平行直线与之间的距离为，则，的可能值为（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在直三棱柱中，为腰长为等腰直角三角形，且，侧面为正方形，为平面内一动点，则的最小值是（ ）

A. B. C. D.
8. 已知点在以为左、右焦点的椭圆内，延长与椭圆交于点，满
足，若，则该椭圆离心率取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知椭圆上一点，、分别为左、右焦点，，的面积为，则下列选项正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则满足题意点有四个
C. 椭圆内接矩形周长的最大值为
D. 若为钝角三角形，则
10. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，则下列说法中正确的是（ ）
A. B.
C. 向量与的夹角是D. 与AC所成角的余弦值为
11. 在数列中，，则以下结论正确的为（ ）
A. 数列为等差数列
B.
C. 当取最大值时，的值为51
D. 当数列的前项和取得最大值时，的值为49或51
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 圆和圆的公切线条数为__________.
13. 已知，直线，且，则的最小值为__________.
14. 如图1所示，古筝有多根弦，每根弦下有一个雁柱，雁柱用于调整音高和音质.图2是根据图1绘制的古筝弦及其雁柱的简易平面图.在图2中，每根弦都垂直于x轴，相邻两根弦间的距离为1，雁柱所在曲线的方程为，第n根弦（，从左数首根弦在y轴上，称为第0根弦）分别与雁柱曲线和直线l：交于点和，则______.
（参考数据：取.）
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知的直角顶点为A在y轴上，直角边AB所在直线的方程为，点，满足．
（1）求AC边所在直线的方程；
（2）求外接圆的方程；
（3）求BC边所在直线的方程；
（4）若动圆P过点，且与外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．
16. 已知为抛物线的焦点，为坐标原点，过焦点作一条直线交于A、B两点，点在的准线上，且直线MF的斜率为的面积为1.
（1）求抛物线的方程；
（2）试问在上是否存在定点，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
17. 在三棱锥，底面是边长为4的正三角形，平面平面，且．
（1）若，求证：平面平面；
（2）若底面，垂足为O，，求平面与平面夹角的余弦值．
18 已知等差数列满足，等比数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求证：，其中.
19. 已知椭圆，左顶点分别为，上顶点为，左右焦点分别为为椭圆上一点，最大值为的面积为.
（1）求椭圆方程；
（2）已知直线过与椭圆交与M，N两点（在上方），且，若，求直线斜率值范围.