人教A版（2019）高中数学必修第二册-小结（3）综合问题_课后练习

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如图，在四棱锥 P  ABCD 中，底面 ABCD 是正方形．点 E 是棱 PC 上一点，平面 ABE 与棱 PD 交于点 F ．
F
E
D
C
求证： AB ∥ EF .P
AB
如图，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB＝AC＝5，BB1＝BC＝6，D，E 分别是 AA1 和 B1C 的中点．
求证：DE∥平面 ABC；
求三棱锥 E－BCD 的体积．
答案与提示
1．证明：因为底面 ABCD是正方形， 所以 AB ∥ CD ．
又因为 AB 平面 PCD， CD  平面 PCD， 所以 AB ∥平面 PCD．
又因为 A, B, E, F 四点共面，且平面 ABEF 平面 PCD  EF ， 所以 AB ∥ EF ．
2．(1)证明 如图，取 BC 中点 G，
连接 AG，EG.
因为 E 是 B1C 的中点，
所以 EG∥BB1，且 EG＝11
BB . 2
由直棱柱知，AA1 ∥BB1，而 D 是 AA1 的中点， 所以 EG∥AD，
所以四边形 EGAD 是平行四边形．所以 ED∥AG.
又 DE 平面 ABC，AG⊂平面 ABC，
所以 DE∥平面 ABC.
(2)解 因为 AD∥EG，所以 AD∥平面 BCE，
所以 VE－ BCD＝VD－BEC＝VA－ BCE＝VE－ABC，
由(1)知，DE∥平面 ABC.
所以 VE
－
ABC＝VD
ABC＝11
－
AD· BC·AG
32
＝1×3×6×4＝12.
6