北京市北京师范大学附属实验中学2024−2025学年高一上学期阶段练习二（12月） 数学试题（含解析）

这是一份北京市北京师范大学附属实验中学2024−2025学年高一上学期阶段练习二（12月） 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．某校高一、高二、高三人数分别为450，500，550，若用分层抽样的方式从该校学生中抽取一个容量为30的样本，则样本中高二学生的人数为（ ）
A．9B．10C．11D．12
3．若函数与的图像关于直线对称，则（ ）
A．B．C．D．3
4．已知函数，在下列区间中，一定存在零点的是（ ）
A．B．C．D．
5．记，，，则（ ）
A．B．C．D．
6．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．有一种质地均匀的“新型”骰子，其六面中有三面点数为1，两面点数为2，一面点数为3，现连续掷两次该骰子，则这两次掷出点数之和为奇数的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数在上的值域为，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6小题）
9．函数的定义域为 .
10．若，，…，的平均数为5，方差为4，则，，…，的平均数为 ；方差为 .
11．已知函数，若，则 .
12．已知定义在R上的偶函数满足：在上为单调函数，，，若，则的取值范围是 .
13．已知幂函数在上单调递减.
①的值为 ；
②记，，若，则的取值范围是 .
14．函数（且）.给出下列四个结论：
①当时，的值域为；
②当时，恰有两个零点；
③若存在最大值，则的取值范围是；
④若存在三个互不相等实数，使得，且，则的取值范围是.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题（本大题共5小题）
15．现有大小相同的红球和白球各两个，若在其中随机抽取（不放回）两个球.
(1)求所抽的两个球中，恰有一个为红球的概率；
(2)求所抽的两个球中，至少有一个为红球的概率.
16．为调查某校学生的校志愿者活动情况，现抽取一个容量为100的样本，统计了这些学生一周内的校志愿者活动时长，并绘制了如下图所示的频率分布直方图，记数据分布在，，，，，，的频率分别为，，…，.已知，.
(1)求，的值；
(2)求样本中在内的频数；
(3)若全校共名学生，请根据样本数据估计：全校学生一周内的校志愿者活动时长不少于分钟的人数.
17．已知函数.
(1)判断的奇偶性，并证明；
(2)若，求的取值范围.
18．已知函数（且）.
(1)当时，求的最大值；
(2)若对任意，均有，求的最大值；
(3)若对任意，均有，求的取值范围.
19．若函数的定义域为，且满足，则称为“函数”.
(1)分别判断下列函数是否为“函数”；（直接给出结论）
①；②
(2)若“函数”在上单调递增，且，求的取值范围；
(3)若“函数”满足：当时，，且在上的值域为，求的取值范围.
参考答案
1．【答案】A
【详解】由，即，解得，
所以，又，
所以.
故选：A
2．【答案】B
【详解】依题意可得样本中高二学生的人数为（人）.
故选：B
3．【答案】B
【详解】因为函数与的图像关于直线对称，
所以，所以.
故选：B.
4．【答案】C
【详解】因为与均在定义域上单调递增，
所以在上单调递增，
又，，，
所以，所以在区间上存在唯一零点.
故选：C
5．【答案】D
【详解】因为在上单调递增，又，所以，
因为在上单调递增，又，所以，
因为在上单调递增，，所以
所以.
故选：D.
6．【答案】C
【详解】因为在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
由，结合为增函数，可得，
由，结合为增函数，可得，
所以“”是“”的充要条件.
故选：C.
7．【答案】A
【详解】记第一次掷出的点数为奇数为事件，掷出的点数为偶数为事件，则，
记第二次掷出的点数为奇数为事件，掷出的点数为偶数为事件，则，
则两次掷出点数之和为奇数为事件，
所以
.
故选：A.
8．【答案】D
【详解】由，即，解得或，
所以，
当时，，所以，
当时，令，即，解得，，
则的图象如下所示：
因为函数在上的值域为，
当，（或，）时取得最小值，
即；
当，时取得最大值，
即；
所以的取值范围是.
故选：D
9．【答案】
【详解】对于函数，令，解得且，
所以函数的定义域为.
故答案为：
10．【答案】
【详解】因为，，…，的平均数为5，方差为4，
所以数据，，…，的平均数为：，
方差为.
故答案为：；.
11．【答案】/
【详解】因为，所以，
所以，所以，
所以.
故答案为：.
12．【答案】
【详解】因为为定义在上的偶函数，且在上为单调函数，，，
则，
所以在上单调递增，则在上单调递减，
不等式，即，所以，
即或，解得或，
所以的取值范围是.
故答案为：
13．【答案】
【详解】因为幂函数在上单调递减，
所以，解得；
因为在上单调递减， 又，，
则，
因为，所以或，解得或，
即的取值范围是.
故答案为：；
14．【答案】②③④
【详解】设，则；
设，当时，单调递减；
当时，单调递增；且.
令，解得或.
结论①，当a=2时，.
此时，故①错误；
结论②，当时，由于在上单调递增，且，
故在上恰有一个零点x=1.
而在上有，
由在单调递增，在单调递减，
且，
令，可得，可知在上有且仅有一个零点.
综上可知，当时，恰有两个零点，故②正确；
结论③，当时，
由于在上单调递减，且，
当时，
故当时，无最大值（如图1），不满足题意；
当时，
当时，由于在上单调递增，且，；
当时，由在单调递增，在单调递减，
故；
由，故当时，
故当时，存在最大值（如图2），满足题意；
当时，
当时，由于在上单调递增，且，；
当时，由在单调递减，
，且当时，故在不存在最大值；
可知当时，无最大值（如图3），不满足题意；
同理结合函数单调性与图象可知，
当时， 无最大值（如图4），不满足题意；
当时，，存在最大值1（如图5），满足题意；
当时，存在最大值1（如图6），满足题意；
综上所述，若存在最大值，则的取值范围是即③正确；
结论④，存在三个互不相等实数，使得，
可转化为函数的图象与直线有三个不同的交点，
不妨设，.
当时， 结合图象（如图）可知，
当时，函数的图象与直线有三个不同的交点，
且，，则，故满足题意，
故当时，满足题意；
当时，，且，
结合图象（如图）可知，
当时，函数的图象与直线有三个不同的交点，
但，，则，故不满足题意；
当时，函数的图象与直线有三个不同的交点，
且，，则，
故当时，满足题意；
当时，，且，
结合函数的单调性与图象（如图）可知，
当时，函数的图象与直线有三个不同的交点，
但，，则，故不满足题意；
同理结合图象（如图，③中图，图，图，图）可知，
当时，函数图象与直线至多两个交点，故不满足题意.
综上所述，的取值范围是，故④正确.
故答案为：②③④
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）记两个红球为，，两个白球为，，
从中随机抽取（不放回）两个球，则可能结果有，，，，，共个，
恰有一个为红球的有，，，共种情况，
所以所抽的两个球中，恰有一个为红球的概率.
（2）所抽的两个球中，至少有一个为红球有，，，，共种情况，
所以所抽的两个球中，至少有一个为红球的概率.
16．【答案】(1)，
(2)
(3)
【详解】（1）依题意，，
又，且，，
解得，，；
（2）因为，
所以样本中在内的频数为；
（3）因为，
所以根据样本数据估计全校学生一周内的校志愿者活动时长不少于分钟的人数约为（人）.
17．【答案】(1)为奇函数，证明见解析
(2)
【详解】（1）为奇函数，证明如下：
由题意可得，解得，
所以函数的定义域为.
又，
所以函数是定义在上的奇函数.
（2）因为，
又在上单调递增，在定义域上单调递增，
所以在上单调递增，
又，
不等式，即，即，即，
解得，
所以的取值范围为.
18．【答案】(1)1
(2)4
(3)
【详解】（1）当时，，
当且仅当，即时，等号成立
所以的最大值为1
（2）因为，所以，
由题“”即：“，均有”
当且仅当时等号成立，故，即的最大值为4
（3）令，则，令，
①当时，由，则，则在上单调递减，
又，
所以，依题意，故；
②当时，由，则，
1）当时，在上单调递减，
所以恒成立，符合题意；
2）当时，在单调递增，在单调递减，
所以，
所以，故，
综上可得，的取值范围是.
19．【答案】(1)①是“函数”，②不是“函数”
(2)
(3)
【详解】（1）①是“函数”；②不是“函数”.
理由如下：①，又函数的定义域为，所以为“函数”.
②，故不是“函数”.
（2）先证：在上单调递增.
任取，且
①若，由于在上单调递增，则
②若，则，由于在上单调递增，则，结合“函数”定义，有即在上单调递增
③若，由①②，则有，
故在上单调递增
，
由于在上单调递增，因此，
即，解得，
综上，的取值范围是；
（3）①当时：，
，当且仅当时，等号成立
，当且仅当时，等号成立
故，当且仅当时，等号成立，
所以，在上的最大值为
进而，在上的值域为；
②当时，的取值范围是，
由“函数”的定义，的取值范围是，
即在上的值域为；
③当时，，即
因此，在上的值域为
若使其为，只需，而，解得，
综上，的取值范围是.