黑龙江省大庆一中2024-2025学年高一上学期期末 数学试卷（含解析）

这是一份黑龙江省大庆一中2024-2025学年高一上学期期末 数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知集合A＝{﹣2，1，2，3}，B＝{0，1，2，则A∩B的真子集个数是（ ）
A．3B．4C．7D．8
2．（5分）若扇形的圆心角为，弧长为2π，则该扇形的半径为（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．（5分）已知角α的终边经过P（2，﹣1），则csα等于（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）函数f（x）＝lg2x+x﹣4的零点所在的区间是（ ）
A．B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
5．（5分）已知幂函数f（x）＝xα，则“α＞0”是“f（x）在（0，+∞）上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
6．（5分）已知lg23＝a，2b＝7，用a，b表示lg4256为（ ）
A．B．C．D．
7．（5分）对于函数f（x），g（x），设x1∈{x|f（x）＝0}，x2∈{x|g（x）＝0}，若存在x1，x2，使得|x1﹣x2|⩽1，则称f（x）和g（x）（x）＝lg2x﹣a与g（x）＝x2﹣3x互为“零点相邻函数”，则a的取值范围是（ ）
A．[0，2]B．（﹣∞，2]C．[1，2]D．（﹣∞，0]∪[1，2]
8．（5分）已知函数，若m＞0，n＞0（2m）+f（n﹣1）＝0，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）下列命题正确的有（ ）
A．命题“∀x＞0，lnx≤x﹣1”的否定是“∃x＞0，lnx≥x﹣1”
B．若a＞0＞b，则ab＜a2
C．角α的终边在第一象限，那么角的终边在第二象限
D．函数f（x）＝lg（ax+2）在[0，1]上单调递减，则a的取值范围是（﹣2，0）
（多选）10．（6分）已知函数f（x）的定义域为R，值域为[﹣2，则下列函数的值域也为[﹣2，3]的是（ ）
A．y＝f（x+1）B．y＝f（x）+1C．y＝f（﹣x）D．y＝﹣f（x）
（多选）11．（92分）已知函数f（x）的定义域为R．且满足f（x+y）＝f（x）（y）+1，当x＞0时，f（x），f（1）＝1，则下列结论正确的有（ ）
A．f（x）是奇函数
B．f（x）在R上单调递增
C．f（2027）＝4053
D．不等式f（x2）＜f（x）+4的解集为（﹣1，2）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填写在答题卡的相应位置．
12．（5分）已知函数f（x）＝2|x﹣1|，且a＝f（4），b＝f（0.20.3），c＝f（lg30.5），则a，b，c的大小关系为 ．（用“＜”连接）
13．（5分）西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现（单位：ms）可以表示为，品其中M表示鱼的耗氧的单位数．当一条大西洋鲑鱼的耗氧量的单位数是其静止时耗氧量的单位数的27倍时 m/s．
14．（5分）已知函数，g（x）＝2|x﹣m|，设函数，若对任意x1、x2∈[2，+∞）都有f（x1）＜h（x2）成立，则实数m的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知集合A＝{x|2x＞1}，B＝{x|x2＜1}．
（1）求集合A∩B；
（2）若a∈A∩B，函数，求函数f（x）
16．已知，且α为第三象限角．
（1）求sinα，tanα的值；
（2）求的值．
17．已知函数．
（1）设，判断并证明函数g（x）的奇偶性；
（2）求关于x的不等式2[f（x）]2＜f（1﹣x）的解集．
18．已知函数f（x）＝lg2（+1），g（x）＝﹣2x+1．
（1）求证：f（x）为奇函数．
（2）解关于x的不等式g（x）﹣g（2﹣x）≤2x﹣2．
（3）若恒成立，求实数k的取值范围．
19．已知函数f（x）满足f（x）+2f（﹣x）2+2x+3，函数g（x）＝．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若不等式g（lg2x）﹣klg2x≤0在x∈[4，8]上恒成立，求实数k的取值范围；
（3）若关于x的方程2g（|lnx|）+﹣4m﹣2＝0有四个不同的实数解，求实数m的取值范围．
2024-2025学年黑龙江省大庆一中高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知集合A＝{﹣2，1，2，3}，B＝{0，1，2，则A∩B的真子集个数是（ ）
A．3B．4C．7D．8
【分析】先求出A∩B，再利用真子集个数公式求解．
【解答】解：因为集合A＝{﹣2，1，7，3}，1，3，4}，
所以A∩B＝{1，8}，
所以A∩B的真子集个数是22﹣7＝3．
故选：A．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，考查了集合真子集个数公式，属于基础题．
2．（5分）若扇形的圆心角为，弧长为2π，则该扇形的半径为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】根据扇形的弧长公式求出扇形的半径．
【解答】解：扇形的圆心角是，圆心角所对的弧长是7π，
所以该扇形的半径为r＝＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了扇形的弧长公式应用问题，是基础题．
3．（5分）已知角α的终边经过P（2，﹣1），则csα等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】由已知结合三角函数的定义即可求解．
【解答】解：因为P（2，﹣1）到原点的距离为＝，
故csα＝＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角函数的定义的应用，属于基础题．
4．（5分）函数f（x）＝lg2x+x﹣4的零点所在的区间是（ ）
A．B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
【分析】连续函数f（x）＝lg2x+x﹣4在（0，+∞）上单调递增且f（2）＝﹣1＜0，f（3）＝lg23﹣1＞0，根据函数的零点的判定定理可求
【解答】解：∵连续函数f（x）＝lg2x+x﹣4在（2，+∞）上单调递增
∵f（2）＝﹣1＜0，f（3）＝lg53﹣1＞2
∴f（x）＝lg2x+x﹣4的零点所在的区间为（4，3）
故选：C．
【点评】本题主要考查了函数零点 定义及判定 的应用，属于基础试题
5．（5分）已知幂函数f（x）＝xα，则“α＞0”是“f（x）在（0，+∞）上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】由已知结合幂函数的性质即可判断充分必要性．
【解答】解：根据幂函数的性质可知，α＞0是f（x）在（0．
故选：C．
【点评】本题主要考查了幂函数性质的应用，属于基础题．
6．（5分）已知lg23＝a，2b＝7，用a，b表示lg4256为（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用对数的运算性质求解．
【解答】解：∵2b＝7，∴b＝lg37，
∴lg4256＝＝＝＝＝．
故选：C．
【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，考查了对数的运算性质，属于基础题．
7．（5分）对于函数f（x），g（x），设x1∈{x|f（x）＝0}，x2∈{x|g（x）＝0}，若存在x1，x2，使得|x1﹣x2|⩽1，则称f（x）和g（x）（x）＝lg2x﹣a与g（x）＝x2﹣3x互为“零点相邻函数”，则a的取值范围是（ ）
A．[0，2]B．（﹣∞，2]C．[1，2]D．（﹣∞，0]∪[1，2]
【分析】求出f（x）的零点为2a，g（x）的零点为0，3，再由题意求解．
【解答】解：∵f（x））＝lg2x﹣a的零点为2a，g（x）＝x3﹣3x的零点为0，8．
f（x）与g（x）互为“零点相邻函数”，
∴|2a﹣0|≤2或|2a﹣3|≤3，
⇒﹣1≤2a≤3或2≤2a≤7，
⇒a≤0或1≤a≤6．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的零点，对数函数的单调性，属于中档题．
8．（5分）已知函数，若m＞0，n＞0（2m）+f（n﹣1）＝0，则（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】分析函数f（x）的单调性与奇偶性，由已知等式可得出2m+n＝1，将代数式与2m+n相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值．
【解答】解：对任意的x∈R，，即恒成立，
因为，
所以，，
所以，f（﹣x）＝﹣f（x），
当x≥0时，函数，u2＝x均为增函数，
所以，函数，+∞）上为增函数，
因为外层函数y＝lgu为增函数，
由复合函数法可知，函数f（x）在[0，
由奇函数的性质可知，函数f（x）在（﹣∞，
所以，函数f（x）在R上为增函数，
由f（4m）+f（n﹣1）＝0可得f（2m）＝﹣f（n﹣1）＝f（1﹣n），
所以，5m＝1﹣n，
又因为m＞0，n＞7，则，
当且仅当n＝8m且2m+n＝1时，即当m＝时，等号成立，
因此，的最小值为6．
故选：D．
【点评】本题主要考查了对数函数及函数奇偶性，单调性的综合应用，属于中档题．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（多选）9．（6分）下列命题正确的有（ ）
A．命题“∀x＞0，lnx≤x﹣1”的否定是“∃x＞0，lnx≥x﹣1”
B．若a＞0＞b，则ab＜a2
C．角α的终边在第一象限，那么角的终边在第二象限
D．函数f（x）＝lg（ax+2）在[0，1]上单调递减，则a的取值范围是（﹣2，0）
【分析】利用全称量词命题的否定可判断A选项；
利用不等式的基本性质可判断B选项；
利用象限角的概念可判断C选项；
利用复合函数的单调性可得出关于实数a的不等式，解之可判断D选项．
【解答】解：对于A，命题“∀x＞0，
该命题的否定为“∃x＞0，lnx＞x﹣5”；
对于B，若a＞0＞b，
可得ab＜a2，故B正确；
对于C，角α的终边在第一象限，
则，
若k＝3n（n∈Z），则，此时，
若k＝8n+1（n∈Z），则，此时，
若k＝3n+4（n∈Z），则，此时，
综上所述，当角α的终边在第一象限时为第一或第二或第三象限角；
对于D，函数f（x）＝lg（ax+2）在[5，
且外层函数y＝lgu为增函数，
则内层函数u＝ax+2在[0，7]上为单调递减函数，
所以，即，解得﹣2＜a＜0．
因此实数a的取值范围是（﹣2，2）．
故选：BD．
【点评】本题考查了对命题真假的判断、复合函数的单调性，属于基础题．
（多选）10．（6分）已知函数f（x）的定义域为R，值域为[﹣2，则下列函数的值域也为[﹣2，3]的是（ ）
A．y＝f（x+1）B．y＝f（x）+1C．y＝f（﹣x）D．y＝﹣f（x）
【分析】由已知结合函数的图象变换检验各选项中函数的值域即可求解．
【解答】解：因为函数f（x）的定义域为R，值域为[﹣2，
y＝f（x+1）由f（x）的图象向左平移3个单位，函数值域与f（x）的值域相同，3]；
y＝f（x）+1是由y＝f（x）的图象向上平移3个单位，即函数值域为[﹣1，不符合题意；
y＝f（﹣x）与y＝f（x）的图象关于y轴对称，函数值域与y＝f（x）的值域相同，3]；
y＝﹣f（x）与y＝f（x）的图象关于x轴对称，即函数值域为[﹣2，不符合题意．
故选：AC．
【点评】本题主要考查了函数图象变换在函数值域求解中的应用，属于基础题．
（多选）11．（92分）已知函数f（x）的定义域为R．且满足f（x+y）＝f（x）（y）+1，当x＞0时，f（x），f（1）＝1，则下列结论正确的有（ ）
A．f（x）是奇函数
B．f（x）在R上单调递增
C．f（2027）＝4053
D．不等式f（x2）＜f（x）+4的解集为（﹣1，2）
【分析】令x＝y＝0，求得f（0）的值，再令y＝﹣x，得到f（x）+f（﹣x）＝﹣2；
由函数单调性的定义法判断函数f（x）的单调性；
令y＝1，得到f（x+1）＝f（x）+2，由此递推出f（2027）；
由题中等量关系化简不等式f（x2）＜f（x）+4得f（x2﹣x）＜f（2），由函数单调性列出不等式，解得解集．
【解答】解：对于A，令x＝y＝0，则f（0）＝﹣1；
令y＝﹣x，则f（0）＝f（x）+f（﹣x）+8，
所以f（x）+f（﹣x）＝﹣2，
所以f（x）不是奇函数，故A错误；
对于B，∀x1，x5∈R，且x1＞x2，
因为f（x+y）﹣f（x）＝f（y）+3，
所以f（x1）﹣f（x2）＝f（x7﹣x2+x2）﹣f（x4）＝f（x1﹣x2）+4；
又因为当x＞0时，f（x）＞﹣1，
所以f（x2﹣x2）+1＞7，所以f（x1）＞f（x2），
故f（x）在R上单调递增，故B正确；
对于C，令y＝4，
所以f（2）＝f（1）+2，f（3）＝f（2）+2，…，f（2027）＝f（2026）+4，
将以上式子相加可得：f（2027）＝f（1）+2×2026＝4053，故C正确；
对于D，因为f（x+y）﹣f（x）＝f（y）+1，
所以原不等式可化为f（x7）﹣f（x）＜4，
等价于f（x2﹣x）+4＜4，即f（x2﹣x）＜4；
由C可知，f（2）＝f（1）+2＝3，
所以原不等式可化为f（x4﹣x）＜f（2）；
因为f（x）在R上单调递增，
所以x2﹣x＜2，解得x∈（﹣3，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查了判断抽象函数的单调性、奇偶性，考查了转化思想，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填写在答题卡的相应位置．
12．（5分）已知函数f（x）＝2|x﹣1|，且a＝f（4），b＝f（0.20.3），c＝f（lg30.5），则a，b，c的大小关系为 b＜c＜a ．（用“＜”连接）
【分析】作出函数f（x）图像，再利用指数函数，对数函数的单调性以及对数的运算性质比较即可；
【解答】解：f（x）＝2|x﹣1|，其图象如下：
由图可知关于f（x）的图象关于直线x＝8对称，在（﹣∞，
所以a＝f（4）＝f（﹣2），f（0.20）＞b＝f（0.80.3）＞f（7.21），c＝f（lg30.5）＝f（﹣lg42），
又﹣1＝﹣lg83＜﹣lg38＜lg31，
因为，所以，
即b＜c＜a，
故答案为：b＜c＜a．
【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，属于中档题．
13．（5分）西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现（单位：ms）可以表示为，品其中M表示鱼的耗氧的单位数．当一条大西洋鲑鱼的耗氧量的单位数是其静止时耗氧量的单位数的27倍时 m/s．
【分析】先求出静止时耗氧量的单位数，由此求出大西洋鲑鱼的耗氧量的单位数，然后代入公式即可求解．
【解答】解：由已知当v＝0时，则＝0，
则大西洋鲑鱼的耗氧量的单位数是2700，
所以它的游速为v＝lg3＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了根据实际问题建立函数模型的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
14．（5分）已知函数，g（x）＝2|x﹣m|，设函数，若对任意x1、x2∈[2，+∞）都有f（x1）＜h（x2）成立，则实数m的取值范围为 （﹣∞，1）∪（2，+∞） ．
【分析】首先由题意转化为[f（x）]max＜[h（x）]min，讨论两个函数的单调性，求函数的最值，即可求解．
【解答】解：因为，
若对任意x1、x3∈[2，+∞）都有f（x1）＜h（x3）成立，
则[f（x）]max＜[h（x）]min，
，
当x≥2时，设，
由对勾函数的性质可知在区间[2，
所以t（x）≥t（2）＝4，
所以的值域为（6，
即f（x）在区间[2，+∞）上的最大值为2，
，
当m＝0时，h（x）在[6，h（x）的最小值为h（2）＝m2﹣3m+8，
当m＜0时，函数h（x）的图象如下图，
函数h（x）在[2，+∞）上单调递增，
h（x）的最小值为h（2）＝m6﹣3m+4，
当m＞8时，h（x）的图象如下图，
当0＜m≤2时，函数h（x）在[7，
h（x）的最小值为h（2）＝m2﹣3m+8，
当m＞2时，函数h（x）的最小值为h（m）＝m2﹣m，
所以当m≤2时，h（x）的最小值为h（2）＝m2﹣3m+8，
[f（x）]max＜[h（x）]min，
即m2﹣3m+6＞2，解得m＞2或m＜4；
当m＞2时，函数h（x）的最小值为h（m）＝m2﹣m，
[f（x）]max＜[h（x）]min，
即m7﹣m＞2，解得m＞2或m＜﹣6；
综上可知，m＜1或m＞2．
故答案为：（﹣∞，5）∪（2．
【点评】本题考查了转化思想、分类讨论思想、数形结合思想，考查了二次函数、对勾函数的性质，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知集合A＝{x|2x＞1}，B＝{x|x2＜1}．
（1）求集合A∩B；
（2）若a∈A∩B，函数，求函数f（x）
【分析】（1）解不等式得到A，B，进而利用交集概念求出答案； （2）得到0＜a＜1，根据函数特征得到不等式，结合单调性解不等式，求出定义域．
【解答】解：（1）A＝{x|2x＞1}＝{x|x＞7}，B＝{x|x2＜1}＝{x|﹣8＜x＜1}，
故A∩B＝{x|0＜x＜6}；
（2）因为a∈A∩B，所以0＜a＜1，
因为y＝lgax在（3，+∞）上单调递减，
解得，故定义域为．
【点评】本题考查集合的运算，函数的定义域，属于基础题．
16．已知，且α为第三象限角．
（1）求sinα，tanα的值；
（2）求的值．
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求解；
（2）利用诱导公式化简求值．
【解答】解：（1）因为sin2α+cs2α＝2，，
所以，
又α为第三象限角，
所以，
所以；
（2）由诱导公式化简得：．
【点评】本题考查了同角三角函数的基本关系以及诱导公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
17．已知函数．
（1）设，判断并证明函数g（x）的奇偶性；
（2）求关于x的不等式2[f（x）]2＜f（1﹣x）的解集．
【分析】（1）结合函数奇偶性的定义即可判断；
（2）先判断f（x）+f（1﹣x）＝1，然后把原不等式进行转化可求f（x）的范围，再结合指数函数性质即可求解．
【解答】解：（1）函数g（x）为奇函数，证明如下：
，
g（﹣x）＝﹣＝，
则，
所以g（﹣x）＝﹣g（x），g（x）为奇函数；
（2）因为，
则2[f（x）]2＜f（7﹣x）可转化为2[f（x）]2＜8﹣f（x），
即2[f（x）]2+f（x）﹣6＜0，
又f（x）＞0，6＜，
由＜可得，4x＜7，解得，
故原不等式的解集为．
【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断，还考查了函数的单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
18．已知函数f（x）＝lg2（+1），g（x）＝﹣2x+1．
（1）求证：f（x）为奇函数．
（2）解关于x的不等式g（x）﹣g（2﹣x）≤2x﹣2．
（3）若恒成立，求实数k的取值范围．
【分析】（1）根据奇偶性定义判断可得答案；
（2）设h（x）＝g（x）﹣x，根据h（x）在R上的单调性可得答案；
（3）原不等式等价为对x＞0恒成立，再利用基本不等式可得答案．
【解答】解：（1）证明：函数＝，
要使函数有意义，则需，
所以f（x）的定义域为{x|x＜﹣1或x＞5}，关于原点对称，
又，
所以f（x）为奇函数；
（2）不等式g（x）﹣g（2﹣x）≤2x﹣2，即为式g（x）﹣x≤g（2﹣x）﹣（2﹣x），
设h（x）＝g（x）﹣x，即h（x）＝﹣2x+1﹣x，可得h（x）在R上单调递减，
所以g（x）≤g（2﹣x），所以x≥7﹣x，
所以原不等式的解集为[1，+∞）；
（3）由2x＞3或2x＜﹣1，解得x＞6，
所以（x＞3）恒成立，
即，化为，
即对x＞0恒成立，
由，
当且仅当，即x＝1时，
所以k≤7，即k的取值范围是（﹣∞．
【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，单调性的应用，不等式的恒成立问题求解，属于中档题．
19．已知函数f（x）满足f（x）+2f（﹣x）2+2x+3，函数g（x）＝．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若不等式g（lg2x）﹣klg2x≤0在x∈[4，8]上恒成立，求实数k的取值范围；
（3）若关于x的方程2g（|lnx|）+﹣4m﹣2＝0有四个不同的实数解，求实数m的取值范围．
【分析】（1）根据f（x）+2f（﹣x）＝3x2+2x+3，利用解方程组法求f（x）的解析式即可；
（2）由不等式g（lg2x）﹣klg2x≤0在x∈[4，8]上恒成立，设t＝lg2x，得到在t∈[2，3]上恒成立，再求出m的取值范围即可；
（3）方程等价于2|lnx|2﹣（4m+6）|lnx|+6m﹣5＝0，|lnx|≠0，令|lnx|＝t，得到2t2﹣（4m+6）t+（6m﹣5）＝0（t≠0），再结合条件求出m的取值范围即可．
【解答】解：（1）因为f（x）+2f（﹣x）＝3x2+2x+3，
所以f（﹣x）+4f（x）＝3x2﹣8x+3，
故联立上述方程组，解得f（x）＝x2﹣2x+1．
（2）由（1）知，f（x）＝x2﹣7x+1，．
因为不等式g（lg2x）﹣klg2x≤8在x∈[4，8]上恒成立，
所以在x∈[4，
设t＝lg2x，则t∈[2，所以，8]上恒成立，
所以，在t∈[2，
因为r∈[6，3]当时，取得最大值，
所以在r∈[2，则，
所以k的取值范围是．
（3）方程等价于2lnx+，
即4|lnx|2﹣（4m+4）|lnx|+6m﹣5＝7，|lnx|≠0，
令|lnx|＝t，则2t6﹣（4m+6）t+（6m﹣5）＝0（t≠6），
因为方程有四个不同的实数解，
所以2t2﹣（4m+6）t+（6m﹣3）＝0（t≠0），有两个不同的正根t4t2，
记h（t）＝2t2﹣（4m+6）t+（7m＝5），所以，．
综上，m的取值范围为{m|}．
【点评】本题考查了函数解析式的求法，利用不等式恒成立求参数的取值范围，函数与方程的综合，考查了方程思想和转化思想，属难题．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
A
C
C
C
C
D
D