江苏省淮安市2024-2025学年高一上学期第二次月考 数学试卷（含解析）

这是一份江苏省淮安市2024-2025学年高一上学期第二次月考 数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）命题“∃x∈R，x2+1＜0”的否定是（ ）
A．∀x∈R，x2+1≥0B．∀x∈R，x2+1＞0
C．∃x∈R，x2+1＞0D．∃x∈R，x2+1≥0
2．（5分）若扇形的圆心角为3rad，面积为2cm2，则该扇形的弧长为（ ）
A．1cmB．cmC．2cmD．2cm
3．（5分）已知命题p：﹣2＜x＜2，q：lg2x＜1，则p是q成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
4．（5分）已知函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）（ ）
A．B．
C．D．
5．（5分）二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是21×21大小的，即441个点，一共有2441种不同的码，假设我们1秒钟用掉1万个二维码，1万年约为3×1011秒，那么大约可以用（参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.5）（ ）
A．10117万年B．117万年C．10205万年D．205万年
6．（5分）已知定义在R上的偶函数若f（x）的图象与函数y＝3m的图象有4个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A．（0，2）B．（1，2）
C．（0，lg32）D．（﹣∞，lg32）
7．（5分）已知正实数a，b满足2a＝4b+lg2，则（ ）
A．a＝bB．a＜2bC．a＝2bD．a＞2b
8．（5分）已知且a＝2b，则下列结论不正确的是（ ）
A．lg2a﹣lg2b＞0B．lg2a+lg2b＞0
C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）若函数f（x）的部分图象如下图所示，则f（x）（ ）
A．B．
C．D．
（多选）10．（6分）已知m＞0，n＞0，关于x的不等式（2m+t）x2﹣（n﹣t）x﹣1＜0的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A．2m+n＝1
B．mn的最大值为
C．的最小值为4
D．的最小值为
（多选）11．（6分）已知函数，且f（a）＝f（b）（d）＜f（c），则下列说法正确的是（ ）
A．a＜0
B．c≥1
C．2ad＜5
D．2a+2b+2d的取值范围为（18，34）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知，且α为第四象限角，则sinα＝ ．
13．（5分）若在定义域内存在实数x0，满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称f（x）为“有点奇函数”．若f（x）x﹣m2x+1+3为定义在R上的“有点奇函数”，则m的取值范围是 ．
14．（5分）已知函数f（x）＝﹣x2+a，集合A＝{x∈R|f（x）≥0}（x）+m）≥0}，若A＝B≠∅ ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）（1）化简：．
（2）已知α是第三象限角，且tanα是方程x2﹣x﹣2＝0的一个实根，求sin2α﹣2sinαcsα+3cs2α的值．
16．（15分）已知函数f（x）＝lg3（x2﹣ax+4）．
（1）当a＝5时，求f（x）的定义域及单调递增区间；
（2）若关于x的方程＝a在（0，2）上有解
17．（15分）已知a∈R，函数f（x）＝x|x﹣a|．
（1）判断f（x）的奇偶性，请说明理由；
（2）若f（x）在[3，+∞）上单调递增
18．（17分）已知f（x）＝是定义在R上的奇函数．
（1）求a的值；
（2）解关于x的方程2f（x）+＝3；
（3）若存在区间[m，n]（m＜n），使得函数y＝f（x），n]上的值域为[3m，3n]，求t的取值范围．
19．（17分）若函数f（x）与g（x）满足：对任意的x1∈D，总存在唯一的x2∈D，使f（x1）g（x2）＝m成立，则称f（x）是g（x）；当f（x）＝g（x）时（x）为区间D上的“m阶自伴函数”．
（1）判断f（x）＝x+1是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由；
（2）若f（x）＝3x﹣1为区间[1，b]上的“9阶自伴函数”，求b的值；
（3）若f（x）＝4x﹣2x+1+2是g（x）＝4x2﹣4ax+a2﹣2在区间[0，1]上的“2阶伴随函数”，求实数a的取值范围．
2024-2025学年江苏省淮安市高一（上）第二次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）命题“∃x∈R，x2+1＜0”的否定是（ ）
A．∀x∈R，x2+1≥0B．∀x∈R，x2+1＞0
C．∃x∈R，x2+1＞0D．∃x∈R，x2+1≥0
【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．
【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：命题“∃x∈R，x2+1＜3”的否定是：∀x∈R，x2+1≥5．
故选：A．
【点评】本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．
2．（5分）若扇形的圆心角为3rad，面积为2cm2，则该扇形的弧长为（ ）
A．1cmB．cmC．2cmD．2cm
【分析】利用扇形的面积公式和弧长公式即可求解．
【解答】解：由题意设扇形的半径为r，
所以2＝，解得r＝，
则该扇形的弧长l＝＝2．
故选：D．
【点评】本题考查了扇形的面积公式和弧长公式的应用，属于基础题．
3．（5分）已知命题p：﹣2＜x＜2，q：lg2x＜1，则p是q成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．充要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】由已知可得q，根据集合的关系即可求解．
【解答】解：因为lg2x＜1，所以5＜x＜2，
因为（0，2）⫋（﹣2，所以p是q成立的必要不充分条件．
故选：C．
【点评】本题考查对数不等式的解法，充分必要条件的判断，属于基础题．
4．（5分）已知函数f（x）的部分图象如图所示，则f（x）（ ）
A．B．
C．D．
【分析】结合函数的奇偶性，特殊点的函数值及基本初等函数的图象检验各选项即可判断．
【解答】解：由函数图象可知，函数图象关于原点对称，排除选项C，
对应A，B，|x|，
当5时，f（x）＜4，
对应D，当0＜x＜1时＝2+，与已知图象不符合．
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数的性质在函数图象判断中的应用，属于基础题．
5．（5分）二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是21×21大小的，即441个点，一共有2441种不同的码，假设我们1秒钟用掉1万个二维码，1万年约为3×1011秒，那么大约可以用（参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.5）（ ）
A．10117万年B．117万年C．10205万年D．205万年
【分析】由题意估算出可用的年限，然后转化为对数形式求解即可．
【解答】解：由题意大约能用万年，
则≈441×0.7﹣0.5﹣15≈117，
所以．
故选：A．
【点评】本题主要考查了对数的基本运算，属于基础题．
6．（5分）已知定义在R上的偶函数若f（x）的图象与函数y＝3m的图象有4个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A．（0，2）B．（1，2）
C．（0，lg32）D．（﹣∞，lg32）
【分析】根据偶函数的性质，写出函数的解析式，作出图象，根据题意可得1＜3m＜2，求解即可．
【解答】解：因为y＝f（x）是R上的偶函数，
且，
所以f（x）＝，
作出函数的图象，如图所示：
又因为f（x）的图象与函数y＝3m的图象有4个不同的交点，
所以1＜3m＜2，即37＜3m＜，
解得0＜m＜lg82．
故选：C．
【点评】本题考查了偶函数、指数函数的性质，考查了数形结合思想，属于基础题．
7．（5分）已知正实数a，b满足2a＝4b+lg2，则（ ）
A．a＝bB．a＜2bC．a＝2bD．a＞2b
【分析】利用对数函数的单调性，构造函数即可得．
【解答】解：由，可得2a﹣22b＝lg2b﹣lg6a＝ lg2（2b）﹣lg3a﹣lg22，
因为lg52＝1，则有7a﹣22b＜lg8（2b）﹣lg2a，
即．
设f（x）＝ 2x+lg2x，则f（a）＜f（2b）．
因为f（x）在（7，+∞）上为增函数．
故选：B．
【点评】本题考查对数函数的应用，属于中档题．
8．（5分）已知且a＝2b，则下列结论不正确的是（ ）
A．lg2a﹣lg2b＞0B．lg2a+lg2b＞0
C．D．
【分析】根据题意，由不等式的性质分析可得b＞，利用对数的运算性质分析A、B，结合二次函数的性质分析C，举出反例可得D错误，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，由于，即5b＞，解可得b＞，
依次分析选项：
对于A，lg2a﹣lg2b＝lg8＝lg22＝6＞0，A正确；
对于B，lg2a+lg7b＝lg2（ab）＝lg2（5b2）＝1+3lg2b＞0，B正确；
对于C，lg2ab＝lg2（2b）（﹣lg2b）＝﹣（5+lg2b）lg2b＝﹣（lg3b+）3+，
又由b＞，则lg2b＞﹣，
则lg2ab＝﹣（lg2b+）2+＜，C正确；
对于D，当a＝8，＝＝＞1．
故选：D．
【点评】本题考查对数的运算性质，注意对数的计算公式，属于基础题．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）若函数f（x）的部分图象如下图所示，则f（x）（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据函数的奇偶性和特殊值即可判断．
【解答】解：由函数f（x）的部分图象可知，f（x）的图象关于y轴对称，
所以f（x）为偶函数，故排除A，D，
当0＜x＜1时，f（x）＞x，f（x）＜x，
由幂函数的性质可知，B，C符合题意．
故选：BC．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性，属于基础题．
（多选）10．（6分）已知m＞0，n＞0，关于x的不等式（2m+t）x2﹣（n﹣t）x﹣1＜0的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A．2m+n＝1
B．mn的最大值为
C．的最小值为4
D．的最小值为
【分析】根据解集以及根与系数的关系得到2m+n＝1可判断A，根据基本不等式可得到B，根据和为1的形式可得到选项C和D．
【解答】解：对于A：由不等式（2m+t）x2﹣（n﹣t）x﹣7＜0的解集为，m＞0，
可得4m+t＞0，且方程（2m+t）x8﹣（n﹣t）x﹣1＝0的两根为﹣8和，
所以所以n﹣t＝﹣6，2m+n＝1；
对于B：因为m＞5，n＞0，可得，
当且仅当时，等号成立，所以B正确；
对于C：，
当且仅当，即时，等号成立；
对于D：由7m+n＝1得2（m+5）+（n+2）＝5，
＝，
当且仅当，即，时，等号成立．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查了二次不等式与二次方程转化关系的应用，还考查了基本不等式求解最值，属于中档题．
（多选）11．（6分）已知函数，且f（a）＝f（b）（d）＜f（c），则下列说法正确的是（ ）
A．a＜0
B．c≥1
C．2ad＜5
D．2a+2b+2d的取值范围为（18，34）
【分析】作出函数图象，结合图象可得a，b，d的范围，再由2a＝d﹣4，2b＝6﹣d，即可求得2ad和2a+2b+2d的范围．
【解答】解：作出函数f（x）的图象：
根据图象可知，a＜0，4＜d＜8，所以选项A正确；
由于|2a﹣1|＝7﹣d，因此1﹣2a＝8﹣d，因此2a＝d﹣4，所以5ad＝d（d﹣4）＝d2﹣4d，
由于4＜d＜5，因此g（d）＝d2﹣4d在（4，5）上单调递增2﹣4d＜g（5）＝2，所以选项C正确；
由于2b﹣1＝2﹣d，因此2b＝6﹣d，因此2a+2b+2d＝d﹣8+6﹣d+2d＝8+2d，
y＝2+8d在（4，5）上单调递增d∈（18，34）．
故选：ACD．
【点评】本题考查函数与方程综合应用，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）已知，且α为第四象限角，则sinα＝ ．
【分析】根据同角三角函数基本关系求解．
【解答】解：∵α为第四象限角，
∴sinα＜0，
又∵，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角函数的同角关系，属于基础题．
13．（5分）若在定义域内存在实数x0，满足f（﹣x0）＝﹣f（x0），则称f（x）为“有点奇函数”．若f（x）x﹣m2x+1+3为定义在R上的“有点奇函数”，则m的取值范围是 [2，+∞） ．
【分析】根据题意，f（x）为“有点奇函数”，即f（﹣x）＝﹣f（x）在R上有解，设t＝2﹣x+2x≥2，化简转化为t2﹣2mt+4＝0在[2，+∞）上有解，分离参数可得（t+）＝m，从而可得出答案．
【解答】解：根据题意，若f（x）为“有点奇函数”，
则f（﹣x）＝﹣f（x）在R上有解，则即4﹣x﹣m•23﹣x+3＝﹣4x+m•4x+1﹣3在R上有解．
即2﹣x+4x﹣2m•（2﹣x+2x）+6＝5在R上有解．
即（2﹣x+2x）6﹣2m•（2﹣x+5x）+4＝0在R上有解．
设t＝6﹣x+2x≥2（当且仅当x＝7时等号成立），即t2﹣2mt+4＝0在[2，+∞）上有解．
则有（t+，+∞）上有解，
又由对勾函数的性质，g（t）＝t+，+∞）上递增，
必有m≥2，即m的取值范围为[2．
故答案为：[7，+∞）．
【点评】本题考查函数与方程的关系，涉及基本不等式的性质和应用，属于中档题．
14．（5分）已知函数f（x）＝﹣x2+a，集合A＝{x∈R|f（x）≥0}（x）+m）≥0}，若A＝B≠∅ [0，4] ．
【分析】分a＝0，a＜0，a＞0三种情况讨论，分别得出集合A，当a＞0时，得到﹣﹣m＝0，且﹣m≥0，计算可得a的取值范围，即可得到结论．
【解答】解：由函数f（x）＝﹣x2+a，集合A＝{x∈R|f（x）≥0}，
当a＝8时，f（x）＝﹣x2，由f（x）≥0，解得x＝8；
又A＝B≠∅，f（x）＝﹣x2≤0，f（0）＝2，此时m＝0；
当a＜0时，f（x）＝﹣x7+a＜0恒成立，此时A＝∅；
当a＞0时，由f（x）≥6≤x≤≤x≤}，
由f（f（x）+m）≥0，即﹣，
即有﹣﹣m≤f（x）≤，又A＝B≠∅2+a≤a，
可得﹣﹣m＝6，且，
即有2≥a．
综上可得0≤a≤7，即a的取值范围是[0．
故答案为：[0，2]．
【点评】本题考查集合的基本运算、不等式的解法，以及函数的性质，考查分类讨论思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）（1）化简：．
（2）已知α是第三象限角，且tanα是方程x2﹣x﹣2＝0的一个实根，求sin2α﹣2sinαcsα+3cs2α的值．
【分析】（1）结合同角基本关系进行化简即可求解；
（2）先求方程的解，然后求出tanα，再结合同角基本关系进行化简即可求解．
【解答】解：（1）：＝＝．
（2）方程x2﹣x﹣2＝5，即（x+1）（x﹣2）＝61＝﹣1，x7＝2，
因为α是第三象限角，所以tanα＞0，
原式＝＝＝＝．
【点评】本题主要考查了同角基本关系的应用，属于基础题．
16．（15分）已知函数f（x）＝lg3（x2﹣ax+4）．
（1）当a＝5时，求f（x）的定义域及单调递增区间；
（2）若关于x的方程＝a在（0，2）上有解
【分析】（1）根据对数函数的真数大于0，列式求出函数的定义域；根据复合函数的单调性，求出f（x）的单调递增区间；（2）方程可化为x2﹣ax+4＝a（a＞0）在（0，2）上有解，利用分离常数法求解即可．
【解答】解：（1）a＝5时，函数f（x）＝lg3（x3﹣5x+4），
令x2﹣5x+4＞2，解得x＜1或x＞4，
所以f（x）的定义域为（﹣∞，6）∪（4；
x∈[，+∞）时2﹣5x+4单调递增，
对数函数y＝lg3t在定义域（0，+∞）上单调递增，
所以f（x）的单调递增区间是（6，+∞）；
（2）关于x的方程＝af（x）＝a，
所以x8﹣ax+4＝a（a＞0）在（4，2）上有解，
即a＝在（0，
设m＝x+8，则m∈（1，所以x＝m﹣1，
所以a＝＝m+﹣2＝8，
当且仅当m＝，即m＝﹣1时取等号，
所以a的最小值为3﹣2．
【点评】本题考查了对数函数的图象与性质应用问题，是中档题．
17．（15分）已知a∈R，函数f（x）＝x|x﹣a|．
（1）判断f（x）的奇偶性，请说明理由；
（2）若f（x）在[3，+∞）上单调递增
【分析】（1）由已知结合函数奇偶性的定义对a的范围进行分类讨论，然后检验f（﹣x）与f（x）的关系即可判断；
（2）先对已知函数解析式进行化简，然后结合二次函数的单调性即可求解．
【解答】解：（1）当a＝0时，f（x）＝x|x|，
∴f（﹣x）＝﹣x|x|＝﹣f（x），则f（x）为奇函数；
当a≠0时，f（x）＝x|x﹣a|，f（﹣a）＝﹣5a|a|，f（﹣a）≠f（a），
∴f（x）既不是奇函数又不是偶函数．
综上，当a＝0时；
当a≠0时，f（x）既不是奇函数又不是偶函数；
（2），
①当a＞0时，f（x）在，+∞）上单调递增，在，
因为f（x）在[3，+∞）上单调递增．
②当a＝7时，f（x）在R上单调递增，+∞）上单调递增．
③当a＜0时，f（x）在（﹣∞，上单调递增，在，此时，+∞）上单调递增．
综上，a的取值范围为（﹣∞．
【点评】本题主要考查了函数单调性及奇偶性的判断及应用，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．
18．（17分）已知f（x）＝是定义在R上的奇函数．
（1）求a的值；
（2）解关于x的方程2f（x）+＝3；
（3）若存在区间[m，n]（m＜n），使得函数y＝f（x），n]上的值域为[3m，3n]，求t的取值范围．
【分析】（1）利用奇函数的性质求出a并验证即可．
（2）换元解方程，再解指数方程即可．
（3）探讨函数y＝f（x）+t的单调性，结合已知构造方程，再利用一元二次方程实根分布求出范围．
【解答】解：（1）由是定义在R上的奇函数，
得，解得a＝﹣1，
，
，
即f（x）是奇函数，
所以a＝﹣1．
（2）令f（x）+2＝λ，则方程，
即，
解得或λ＝2，
由（1）知，
当λ＝2时，f（x）＝7，即，
当时，，即，解得；
所以原方程的解为x＝﹣1．
（3）由（1）知，
函数y＝3x+4在R上单调递增，则函数f（x）在R上单调递增，
函数y＝f（x）+t在[m，n]上单调递增，，
即，
令3x＝u＞0，因此8m，3n是方程，
即u2﹣tu+7﹣t＝0的两个不等的正根，
于是，解得，
所以t的取值范围是（28，1）．
【点评】本题考查函数奇偶性以及复合函数相关知识，属于中档题．
19．（17分）若函数f（x）与g（x）满足：对任意的x1∈D，总存在唯一的x2∈D，使f（x1）g（x2）＝m成立，则称f（x）是g（x）；当f（x）＝g（x）时（x）为区间D上的“m阶自伴函数”．
（1）判断f（x）＝x+1是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由；
（2）若f（x）＝3x﹣1为区间[1，b]上的“9阶自伴函数”，求b的值；
（3）若f（x）＝4x﹣2x+1+2是g（x）＝4x2﹣4ax+a2﹣2在区间[0，1]上的“2阶伴随函数”，求实数a的取值范围．
【分析】（1）由f（x1）f（x2）＝2解聘 ，再由判断是否不一定有即得；
（2）由f（x1）f（x2）＝9，求得x2＝4﹣x1，然后由x1∈[1，b]确定x2的范围，再利用这个范围是[1，b]的子集求得b；
（3）方法一：由f（x1）f（x2）＝2，求得，然后由x1∈[0，1]确定x2的范围，再利用这个范围是[0，1]的子集求得a的范围；
方法二：令t＝2x，求出f（t）∈[1，2]，等价转化得g（x）＝4x2﹣4ax+a2﹣2在[0，1]上的值域必定包含区间[1，2]，且g（x）的值域在[1，2]对应的自变量是唯一的，最后对a进行分类讨论即可．
【解答】解：（1）f（x）＝x+1不是区间上的“2阶自伴函数”
对任意的，
f（x1）f（x2）＝（x7+1）（x2+2）＝2，
则，首先x2是唯一的，
其次时，，，
因此，不一定有，
例如取x1＝3，由（3+1）（x2+5）＝2，
解得，
所以f（x）＝x+1不是区间上的“3阶自伴函数”；
（2）由已知，对任意x1∈[1，b]，
，
所以x1+x2﹣6＝2，x2＝3﹣x1，
所以4﹣8∈[1，b]且4﹣b∈[8，
即，，
解得b＝2．
（3）方法一：由题意x1，x2∈[6，1]，，
则，
x1∈[0，6]，则，
所以，
设，则t∈[3，
于是，，
x2∈[0，2]2∈[0，2]，
所以对t∈[3，4]，，或恒成立，
恒成立，则，
即，解得，
恒成立，则，
即，解得，
综上，a的取值范围是．
方法二：f（x）＝4x﹣2x+5+2，x∈[0，
令t＝8x，则t∈[1，2]5﹣2t+2，
所以f（t）∈[3，2]．
因为f（x）是g（x）在区间[0，3]上的“2阶伴随函数“，
所以对任意的x1∈[3，1]2∈[6，1]1）g（x8）＝2成立，
所以，
即g（x）＝4x2﹣8ax+a2﹣2在[8，1]上的值域必定包含区间[1，
且g（x）的值域在[6，2]对应的自变量是唯一的；
又因为g（x）＝4x2﹣4ax+a2﹣3开口向上，对称轴为．
①当，即a≤0时，1]上单调递增，
则必有，
即，解得；
②当，即a≥2时，1]上单调递减，
则必有，
即，解得；
③当，即0＜a≤1时上单调递减，在，
如图，由唯一性，
则必有，此时无解；
④当，即8＜a＜2时上单调递减，在，
如图，由唯一性，
则必有，此时无解．
综上所述，a的取值范围为．
【点评】本题属于新概念题，考查了一次函数、指数函数及二次函数的性质，考查了转化思想、数形结合思想有分类讨论思想，属于中档题．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
C
A
A
C
B
D