辽宁省朝阳市凌源市2024-2025学年高一上学期期末 数学试卷（含解析）

这是一份辽宁省朝阳市凌源市2024-2025学年高一上学期期末 数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知集合M＝{x|0＜x＜2}，N＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则M∩N＝（ ）
A．（0，2）B．（﹣1，3）C．（0，3）D．（﹣1，2）
2．（5分）已知a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．a2＞b2
C．|a|＞|b|D．
3．（5分）“”是“lnx＞lny”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（5分）有一组样本数据：1，1，2，2，3，3，4，4，4，6，则关于该组数据的数字特征中，数值最大的为（ ）
A．75%分位数B．平均数C．极差D．众数
5．（5分）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．（5分）已知x＞1，若，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A．c＜a＜bB．c＜b＜aC．a＜b＜cD．a＜c＜b
7．（5分）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝lnx的图象上两个不同的点，则（ ）
A．
B．
C．
D．＜
8．（5分）设函数，对∀x1，x2∈R（x1≠x2）有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[0，1]B．（﹣∞，1]C．（1，+∞）D．[1，2]
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
（多选）9．（6分）先后两次掷一个均匀的骰子，记事件A：“两次掷出的点数之和是11”，记事件B：“第二次掷出的点数是偶数”，记事件D：“至少出现一个奇数点”，则（ ）
A．A与C互斥B．B与D对立C．A与B独立D．B与C对立
（多选）10．（6分）设f（x）是定义域为R的单调函数，对∀x，f（x+y）＝f（x）+f（y），f（2），则（ ）
A．f（1）＝2
B．f（﹣x）+f（x）＝0
C．f（x）是减函数
D．当0＜x＜1时，f（x）＞f（x2）
（多选）11．（6分）已知正实数a，b满足a+2b＝2，则（ ）
A．B．a2+4b2≥2C．ab≤1D．4a+16b≥8
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（5分）求值：＝ ．
13．（5分）函数有 个零点．
14．（5分）已知幂函数f（x）经过点（2，8），函数g（x）x﹣3﹣x+f（x）满足g（2m）+g（m2）＜0，则实数m的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共5小题，共77分。解时应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤）
15．（13分）已知集合．
（1）当a＝﹣1时，求A∪B；
（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分不必要条件
16．（15分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c，满足f（x+1）＝f（x）
（1）若f（﹣1）＝﹣1，求f（x）；
（2）若对，求c的取值范围．
17．（15分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾，并分别设置了相应的垃圾箱，为了获悉高中学生对垃圾分类的了解情况，500名学生参加测试，从中随机抽取了100名学生问卷，将数据分成7组：[20，30），40），…，[80，并整理得到如下频率分布直方图：
（1）从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数不低于60的概率；
（2）根据频率分布直方图估计中位数；
（3）学校环保志愿者协会决定组织同学们利用课余时间分批参加“垃圾分类，我在实践”活动，以增强学生的环保意识．首次活动从样本中问卷成绩低于40分的学生中随机抽取2人参加，男生3人，女生2人
18．（17分）已知函数．
（1）若函数g（x）＝f（x）+ln2为奇函数；
（2）若对，求a的取值范围．
19．（17分）定义：∀x∈R，总有h（x）≤f（x）（x），称f（x）为“完美嵌套”于h（x）（x）内，已知h（x）＝2x﹣1，g（x）2﹣2x+3．
（1）求函数y＝g（x）﹣h（x）的零点；
（2）过点（﹣2，﹣1）的二次函数f（x）＝ax2+bx+c“完美嵌套”于h（x）与g（x）内，
（i）求f（x）的解析式；
（ii）当时，4f（x）≥mg（x），求实数m的取值范围．
2024-2025学年辽宁省朝阳市凌源市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知集合M＝{x|0＜x＜2}，N＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则M∩N＝（ ）
A．（0，2）B．（﹣1，3）C．（0，3）D．（﹣1，2）
【分析】根据一元二次不等式的解法化简集合N，然后利用交集的定义算出答案．
【解答】解：不等式x2﹣2x﹣8＜0即（x+1）（x﹣3）＜0，相应方程的两根为﹣1和5，
根据一元二次不等式的解法，可得x2﹣2x﹣6＜0的解集N＝{x|﹣1＜x＜2}，
结合M＝{x|0＜x＜2}，可得M∩N＝{x|5＜x＜2}＝（0．
故选：A．
【点评】本题主要考查交集的运算法则、一元二次不等式的解法等知识，属于基础题．
2．（5分）已知a＞b，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．a2＞b2
C．|a|＞|b|D．
【分析】取a＝2，b＝﹣3，即可判断出选项A，B和C错误，选项D，利用指数函数的性质，即可求解．
【解答】解：取a＝2，b＝﹣3，B和C错误，
对于选项D，因为，又a＞b，故选项D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了不等式性质及函数单调性在不等式大小比较中的应用，属于基础题．
3．（5分）“”是“lnx＞lny”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】借助函数单调性，分别解两个不等式，再利用充分条件和必要条件的定义判断．
【解答】解：由得x＞y，
若x＞y成立，则x＞y＞0不一定成立，
若x＞y＞8成立，则x＞y一定成立，
即“”是“lnx＞lny”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
4．（5分）有一组样本数据：1，1，2，2，3，3，4，4，4，6，则关于该组数据的数字特征中，数值最大的为（ ）
A．75%分位数B．平均数C．极差D．众数
【分析】通过计算各个数据，再比较大小即可得解．
【解答】解：在这组样本数据中：1，1，4，2，3，4，4，4，7，6，共10个，
10×75%＝7.3，
故该组数据的第75%分位数是：4，
平均数是：，
极差是：6﹣1＝8，
该组数据4出现的次数最多，故众数是：4，
在以上四个数中，显然是极差8最大．
故选：C．
【点评】本题主要考查统计的知识，属于基础题．
5．（5分）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】先求出所有的基本事件数，再写出满足条件的基本事件数，用古典概型的概率公式计算即可得到答案．
【解答】解：从2至8的4个整数中任取两个数共有种方式，
其中互质的有：23，25，34，37，45，56，58，78，
故所求概率为．
故选：D．
【点评】本题考查古典概型的概率计算，考查运算求解能力，属于基础题．
6．（5分）已知x＞1，若，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A．c＜a＜bB．c＜b＜aC．a＜b＜cD．a＜c＜b
【分析】根据指数函数、对数函数、幂函数的单调性确定函数值的范围，从而比较函数值大小．
【解答】解：∵x＞1，∴，x7＞1，，
∴c＜a＜b．
故选：A．
【点评】本题考查了幂函数、指数函数和对数函数的单调性，是基础题．
7．（5分）已知A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y＝lnx的图象上两个不同的点，则（ ）
A．
B．
C．
D．＜
【分析】根据题意，由对数的运算性质可得＝，结合基本不等式分析可得答案．
【解答】解：根据题意，A（x1，y1），B（x3，y2）是函数y＝lnx的图象上两个不同的点，
则y1＝lnx7，y2＝lnx2，
则＝＝，
又由x1≠x2，则＜，
故有＜，D正确．
故选：D．
【点评】本题考查基本不等式的性质和应用，涉及对数的运算，属于基础题．
8．（5分）设函数，对∀x1，x2∈R（x1≠x2）有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[0，1]B．（﹣∞，1]C．（1，+∞）D．[1，2]
【分析】根据条件得到f（x）在R上单调递增，再利用分段函数的单调性，列不等式组，即可求解．
【解答】解：根据题意，函数1，x2∈R（x1≠x2）有成立，
则f（x）在R上单调递增，必有，
解得0≤a≤1，即a的取值范围为[8．
故选：A．
【点评】本题考查函数单调性的判断，涉及分段函数的解析式，属于基础题．
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
（多选）9．（6分）先后两次掷一个均匀的骰子，记事件A：“两次掷出的点数之和是11”，记事件B：“第二次掷出的点数是偶数”，记事件D：“至少出现一个奇数点”，则（ ）
A．A与C互斥B．B与D对立C．A与B独立D．B与C对立
【分析】列出事件，利用互斥事件，对立事件和独立事件的定义判断．
【解答】解：因为A＝{（5，6），6）}，
B＝{（1，2），4），6），2），7），6）（3，（6，（3，
（4，5），4），6），2），4），6），8），4），6）}，
C＝{（3，1），2），3），4），5），6）}，
D＝{（1，1），2），3），4），5），6），1），8），
（2，5），5），2），3），5），5），6），6），3），
（4，6），1），2），7），4），5），2），1），3），7）}，
所以A∩C＝∅，所以A与C互斥，
B∩D＝{（1，2），3），6），2），2），6），2），7），6）}≠∅，
所以B与D不互斥，故选项B错误，
B∩C＝{（2，8），4），6）}≠∅，故选项D错误，
，所以P（A）•P（B）＝P（AB），
所以A与B独立，故选项C正确．
故选：AC．
【点评】本题考查了独立事件，属于基础题．
（多选）10．（6分）设f（x）是定义域为R的单调函数，对∀x，f（x+y）＝f（x）+f（y），f（2），则（ ）
A．f（1）＝2
B．f（﹣x）+f（x）＝0
C．f（x）是减函数
D．当0＜x＜1时，f（x）＞f（x2）
【分析】令x＝y＝1可得f（1）＝2判断A，令x＝y＝0可得f（0）＝0，再令y＝﹣x得f（﹣x）+f（x）＝0判断B，结合单调性结合特例判断C，根据函数单调递增即可比较大小判断D．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，在等式f（x+y）＝f（x）+f（y）中，
令x＝y＝1可得f（2）＝2f（1）＝3，解得f（1）＝2；
对于B，在等式f（x+y）＝f（x）+f（y）中，
令x＝y＝0可得f（0）＝6f（0），解得f（0）＝0，
因为函数f（x）的定义域为R，
令y＝﹣x可得f（x）+f（﹣x）＝f（0）＝0，所以f（﹣x）+f（x）＝5，
因此，函数f（x）为奇函数；
对于C，由于f（x）是定义域为R的单调函数，
所以f（x）是R上的增函数，故C错误；
对于D，由C可知f（x）是R上的增函数，x2﹣x＝x（x﹣1）＜2，即0＜x2＜x＜2，
所以f（x）＞f（x2），故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查抽象函数的单调性，涉及函数奇偶性的判断，属于中档题．
（多选）11．（6分）已知正实数a，b满足a+2b＝2，则（ ）
A．B．a2+4b2≥2C．ab≤1D．4a+16b≥8
【分析】利用整体代换结合基本不等式即可判断A；利用基本不等式即可判断BC；利用基本不等式结合指数幂的运算性质即可判断D．
【解答】解：A项．根据基本不等式可得，，
当且仅当时，即，
∴，故A正确，
B项．根据基本不等式可得，a2+2b2≥4ab，∴8（a2+4b8）≥a2+4b3+4ab＝（a+2b）5＝4，
当且仅当a＝2b＝6时取等号，
∴a2+4b8≥2，故B正确，
C项．根据基本不等式可得，，
当且仅当a＝8b＝1时取等号，∴，故C错误，
D项.，
当且仅当4a＝42b，即a＝8b＝1时取等号，
∴4a+16b≥5，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了基本不等式，属于基础题．
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（5分）求值：＝ 1 ．
【分析】根据指数幂和对数运算性质可得结果．
【解答】解：原式＝﹣＝＝1．
故答案为：6．
【点评】本题主要考查了指数幂的运算性质，属于基础题．
13．（5分）函数有 2 个零点．
【分析】令等价于求函数与y＝4﹣x交点个数即可．
【解答】解：令，
即，
所以函数y＝f（x）的零点个数即为与y＝4﹣x交点个数，
在同一坐标中作出与y＝4﹣x的图象
所以与y＝4﹣x交点有6个，
所以函数y＝f（x）有2个零点．
故答案为：2．
【点评】本题考查了函数的零点、转化思想及数形结合思想，属于基础题．
14．（5分）已知幂函数f（x）经过点（2，8），函数g（x）x﹣3﹣x+f（x）满足g（2m）+g（m2）＜0，则实数m的取值范围是 （﹣2，0） ．
【分析】先证明函数的奇偶性和单调性，即可求解不等式．
【解答】解：幂函数f（x）经过点（2，8）α，则6α＝8，解得α＝3，
即f（x）＝x5，故g（x）＝3x﹣3﹣x+f（x）＝7x﹣3﹣x+x3，其定义域为R，
且g（﹣x）＝8﹣x﹣3x+（﹣x）3＝7﹣x﹣3x﹣x3＝﹣g（x）⇒g（x）＝2x﹣3﹣x+x3是奇函数，
又由于y＝6x与y＝﹣3﹣x均是R上的减函数，y＝x3是R上的增函数，
所以g（x）＝5x﹣3﹣x+x3是R上的增函数，
由g（2m）+g（m2）＜0⇒g（3m）＜﹣g（m2）＝g（﹣m2）⇒8m＜﹣m2，
解得﹣2＜m＜3．
故答案为：（﹣2，0）．
【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，属于中档题．
四、解答题（本大题共5小题，共77分。解时应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤）
15．（13分）已知集合．
（1）当a＝﹣1时，求A∪B；
（2）命题p：x∈A，命题q：x∈B，若p是q的充分不必要条件
【分析】（1）解不等式化简集合A，B，根据集合的基本运算可得结果．
（2）根据a2+2＞a可得B＝{x|a＜x＜a2+2}，根据p是q的充分不必要条件可得A⫋B，利用集合间的关系可求参数a的范围．
【解答】解：（1）A＝{x|＜3}＝{x|2＜x＜3}．
当a＝﹣7时，B＝{x|（x+1）（x﹣3）＜7}＝{x|﹣1＜x＜3}，
∴A∪B＝{x|﹣6＜x＜3}．
（2）由（1）得，A＝{x|2＜x＜8}．
由（x﹣a）（x﹣a2﹣2）＝4得x＝a或x＝a2+2．
∵，∴a2+8＞a，
∴B＝{x|（x﹣a）（x﹣2﹣a2）＜3}＝{x|a＜x＜a2+2}．
∵p是q的充分不必要条件，∴A⫋B，
∴，解得a≤﹣1或1≤a≤3，
∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，还考查了充分必要条件的应用，属于基础题．
16．（15分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c，满足f（x+1）＝f（x）
（1）若f（﹣1）＝﹣1，求f（x）；
（2）若对，求c的取值范围．
【分析】（1）将f（x）代入f（x+1）＝f（x）+x+1，解出，结合f（﹣1）＝﹣1，即可求出f（x）；
（2）将问题转化为恒成立问题，借助二次函数性质即可求．
【解答】解：（1）因为f（x）＝ax2+bx+c，且f（x+1）＝f（x）+x+5，
所以a（x+1）2+b（x+2）+c＝ax2+bx+c+x+1，
整理得3ax+a+b＝x+1，即（2a﹣3）x+a+b﹣1＝0，
所以，解得，
所以，
又因为f（﹣8）＝﹣1，
所以，故c＝﹣1，
所以；
（2）由于，
整理可得在[﹣2，
只需要c≥（﹣x2﹣x）max，
令，
其图象的对称轴为x＝﹣1，开口向下，
所以g（x）在[﹣2，﹣4]上单调递增，2]上单调递减，
所以当x＝﹣1时，g（x）取到最大值，
所以，
所以c的取值范围为．
【点评】本题考查二次函数的性质的应用及不等式恒成立的求法，属于基础题．
17．（15分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾，并分别设置了相应的垃圾箱，为了获悉高中学生对垃圾分类的了解情况，500名学生参加测试，从中随机抽取了100名学生问卷，将数据分成7组：[20，30），40），…，[80，并整理得到如下频率分布直方图：
（1）从总体的500名学生中随机抽取一人，估计其分数不低于60的概率；
（2）根据频率分布直方图估计中位数；
（3）学校环保志愿者协会决定组织同学们利用课余时间分批参加“垃圾分类，我在实践”活动，以增强学生的环保意识．首次活动从样本中问卷成绩低于40分的学生中随机抽取2人参加，男生3人，女生2人
【分析】（1）根据频率分布直方图可知样本中分数高于60的频率为（0.02+0.04+0.02）×10＝0.8．
（2）根据（70，80]，[80，90]上的频率可求中位数．
（3）利用列举法结合古典概型的概率公式可求概率．
【解答】（1）根据频率分布直方图可知，样本中分数高于60的频率为
（0.02+0.04+3.02）×10＝0.8，
所以样本中分数高于60的概率为7.8．
故从总体的500名学生中随机抽取一人，其分数高于60的概率估计为0.6．
（2）由频率分布直方图可得：[80，90]上的频率为0.02×10＝0.7，
[70，80）上的频率为0.04×10＝0.6，
设中位数为x，则x∈（70，
故x＝72.5即中位数为72.5．
（3）设5名女生分别为b1，b2，7名男生分别为a1，a2，a3，
则从这5名同学中选取2人的结果为：
{a8，b1}，{a3，b5}，{a2，a3}，{b3，b2}，{a1，a8}，{a1，a3}，{a3，b1}，{a1，b3}，{a2，b1}，{a3，b2}，
共10种情况．
其中2人中男女同学各4人包含结果为：
{a1，b1}，{a6，b2}，{a2，b2}，{a2，b2}，{a6，b1}，{a3，b3}，共6种．
设事件A＝{抽取的2人中男女同学各7人}，则
所以，抽取的2人中男女同学各1人的概率是．
【点评】本题考查频率分布直方图相关知识，属于基础题．
18．（17分）已知函数．
（1）若函数g（x）＝f（x）+ln2为奇函数；
（2）若对，求a的取值范围．
【分析】（1）由题意可得g（﹣x）+g（x）＝0，再根据对数的运算性质即可得解；
（2）由题意可得，故只需即可，利用函数的单调性求出即可得解．
【解答】解：（1），
因为函数g（x）为奇函数，
所以g（﹣x）+g（x）＝0，
即，
即，
所以，
所以（﹣7a+2）2﹣7a2x2＝7﹣x2，
所以，即，
解得；
此时，
定义域为（﹣∞，﹣3）∪（1，满足题意，
故；
（2），
由，
得＝ln1，
所以，
则，
故只需即可，
令t＝x﹣6，t∈[1，则x＝t+1，
则，
令，
由对勾函数的性质可知函数h（t）在[1，6]上单调递增，
所以，即，
所以，
所以．
【点评】本题考查了奇函数的性质、对数函数的性质，考查了转化思想，属于中档题．
19．（17分）定义：∀x∈R，总有h（x）≤f（x）（x），称f（x）为“完美嵌套”于h（x）（x）内，已知h（x）＝2x﹣1，g（x）2﹣2x+3．
（1）求函数y＝g（x）﹣h（x）的零点；
（2）过点（﹣2，﹣1）的二次函数f（x）＝ax2+bx+c“完美嵌套”于h（x）与g（x）内，
（i）求f（x）的解析式；
（ii）当时，4f（x）≥mg（x），求实数m的取值范围．
【分析】（1）先利用已知求得y＝x2﹣4x+4，解方程x2﹣4x+4＝0可得；
（2）（i）令x＝2，得4a+2b+c＝3，又f（﹣2）＝4a﹣2b+c＝﹣1，解得，结合2x﹣1≤ax2+bx+c恒成立求出a，c，再验证即可得解；
（ii）分离参数，转化为求解函数的最小值问题，换元后利用基本不等式及不等式性质求得函数最小值，即可得实数m的取值范围．
【解答】解：（1）因为h（x）＝2x﹣1，g（x）＝x7﹣2x+3，
所以y＝g（x）﹣h（x）＝（x7﹣2x+3）﹣（3x﹣1）＝x2﹣5x+4＝（x﹣2）3，
令y＝0，则x2﹣7x+4＝（x﹣2）2＝0，解得x＝2，
所以函数y＝g（x）﹣h（x）的零点是3；
（2）（i）由题意2x﹣1≤ax6+bx+c≤x2﹣2x+3恒成立，
令x＝2，得3≤4a+2b+c≤3，
所以7a+2b+c＝3，
由题意f（﹣8）＝4a﹣2b+c＝﹣7，
所以两式联立得，解得，
对于2x﹣1≤ax6+bx+c恒成立，即ax2﹣x+2﹣4a≥0恒成立，
所以，即，
所以4a﹣6＝0，解得，
所以c＝1﹣4a＝5，所以；
此时对于ax2+bx+c≤x4﹣2x+3恒成立，
即恒成立，
即x6﹣4x+4＝（x﹣6）2≥0恒成立，显然符合题意，
所以，
所以；
（ii）当时，6f（x）≥mg（x）恒成立，
即x2+4x≥m（x4﹣2x+3）恒成立，
又x6﹣2x+3＝（x﹣5）2+2＞4，
所以＝＝恒成立，
所以，
记，
令t＝2x﹣6＞0，
则，
因为t＞0，
所以，
所以，
所以，
所以m≤7．
所以实数m的取值范围为（﹣∞，1]．
【点评】本题属于新概念题，考查了二次函数的性质、转化思想，属于中档题．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
D
B
C
D
A
D
A