山西省实验中学2024-2025学年高一上学期12月第三次月考 数学试卷

这是一份山西省实验中学2024-2025学年高一上学期12月第三次月考 数学试卷，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷（客观题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 命题“，都有”的否定为( )
A. ，使得B. ，使得
C. ，都有D. ，都有
【答案】A
解：“，都有”的否定为：，使得．
故选：．
2. 是( )
A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角
【答案】C
3. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：函数开口向上，对称轴方程为，
所以函数的单调递减区间为，
要使在区间上单调递减，则，解得．
即的范围为．
故选：．
求出函数的对称轴方程及开口方向，由题意可解得的范围．
本题考查二次函数的性质的应用，属于基础题．
4. 已知，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：，
当且仅当时，即取等号，
所以的最小值为．
故选：．
利用乘“”法即得．
本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题．
5．已知，，，则，，的大小顺序为( )
A. B. C. D.
【答案】B
解：，，，
由于幂函数在上单调递减，
故；
由于指数函数在上单调递减，
故，
故．
6. “为第二象限角”是“是第一象限角”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
解：由为第二象限角，得是第一象限角或第三象限角，不满足充分性，
当时，，不满足必要性，
则“为第二象限角”是“是第一象限角”的既不充分也不必要条件．
故选：．
7. 已知是定义在上的增函数，且满足，，当时，的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】A
解：，
；
函数是定义在上的增函数，
，，
，
，
解得：，
的取值范围是．
故选A．
8. 当时，关于的不等式的解集是，则取得最值的充分条件是( )
A. 有最大值，B. 有最小值，
C. 有最大值，D. 有最小值，
【答案】C
解：不等式的解集为，
根据韦达定理，可得：，，
那么：．
，
，
即，
当且仅当 时，取等号
由于需要选择充分条件，故只有符合条件，
故选C．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．
9. 已知幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是( )
A. 函数是偶函数B. 函数是增函数
C. 的解集为D.
【答案】BCD
解：设幂函数，
幂函数的图象经过点，
，解得，
函数，定义域为，
，
函数是奇函数，且在上单调递增，故A错误，B正确；
，即，解得，故C正确；
，故D正确．
故选：．
10. 下列命题中正确的有( )
A. 函数的图象一定过定点
B. 函数的定义域是，则函数的定义域为
C. 若，则的取值范围是
D. 若，则
【答案】ACD
解：对于选项，，令，可得，，
所以，函数的图象过定点，；
对于选项，对于函数，，则，所以，函数的定义域为，选项错误；
对于选项，当时，由，可得，此时；
当时，由，可得，此时．
综上所述，实数的取值范围是，选项正确；
对于选项，当，时，由，可得，
构造函数，则，
由于函数、在上均为减函数，
所以，函数在上为减函数，则，即，选项正确．
故选：．
11.下列关于函数的说法正确的是( )
A. 若函数有三个零点，，，且，则
B. 当时，函数为奇函数
C. 若函数的图象关于中心对称且，则只有一个零点，且
D. 当函数为奇函数时，有三个零点
【答案】AC
解：对于，若函数有三个零点，，，
则
，
所以，故A正确；
对于，当时，若，，
则，
，即函数不是奇函数，故B错误；
对于，当时，，
因为函数的图象关于中心对称，
所以恒成立，
即恒成立，
即恒成立，
所以，即，
易知在上单调递增，且，
所以只有一个零点，且，故C正确；
对于，当函数为奇函数时，
由恒成立得恒成立，
所以，即，
当时，只有一个零点，故D错误．
第II卷（主观题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 用二分法求方程在区间内的近似解，取区间中点为，那么下一个有解的区间是 ．
【答案】
13. 设函数在上满足，在上对任意实数都有成立，又，则的解是___________．
【答案】
【解析】解：因为在上满足，
所以函数为奇函数，
又在上对任意实数都有成立，
所以函数在上单调递增，
又，则有，而函数在上单调递增，
则在区间上，，在区间上，，
又由为奇函数，则在区间上，，在区间上，，
而或，则有或，
即不等式的解集为．
故答案为：．
根据题意，分析函数的奇偶性和单调性，结合可得和的解集，又由或，分析可得答案．
本题考查抽象函数的性质，涉及函数的奇偶性、单调性的综合应用，属于基础题．
14. 设函数，若方程有个不同的实数解，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】解：由题设，函数的图象如下图示，
令，要使原方程有个不同的实数解，则有两个不同实根，且，
故由图知：，即的两个零点在区间内，
而开口向上，故，可得．
画出草图，根据已知，令，数形结合判断的零点分布区间，再由二次函数性质列不等式组求参数范围．
本题主要考查函数的零点与转化能力，考查数形结合思想的应用，考查计算能力，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）计算：
；
若，求的值．
【答案】解：原式．
，
，
．
16．（15分）已知集合．
当时，求；
若，求实数的取值范围．
【答案】解：由题意：，则或，
时，，所以．
若时，则．
当时，则，解得；
当时，则解得．
综上所述：的取值范围是．
17.（15分）已知函数为奇函数．
求实数的值及函数的值域；
若不等式对任意都成立，求实数的取值范围．
【答案】解：函数为奇函数，可得，
即，
可得，
化为，
解得；
由，
因为，所以，则，
所以，
所以的值域为；
不等式对任意都成立，
即为，
因为，所以，则对恒成立．
由，可得，，则，
所以，即的取值范围是．
18．（17分）随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从
心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前年平台会员的个数如下表所示其中第年为预估人数，仅供参考：
依据表中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数千人，并求出你选择模型的解析式：，，；
根据第问选择的函数模型，预计平台建立多少年后会员个数将超过千人参考数据：，，．
【答案】解：从表格数据可以得知，函数是一个增函数，故不可能是，
又因为数据增长的速度越来越快，而函数增长速度越来越慢，故不可能是，
选择
代入表格中的前三个点可得：解得：
，
由可知：，
则
所以，预计平台建立年后会员数超过千人。
19. 若函数在上的最大值记为，最小值记为，且满足，则称函数是在上的“美好函数”．
函数；；，其中函数_____是在上的“美好函数”；填序号
已知函数：．
函数是在上的“美好函数”，求的值；
当时，函数是在上的“美好函数”，请直接写出的值；
已知函数：，若函数是在为整数上的“美好函数”，且存在整数，使得，求的值．
【答案】解：对于，
当时，，当时，，
，符合题意；
对于，
当时，，当时，，
，不符合题意；
对于，
当时，，当时，，
，不符合题意；
故答案为：；
二次函数：对称轴为直线，
当时，，当时，，
当时，则当时，随的增大而增大，
，
，
当时，则当时，随的增大而减小，
，
，
综上所述，或；
二次函数：为，对称轴为直线，
当，，
当时，，
当时，．
若，则，解得舍去；
若，则，解得舍去，；
若，则，解得，舍去；
若，则，解得舍去．
综上所述，或；
由可知，二次函数：对称轴为直线，
又，
，
，
当时，随的增大而增大，
当时取得最大值，时取得最小值，

，为整数，且，
，即的值为，
又，
，
． 建立平台第年
会员个数千人