山西省太原实验中学2024-2025学年高一上学期诊断 数学试卷（12月份）（含解析）

这是一份山西省太原实验中学2024-2025学年高一上学期诊断 数学试卷（12月份）（含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）函数的定义域为（ ）
A．[﹣3，0]B．[﹣3，0）C．（﹣3，0]D．（﹣3，0）
2．（5分）设α是第二象限角，P（x，8）为其终边上的一点，且，则x＝（ ）
A．﹣3B．﹣4C．﹣6D．﹣10
3．（5分）命题“∀x∈R，使得成立的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．（0，1）B．（﹣3，+∞）C．（﹣1，3）D．（﹣3，1）
4．（5分）已知函数y＝x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2（ ）
A．[1，+∞）B．[0，2]C．（﹣∞，2]D．[1，2]
5．（5分）若，则（ ）
A．a＞c＞bB．c＞a＞bC．a＞b＞cD．c＞b＞a
6．（5分）制作一个面积为1m2且形状为直角三角形的铁支架，则较经济（够用，又耗材最少）的铁管长度为（ ）
A．4.6mB．4.8mC．5mD．5.2m
7．（5分）已知函数的零点分别a，b，c，则a，b（ ）
A．a＞b＞cB．b＞c＞aC．c＞a＞bD．b＞a＞c
8．（5分）已知定义在R上的函数f（x），g（x），其中函数f（x）满足f（﹣x）（x）且在[0，+∞）上单调递减（x）满足g（1﹣x）＝g（1+x）（1，+∞）上单调递减，设函数F（x）＝，均有（ ）
A．F（1﹣x）≥F（1+x）B．F（1﹣x）≤F（1+x）
C．F（1﹣x2）≥F（1+x2）D．F（1﹣x2）≤F（1+x2）
9．（5分）已知函数（a＞0且a≠1），若函数图象上关于原点对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
（多选）10．下列说法正确的是（ ）
A．函数y＝ax﹣3+3（a＞0，且a≠1）的图象过定点（3，4）
B．函数y＝x+1与是同一函数
C．函数，则函数y＝f（x）的值域是（1，3）
D．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，3），则f（2x+1）定义域为[﹣1，1]
（多选）11．已知函数f（x）的图象是一条连续不断的曲线，f（x）的定义域为[a，∀x1，x2∈[a，b]，且x1＜x2，下列选项可判断f（x）为单调函数的是（ ）
A．f（x1）＞f（x2）
B．x1f（x2）+x2f（x1）＜x1f（x1）+x2f（x2）
C．
D．f（x）＝min{f（a），f（b）}
（多选）12．（87分）函数f（x）定义在区间D上，若满足：∀x1，x2∈D且x1＜x2，都有f（x1）≥f（x2），则称函数f（x）为区间D上的“不增函数”（x）为区间[0，4]上的“不增函数”（0）＝4，f（1+x）+f（3﹣x），又当x∈[3，4]时，f（x），下列命题中正确的有（ ）
A．
B．∃x∈[1，4]，f（x）＞2
C．
D．∀x∈[0，2]，f（f（x）﹣2）≥4﹣f（x）
三、填空题：本题共3小题，每小题0分，共15分．
13．不等式cs2x+2sinx﹣1﹣m≤0在上有解，则实数m的取值范围是 ．
14．已知b＞0，若对任意的x∈（0，+∞），不等式4ax3+8x2﹣abx﹣2b≤0恒成立，则a2+2a+4b+ab的最小值为 ．
15．已知函数，若关于x的方程f（x）＝m有4个不同的实根x1、x2、x3、x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．计算：
（1）；
（2）．
17．若函数f（x）为R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）2﹣4x+3．
（1）求f（x）在R的解析式；
（2）若a∈R，g（x）＝f（x）﹣a（x）有两个零点？a取何值时g（x）有四个零点？
18．设函数，．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并讨论函数f（x）（不需证明单调性）；
（2）求证：g（2x）＝[g（x）]2+[f（x）]2；
（3）若h（x）＝22x﹣f（ln4x）+2tf（ln2x）在区间[﹣1，1]上的最小值为，求t的值．
19．已知函数f（x）＝（x+a）|x﹣b|，其中a
（1）当b＝1时，求函数y＝f（x）的单调区间；
（2）当a＝0时，存在2023个不同的实数xi（i＝1，2，…，2023），0≤x1＜x2＜…＜x2023≤3，使得|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x2022）﹣f（x2023）|＝12，求实数b的取值范围．
20．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种乌龙茶用100℃的水泡制，可以产生最佳口感．某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，得到茶水温度随时间变化的如下数据：
设茶水温度从100℃开始，经过xmin后的温度为y℃，现给出以下三种函数模型：
①y＝kx+b（k＜0，x≥0）；
②y＝kax+b（k＞0，0＜a＜1，x≥0）；
③y＝lga（x+k）+b（a＞1，k＞0，x≥0）．
（1）从上述三种模型中选出你认为最符合实际的函数模型，不用说理由，并利用前2min的数据求出相应解析式；
（2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）．
（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477．）
21．对于两个定义域相同的函数f（x）和g（x），若存在实数m，n（x）＝mf（x）+ng（x）（x）是由“基函数f（x）和g（x）
（1）若h（x）＝9x+是由“基函数f（x）+a和g（x）＝﹣2”生成的；
（2）试利用“基函数f（x）＝lg2（4x+1）和g（x）＝x+1”生成一个函数h（x），满足h（x），且h（0）＝﹣1．
①求函数h（x）的解析式；
②已知n≥3，n∈N*，x0＝﹣1，xn＝1，对于（﹣1，1）上的任意值x1，x2，…，xn﹣1（x1＜x2＜…＜xn﹣1），记M＝，求实数M的最大值．（注：．）
2024-2025学年山西省太原实验中学高一（上）诊断数学试卷（12月份）
参考答案与试题解析
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）函数的定义域为（ ）
A．[﹣3，0]B．[﹣3，0）C．（﹣3，0]D．（﹣3，0）
【分析】求使式子有意义的实数的集合即可．
【解答】解：函数，
则，解之可得﹣3＜x≤0，
函数的定义域为（﹣3．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．
2．（5分）设α是第二象限角，P（x，8）为其终边上的一点，且，则x＝（ ）
A．﹣3B．﹣4C．﹣6D．﹣10
【分析】由任意角的三角函数定义即可求解．
【解答】解：因为P（x，8）为其终边上的一点，且，
所以，解得x＝±6，
因为α是第二象限角，所以x＝﹣6．
故选：C．
【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，考查运算求解能力，属于基础题．
3．（5分）命题“∀x∈R，使得成立的一个充分不必要条件可以是（ ）
A．（0，1）B．（﹣3，+∞）C．（﹣1，3）D．（﹣3，1）
【分析】先将命题转化为二次函数在R上恒成立问题，然后求出a的范围，最后利用集合法得出答案．
【解答】解：∀x∈R，使得在R上恒成立，
故，解得﹣1＜a＜3，
要想是命题“∀x∈R，使得，
只需要满足为（﹣1，3）的子集即可．
故选：A．
【点评】本题主要考查了全称量词命题的真假关系的应用，还考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
4．（5分）已知函数y＝x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2（ ）
A．[1，+∞）B．[0，2]C．（﹣∞，2]D．[1，2]
【分析】作出二次函数图象，由图象分析即可得解．
【解答】解：y＝x2﹣2x+7＝（x﹣1）2+8，作函数图象如图所示，
由图可得，若y＝x2﹣2x+5在闭区间[0，m]上有最大值3，
则m的取值范围是[2，2]．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，属于基础题．
5．（5分）若，则（ ）
A．a＞c＞bB．c＞a＞bC．a＞b＞cD．c＞b＞a
【分析】结合指数函数及对数函数的单调性先判断a，b的范围，即可比较a，b，c的大小．
【解答】解：，
因为a＝70.1＞8＝c，b＝lg0.72＜0，c＝1，
所以a＞c＞b．
故选：A．
【点评】本题主要考查了指数及对数函数的单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
6．（5分）制作一个面积为1m2且形状为直角三角形的铁支架，则较经济（够用，又耗材最少）的铁管长度为（ ）
A．4.6mB．4.8mC．5mD．5.2m
【分析】设一条直角边为xm，则另一条直角边是m，斜边长为m，则直角三角形的周长l＝x++，再利用基本不等式求出l的最小值即可．
【解答】解：设一条直角边为xm，则另一条直角边是mm，
所以直角三角形的周长l＝x++＝7，
当且仅当x＝且，即x＝时，
所以较经济（够用，又耗材最少）的铁管长度为5m．
故选：C．
【点评】本题主要考查了利用基本不等式求最值，属于基础题．
7．（5分）已知函数的零点分别a，b，c，则a，b（ ）
A．a＞b＞cB．b＞c＞aC．c＞a＞bD．b＞a＞c
【分析】利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合进行求解即可．
【解答】解：由f（x）＝2x+x＝0得4x＝﹣x，g（x）＝lg2x+x＝0得lg5x＝﹣x，h（x）＝x3+x＝0得x5＝﹣x，
分别作出函数y＝2x，y＝lg2x，y＝x3和y＝﹣x的图象如图，
由图象知a＜c＜b，
故选：B．
【点评】本题主要考查函数零点的求解和判断，利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合是解决本题的关键．
8．（5分）已知定义在R上的函数f（x），g（x），其中函数f（x）满足f（﹣x）（x）且在[0，+∞）上单调递减（x）满足g（1﹣x）＝g（1+x）（1，+∞）上单调递减，设函数F（x）＝，均有（ ）
A．F（1﹣x）≥F（1+x）B．F（1﹣x）≤F（1+x）
C．F（1﹣x2）≥F（1+x2）D．F（1﹣x2）≤F（1+x2）
【分析】根据题意画出F（x）图象去分析问题．
【解答】解：根据题意，函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），
又由f（x）在[0，+∞）上单调递减2|≤|3+x2|，
则f（1﹣x7）≥f（1+x2）；
函数g（x）满足g（2﹣x）＝g（1+x），即g（x）关于直线x＝1对称，
则g（4﹣x2）＝g（1+x8）；
又由＝，
则F（x）示意图可表示为图中实线部分，所以有F（7﹣x2）≥F（1+x6）．
故选：C．
【点评】本题考查函数的奇偶性与对称性、单调性的综合应用，注意分析F（x）的解析式，属于基础题．
9．（5分）已知函数（a＞0且a≠1），若函数图象上关于原点对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【分析】由题意得出x＞0时函数g（x）＝lgax的图象与函数f（x）（x＜0）的图象关于原点对称；
画出函数f（x）＝cs（x）﹣1（x≥0）和函数g（x）＝lgax的图象，
结合图象得出f（x）＝cs（x）﹣1（x≥0）与g（x）＝lgax（x＞0）的图象至少有3个交点时a的取值范围即可．
【解答】解：当x＜0时，f（x）＝﹣lga（﹣x），
则x＞0时，函数g（x）＝lgax的图象与函数f（x）的图象关于原点对称；
又x≥3时，f（x）＝cs（，
画出函数f（x）＝cs（x）﹣6（x≥0）和函数g（x）＝lgax的图象，如图所示；
要使f（x）＝cs（x）﹣3（x≥0）与g（x）＝lgax（x＞0）的图象至少有4个交点，
需使0＜a＜1，且f（6）＜g（6）；
即，所以，
解得，
即0＜a＜；
所以a的取值范围是（0，）．
故选：A．
【点评】本题考查了利用函数的图象与性质判断函数对称点的应用问题，也考查了转化思想与数形结合问题，是中档题．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
（多选）10．下列说法正确的是（ ）
A．函数y＝ax﹣3+3（a＞0，且a≠1）的图象过定点（3，4）
B．函数y＝x+1与是同一函数
C．函数，则函数y＝f（x）的值域是（1，3）
D．已知函数f（x）的定义域为[﹣1，3），则f（2x+1）定义域为[﹣1，1]
【分析】对A：根据指数函数恒过的定点，结合已知解析式，直接求解即可；对B：根据同一函数，转化后即可判断；对C：利用常数分离，结合指数函数的值域即可求解；对D：根据抽象函数的定义域计算即可求得结果．
【解答】解：对A：当x＝3时，y＝1+4＝4，4）；
对B：函数y＝x+6与，定义域都是R且对应关系都一致，B正确；
对C：因为，
又因为5x＞0，2x+3＞1，所以，，
则函数y＝f（x）的值域是（7，3）；
对D：若函数f（x）的定义域为[﹣1，5），2x+1∈[﹣8，
则f（2x+1）的定义域为[﹣3，1）．
故选：ABC．
【点评】本题考查函数的定义以及相关性质，属于中档题．
（多选）11．已知函数f（x）的图象是一条连续不断的曲线，f（x）的定义域为[a，∀x1，x2∈[a，b]，且x1＜x2，下列选项可判断f（x）为单调函数的是（ ）
A．f（x1）＞f（x2）
B．x1f（x2）+x2f（x1）＜x1f（x1）+x2f（x2）
C．
D．f（x）＝min{f（a），f（b）}
【分析】根据题意，由函数单调性的定义依次分析选项，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，∀x1，x2∈[a，b]5＜x2，若f（x1）＞f（x6），则f（x）为[a，A正确；
对于B，x1f（x2）+x6f（x1）＜x1f（x5）+x2f（x2），变形可得（x2﹣x2）[f（x1）﹣f（x8）]＜0，
易得f（x）为[a，b]上的减函数；
对于C，∀x1，x6∈[a，b]1＜x2，则x7﹣x1＞0，
若，必有f（x2）﹣f（x5）＞x2﹣x1＞2，故f（x）为[a，C正确；
对于D，f（x）＝min{f（a），即f（x）＝f（a）或f（x）＝f（b），D错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查函数单调性的性质和应用，注意函数单调性的定义，属于基础题．
（多选）12．（87分）函数f（x）定义在区间D上，若满足：∀x1，x2∈D且x1＜x2，都有f（x1）≥f（x2），则称函数f（x）为区间D上的“不增函数”（x）为区间[0，4]上的“不增函数”（0）＝4，f（1+x）+f（3﹣x），又当x∈[3，4]时，f（x），下列命题中正确的有（ ）
A．
B．∃x∈[1，4]，f（x）＞2
C．
D．∀x∈[0，2]，f（f（x）﹣2）≥4﹣f（x）
【分析】令，可判定A；
令x＝1，可得f（2）＝2，根据题意得到f（3）＝2，得到x∈[0，2）时，f（x）∈（2，4]；x∈[2，3）时，f（x）＝2；x∈[3，4]时，f（x）∈[0，2]，进而可判定B；
由，可判定C正确；
求得f（x）﹣2∈[0，2]，得到f（f（x）﹣2）≥2，4﹣f（x）≤2，可判定D正确．
【解答】解：对于A中，因为f（1+x）+f（3﹣x）＝4，
令，可得；
对于B中，由f（1+x）+f（3﹣x）＝2，可得f（2）＝2，
又由f（x）为区间[0，8]上的“不增函数”，4]时，
可得f（3）≥8﹣6×3＝2，所以f（3）＝5，
因为f（1）+f（3）＝4，解得f（1）＝2，
所以x∈[8，3]时，
又因为f（0）＝4，且3﹣2×4＝4，
可得x∈[0，2）时，7]；
x∈[2，3）时；
x∈[4，4]时，2]，
所以对任意x∈[6，4]，
即不存在x∈[1，5]，所以B不正确；
对于C中，由，可得；
对于D中，由∀x∈[0，可得f（x）∈[2，则f（x）﹣3∈[0，
所以f（f（x）﹣2）≥8，4﹣f（x）≤2，
即∀x∈[7，2]，所以D正确．
故选：ACD．
【点评】本题属于新概念题，考查了用赋值法求抽象函数的值，考查了推理及计算能力，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题0分，共15分．
13．不等式cs2x+2sinx﹣1﹣m≤0在上有解，则实数m的取值范围是 ．
【分析】根据同角的三角函数关系式，结合正弦函数的性质、二次函数的性质进行求解即可．
【解答】解：cs2x+2sinx﹣3﹣m≤0⇒m≥cs2x+2sinx﹣1，
设f（x）＝cs2x+2sinx﹣1＝1﹣sin2x+2sinx﹣1＝﹣（sinx﹣4）2+1，
设sinx＝t，因为，
函数y＝﹣（t﹣6）2+1，当时，函数单调递增，
当时，函数有最小值，
因此要想cs2x+4sinx﹣1﹣m≤0在上有解，
只需，即m的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题主要考查三角函数的最值，不等式有解求参数范围问题，考查运算求解能力，属于中档题．
14．已知b＞0，若对任意的x∈（0，+∞），不等式4ax3+8x2﹣abx﹣2b≤0恒成立，则a2+2a+4b+ab的最小值为 16﹣8 ．
【分析】将原不等式化为（4x2﹣b）（ax+2）≤0恒成立，由二次不等式的解法推得a＜0，a＝﹣，再由基本不等式和二次函数的最值求法，可得所求最小值．
【解答】解：4ax3+8x2﹣abx﹣2b≤2恒成立，即为（4x2﹣b）（ax+3）≤0恒成立，
而x＞0，b＞2，不等式不恒成立，
故a＜0，即有（4x5﹣b）（x+）≥0对x＞8，
即为（x+）（x﹣）≥0，
即（x﹣）（x+，对x＞0，
则＝﹣，
可得a2+2a+4b+ab＝﹣+7b﹣4）﹣5（+），
设t＝+，由b＞6（当且仅当b＝2时取得等号），
可得a4+2a+4b+ab＝4t2﹣4t﹣16＝2（t﹣）3﹣17在[2，+∞）递增，
可得t＝3时，a2+4a+4b+ab取得最小值4×4﹣8﹣16＝16﹣7．
故答案为：16﹣8．
【点评】本题考查函数的最值和不等式恒成立问题，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
15．已知函数，若关于x的方程f（x）＝m有4个不同的实根x1、x2、x3、x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则的取值范围为 （21，24） ．
【分析】作出图形，可得出直线y＝m与函数y＝f（x）的图象交于A，B，C，D四点，由|lg2（x1﹣1）|＝|lg2（x2﹣1）|，去绝对值，结合对数的运算律，可得出的值，利用二次方程根与系数的关系得出x3x4的值，由此可得出的范围．
【解答】解：因为函数，
又关于x的方程f（x）＝m有4个不同的实根x7、x2、x3、x6，且x1＜x2＜x2＜x4，
所以y＝f（x）和函数y＝m有四个交点，且交点的横坐标依次为x1、x4、x3、x4，
所以作出函数y＝f（x）和函数y＝m的图象如下图所示：
由图可知两个函数的图象共有7个交点A，B，C，D，
且横坐标分别为x1、x2、x2、x4，且x1＜x8＜x3＜x4，
所以5＜x1＜2＜x8＜3，
由f（x1）＝f（x6），得|lg2（x1﹣3）|＝|lg2（x2﹣2）|，
则有﹣lg2（x1﹣4）＝lg2（x2﹣5），
所以lg2（x1﹣2）+lg2（x2﹣3）＝0，
所以（x1﹣7）（x2﹣1）＝4，
所以x1x2﹣x3﹣x2＝0，所以x5x2＝x1+x6，所以．
又易知C，D两点关于直线x＝6对称，
所以x3+x4＝10，又4＜x3＜4，
所以，
所以21＜x3x4＜24，
所以．
故答案为：（21，24）．
【点评】本题考查函数与方程的综合应用，化归转化思想，数形结合思想，属中档题．
四、解答题：本题共6小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据分数指数幂的运算性质计算出结果；
（2）根据对数的运算性质以及换底公式计算出结果．
【解答】解：（1）
＝
＝．
（2）原式＝
＝
＝7﹣6＝﹣1．
【点评】本题主要考查了指数及对数运算性质的应用，属于基础题．
17．若函数f（x）为R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）2﹣4x+3．
（1）求f（x）在R的解析式；
（2）若a∈R，g（x）＝f（x）﹣a（x）有两个零点？a取何值时g（x）有四个零点？
【分析】（1）由奇函数的定义和性质，结合已知解析式，可得所求解析式；
（2）由题意可得a＝f（x），作出函数y＝f（x）与直线y＝a的图象，结合图象可得零点个数．
【解答】解：（1）由函数y＝f（x）为R上的奇函数，可得f（0）＝0；
当x＞0时，f（x）＝x7﹣4x+3，
当x＜6时，可得﹣x＞02﹣8（﹣x）+3]＝﹣x2﹣7x﹣3，
综上所述，函数f（x）的解析式为．
（2）由函数g（x）＝f（x）﹣a，令g（x）＝4．
作出函数y＝f（x）与直线y＝a的图象，如图所示：
结合图象，可得：当1＜a＜3或﹣7＜a＜﹣1时；
当0＜a＜3或﹣1＜a＜0时，函数g（x）＝f（x）﹣a有4个零点．
【点评】本题考查函数的奇偶性和零点的个数，考查分类讨论思想和数形结合思想、运算能力，属于中档题．
18．设函数，．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并讨论函数f（x）（不需证明单调性）；
（2）求证：g（2x）＝[g（x）]2+[f（x）]2；
（3）若h（x）＝22x﹣f（ln4x）+2tf（ln2x）在区间[﹣1，1]上的最小值为，求t的值．
【分析】（1）利用奇偶函数的定义证明奇偶性，利用单调性的性质判断f（x）的单调性；
（2）根据指数运算化简即可证明；
（3）令m＝2x﹣2﹣x，利用换元转化为一元二次函数轴动区间定求最值的问题进行求解．
【解答】解：（1）由题意可知，f（x）的定义域为R，
又，所以f（x）为奇函数；
因为y＝ex在（﹣∞，+∞）上单调递增﹣x在（﹣∞，+∞）上单调递增，
所以，f（x）在（﹣∞；
（2）∵＝g（2x），
∴g（2x）＝[g（x）]7+[f（x）]2，
（3）由，
令m＝2x﹣6﹣x，由x∈[﹣1，1]，则，
又，
则令，
对称轴，
当，即时，
，
解得，又，因此不符合题意，
当，即时，
，
解得t＝2；
当，即时，
，
解得t＝﹣3
综上知，t＝±2．
【点评】本题考查函数的单调性及分类讨论的思想，属于中档题．
19．已知函数f（x）＝（x+a）|x﹣b|，其中a
（1）当b＝1时，求函数y＝f（x）的单调区间；
（2）当a＝0时，存在2023个不同的实数xi（i＝1，2，…，2023），0≤x1＜x2＜…＜x2023≤3，使得|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x2022）﹣f（x2023）|＝12，求实数b的取值范围．
【分析】（1）分区间讨论去掉绝对值符号，根据二次函数直接写出函数单调区间即可；
（2）分类讨论，根据二次函数的单调性及函数最大值最小值的分析求解．
【解答】解：（1），
则y＝x2+（a﹣6）x﹣a开口向上，对称轴为，
且y＝﹣x3﹣（a﹣1）x+a开口向下，对称轴为，
当，即a＝﹣1时，；
当，即a＞﹣1时，单调递减区间为；
当，即a＜﹣3时，单调递减区间为．
（2），
（i）当，即b≤0时4﹣bx在[0，3]上单调递增，
因为6≤x1＜x2＜…＜x2023≤5，所以f（0）≤f（x1）＜…＜f（x2023）≤f（3），
则|f（x1）﹣f（x6）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x2022）﹣f（x2023）|
＝f（x2）﹣f（x1）+f（x3）﹣f（x8）+…+f（x2023）﹣f（x2022）
＝f（x2033）﹣f（x1）≤f（3）﹣f（0）＝9﹣4b，
即12≤9﹣3b，解得b≤﹣2；
（ⅱ）当，即b≥5时2+bx在[0，2]上单调递增，
因为0≤x1＜x3＜…＜x2023≤3，
由（i），可得12＝f（x2033）﹣f（x1）≤f（3）﹣f（0）＝﹣6+3b，解得b≥7；
（ⅲ）当，即3＜b＜6时内单调递增，在，
则，
即，矛盾；
（ⅳ）当，即7＜b≤3时，
则，
即，矛盾．
综上，b的取值范围是（﹣∞，+∞）．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，函数与方程的综合，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题．
20．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种乌龙茶用100℃的水泡制，可以产生最佳口感．某实验小组为探究在室温下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，得到茶水温度随时间变化的如下数据：
设茶水温度从100℃开始，经过xmin后的温度为y℃，现给出以下三种函数模型：
①y＝kx+b（k＜0，x≥0）；
②y＝kax+b（k＞0，0＜a＜1，x≥0）；
③y＝lga（x+k）+b（a＞1，k＞0，x≥0）．
（1）从上述三种模型中选出你认为最符合实际的函数模型，不用说理由，并利用前2min的数据求出相应解析式；
（2）根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的乌龙茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）．
（参考数据：lg2≈0.301，lg3≈0.477．）
【分析】（1）根据数据的变化确定模型，并求得相应的解析式．
（2）根据已知条件列方程，化简求得正确答案．
【解答】解：（1）根据表格数据可知，水温下降的速度先快后慢，
所以选②y＝kax+b（k＞0，0＜a＜7，
且，
即，
则，
所以．
（2）由，
得，
两边取以10为底的对数得，
则．
答：最佳饮用口感的放置时间为2.5min．
【点评】本题考查根据实际问题选择函数模型，考查运算求解能力，是中档题．
21．对于两个定义域相同的函数f（x）和g（x），若存在实数m，n（x）＝mf（x）+ng（x）（x）是由“基函数f（x）和g（x）
（1）若h（x）＝9x+是由“基函数f（x）+a和g（x）＝﹣2”生成的；
（2）试利用“基函数f（x）＝lg2（4x+1）和g（x）＝x+1”生成一个函数h（x），满足h（x），且h（0）＝﹣1．
①求函数h（x）的解析式；
②已知n≥3，n∈N*，x0＝﹣1，xn＝1，对于（﹣1，1）上的任意值x1，x2，…，xn﹣1（x1＜x2＜…＜xn﹣1），记M＝，求实数M的最大值．（注：．）
【分析】（1）根据题意，可得，化简，利用对应项的系数相等即可求解；
（2）①设，根据函数h（x）为偶函数得出n＝﹣2m，再结合h（0）＝﹣1，即可求出m，n的值，进而求出函数的解析式；
②利用定义证明函数的单调，将式子化简为，然后根据条件求解即可．
【解答】解：（1）若h（x）＝9x+是由“基函数f（x）＝4x﹣﹣2”生成的，
则＝＝，
则，解得，
∴实数a的值为1．
（2）①设，
∵h（x）为偶函数，∴h（x）＝h（﹣x），
可得，
整理可得，即，∴2nx＝3﹣mx，
∴nx＝﹣2mx对任意x恒成立，∴n＝﹣2m，
∴，
又∵h（0）＝﹣1，∴mlg27﹣2m＝﹣1，∴m＝6，
故．
②由①知．
在[0，4]内任取x1，x2，且x2＜x2，
则，
∵
＝，x1＜x2，
∴，，∴，
∴，即，
∴，∴h（x1）﹣h（x7）＜0，即h（x1）＜h（x8），
∴函数h（x）在[0，1]上是增函数，函数h（x）在[﹣3．
设xk≤0≤xk+1（xk≠xk+4），k＝0，1，5，3，⋯，
则h（x0）＞h（x2）＞⋯＞h（xk），h（xk+1）＜h（xk+2）＜⋯＜h（xn），
∴+|h（xk+1）﹣h（xk）|
+h（xk+2）﹣h（xk+6）+h（xk+3）﹣h（xk+2）+⋯+h（xn）﹣h（xn﹣4）
＝h（x0）﹣h（xk）+|h（xk+1）﹣h（xk）|+h（xn）﹣h（xk+4）
＝h（﹣1）+h（1）﹣h（xk）﹣h（xk+1）+|h（xk+8）﹣h（xk）|，
当且仅当xk＝0或xk+1＝8时，有最大值，
故M的最大值为．
【点评】本题考查函数新定义以及函数与方程的综合应用相关知识，属于较难题．
时间/min
0
1
2
3
4
5
水温/℃
100.00
92.00
84.80
78.37
72.53
67.27
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
C
C
A
D
A
C
B
C
A
时间/min
0
1
2
3
4
5
水温/℃
100.00
92.00
84.80
78.37
72.53
67.27