四川省川南川东北地区名校2024-2025学年高一上学期期末 数学试卷（含解析）

这是一份四川省川南川东北地区名校2024-2025学年高一上学期期末 数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知集合A＝{﹣1，1，2，4}，集合（ ）
A．{﹣1，2}B．{1，2}C．{1，2，4}D．{﹣1，4}
2．（5分）已知a＞b＞0，则下列说法错误的是（ ）
A．B．|a|＞|b|C．a2＞b2D．
3．（5分）命题“∀x∈R，ex＞0”的否定是（ ）
A．∀x∈R，ex≤0B．∃x∈R，ex≤0C．∃x∈R，ex＞0D．∀x∈R，ex＜0
4．（5分）已知点P（x，y）是角α终边上除原点外任意一点，，则＝（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）下列图象可能为幂函数图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（5分）函数的定义域为（ ）
A．（﹣∞，1）∪（2，4）B．（2，4）
C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（1，2）
7．（5分）某市交通管理部门通过大量数据统计发现，某路段的车流量f（v）（单位：千辆/小时）与车速v（单位：公里/小时），为保障最大车流量，应建议车速v为（ ）
A．50B．60C．70D．80
8．（5分）已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣1，0]B．[﹣1，0）C．[﹣1，0]∪{1}D．（﹣1，0）∪{1}
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知函数f（x）＝lga|x﹣3|+1（a＞0，且a≠1）的图象经过定点A，且点A在角θ的终边上（ ）
A．B．C．D．
（多选）10．（6分）已知函数f（x）＝lg（7﹣x）+lg（x﹣3）（ ）
A．f（x）的定义域为（3，7）
B．f（x）在定义域内单调递减
C．f（x）的最大值为2lg2
D．f（x）的图象关于直线x＝5对称
（多选）11．（6分）下列说法正确的是（ ）
A．若x2﹣2x≤0是x≥a的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（﹣∞，2]
B．设a＞0，b＞0，则lg2a＞lg2b＞0是a＞b＞1的充要条件
C．已知，则对任意实数a，b，f（a）+f（b）≥0是a+b≥0的充要条件
D．如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]＝3，[0.6]＝0，[﹣1.6]＝﹣2，则[x]＝[y]是|x﹣y|＜1的必要不充分条件
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）在边长为的正三角形中裁剪一个面积最大的扇形，则这个扇形的面积为 ．
13．（5分）若正实数a，b满足，则a+2b的最小值为 ．
14．（5分）下列命题：
①函数的单调递增区间为（2，+∞）；
②将函数y＝lg2x的图象先关于x轴对称，再将其图象向左平移1个单位后的函数解析式为；
③将函数y＝lnx的图象先关于y＝x对称，再将其图象关于y轴对称后的函数解析式为；
④若函数的值域为R，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．
其中正确的序号为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。
15．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}．
（1）当m＝2时，求A∪B；
（2）若A∩B＝B，求实数m的取值范围．
16．已知实数a满足．
（1）求实数a的取值范围；
（2）解关于x的不等式x2+x＜ax+a．
17．已知指数函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）的图象经过点（2，4）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数是奇函数，
①求实数m的值；
②判断并用定义法证明函数g（x）的单调性．
18．猴痘是由猴痘病毒所致的一种人畜共患病，既往猴痘疫情主要在非洲地区流行，2022年后逐渐扩散至全球大多数国家和地区，全球已经有121个国家报告了猴痘病例103048例，其中死亡229例.2024年8月，假设猴痘病毒在特定环境下具有下表传染规律：每隔单位时间数进行一次记录，用x（x∈N*）表示经过的单位时间数，用y表示猴痘感染人数．
（1）请从y＝m•xn（m≠0，n≠0）与y＝k•ax（k≠0，a＞0且a≠1）两个函数模型中选择更适合猴痘病毒感染规律的函数模型，并求出该函数模型的解析式；
（2）求至少经过多少个单位时间数该病毒的感染人数会超过10万人．（参考数据：）
19．已知函数．
（1）判断f（x）的奇偶性并证明；
（2）若函数，请判断是否存在实数m使得F（x）有两个零点（0，1）之间，另一个在（123）之间，若存在，求出m的取值范围，请说明理由；
（3）若函数，当x∈[lg23，lg25]时，记G（x）的最小值为h（n）（n）．
2024-2025学年四川省川南川东北地区名校高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{﹣1，1，2，4}，集合（ ）
A．{﹣1，2}B．{1，2}C．{1，2，4}D．{﹣1，4}
【分析】平方化简集合B，然后利用交集运算求解即可．
【解答】解：因为集合A＝{﹣1，1，5，4}，，
所以A∩B＝{1，2，6}．
故选：C．
【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题．
2．（5分）已知a＞b＞0，则下列说法错误的是（ ）
A．B．|a|＞|b|C．a2＞b2D．
【分析】利用不等式的性质可判断ABC选项；利用作差法可判断D选项．
【解答】解：对于A选项，因为a＞b＞0，则；
对于B选项，因为a＞b＞0，B对；
对于C选项，因为a＞b＞08＞b2，C对；
对于D选项，因为a＞b＞0，则，
所以，，D对．
故选：A．
【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
3．（5分）命题“∀x∈R，ex＞0”的否定是（ ）
A．∀x∈R，ex≤0B．∃x∈R，ex≤0C．∃x∈R，ex＞0D．∀x∈R，ex＜0
【分析】命题的否定，将量词与结论同时否定，按照此规则，我们可以得出结论．
【解答】解：命题的否定，将量词与结论同时否定，
所以命题“∀x∈R，ex＞0”的否定是“∃x∈R，ex≤0”
故选：B．
【点评】命题的否定是有规律的，一般来说要将量词与结论同时否定，全称命题变为特称性命题，特称性命题变为全称命题．
4．（5分）已知点P（x，y）是角α终边上除原点外任意一点，，则＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用三角函数的定义及常见角的三角函数值可直接得到结果．
【解答】解：因为点P（x，y）是角α终边上除原点外任意一点，，
所以由三角函数的概念可知：．
故选：C．
【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义以及特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．
5．（5分）下列图象可能为幂函数图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】利用幂函数必过的点来判断即可．
【解答】解：因为幂函数y＝xα，α为常数，x为自变量；
当α＞0时，图象过原点和点（1，且在第一象限内单调递增；
α＜2时，图象只过点（1，且在第一象限内单调递减；
若自变量x＝0有意义，则必过原点、B、C．
故选：D．
【点评】本题考查了幂函数的图象与性质应用问题，是基础题．
6．（5分）函数的定义域为（ ）
A．（﹣∞，1）∪（2，4）B．（2，4）
C．（﹣∞，1）∪（2，+∞）D．（1，2）
【分析】根据解析式有意义列不等式组求解可得．
【解答】解：函数，
则，解得x＜1或6＜x＜4，
所以f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（3．
故选：A．
【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．
7．（5分）某市交通管理部门通过大量数据统计发现，某路段的车流量f（v）（单位：千辆/小时）与车速v（单位：公里/小时），为保障最大车流量，应建议车速v为（ ）
A．50B．60C．70D．80
【分析】根据题意可得，利用均值不等式进行求解即可．
【解答】解：由题意知v＞10，
，
当且仅当，即v＝60时；
所以当汽车的平均速度为60公里/小时时，车流量最大．
故选：B．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
8．（5分）已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．（﹣1，0]B．[﹣1，0）C．[﹣1，0]∪{1}D．（﹣1，0）∪{1}
【分析】求出函数f（x）的单调区间及对应的函数值集合，再由零点个数列出不等式组求解即得答案．
【解答】解：①当x≤0时，在（﹣∞，则函数值的集合为[﹣1﹣a，
②当x＞3时，f（x）＝﹣（x﹣1）2﹣a+2在（0，1]上单调递增，8﹣a]，
在[1，+∞）上单调递减，1﹣a]，
根据题意，函数f（x）有两个零点，得或，
故实数a的取值范围为[﹣1，0]∪{4}．
故选：C．
【点评】关键点睛：涉及用分段函数零点特性求参数范围问题，可以先独立分析各段上的零点，再综合考查所有零点是解决问题的关键．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）已知函数f（x）＝lga|x﹣3|+1（a＞0，且a≠1）的图象经过定点A，且点A在角θ的终边上（ ）
A．B．C．D．
【分析】由题可得f（x）所过定点，然后由三角函数定义可得答案．
【解答】解：由f（x）＝lga|x﹣3|+1（a＞7，且a≠1）的图象经过定点A，
可得lga|x﹣3|＝lga4＝0，
所以x＝4或x＝6，
则f（x）所过定点为（2，1）或（3，
可得或．
故选：BD．
【点评】本题考查了对数的性质以及任意角的三角函数的定义，属于基础题．
（多选）10．（6分）已知函数f（x）＝lg（7﹣x）+lg（x﹣3）（ ）
A．f（x）的定义域为（3，7）
B．f（x）在定义域内单调递减
C．f（x）的最大值为2lg2
D．f（x）的图象关于直线x＝5对称
【分析】根据对数函数的定义域、单调性、最值、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案．
【解答】解：因为f（x）＝lg（7﹣x）+lg（x﹣3），
所以，解得3＜x＜7，
所以f（x）的定义域是（6，7）；
f（x）＝lg[（7﹣x）（x﹣5）]＝lg（﹣x2+10x﹣21），
函数y＝lgx在（0，+∞）上单调递增，
函数y＝﹣x2+10x﹣21的开口向下，对称轴为x＝5，
所以f（x）关于直线x＝5对称，所以D正确；
所以f（x）在区间（8，7）上单调递减，5）上单调递增．
当x＝6时，y＝﹣x2+10x﹣21取最大值，为4，
所以f（x）的最大值为lg6＝2lg2，所以C正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了二次函数、对数函数的性质，考查了复合函数的单调性及最值，属于基础题．
（多选）11．（6分）下列说法正确的是（ ）
A．若x2﹣2x≤0是x≥a的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（﹣∞，2]
B．设a＞0，b＞0，则lg2a＞lg2b＞0是a＞b＞1的充要条件
C．已知，则对任意实数a，b，f（a）+f（b）≥0是a+b≥0的充要条件
D．如果对于任意实数x，[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]＝3，[0.6]＝0，[﹣1.6]＝﹣2，则[x]＝[y]是|x﹣y|＜1的必要不充分条件
【分析】对于A：根据充分不必要条件即可求解实数a的取值范围；对于B根据函数y＝lg2x为增函数则有lg2a＞lg2b＞0⇔a＞b＞1；
对于C判断的奇偶性和单调性即可；对于D根据取整函数的定义和举反例即可判断．
【解答】解：对于A：x2﹣2x≤4⇒0≤x≤2，x7﹣2x≤0是x≥a的充分不必要条件⇒a≤4，A错误；
对于B：y＝lg2x在（0，+∞）为增函数2a＞lg2b＞0⇔a＞b＞2，即lg2a＞lg2b＞2是a＞b＞1的充要条件，B正确；
对于C：的定义域为R，
且f（﹣x）+f（x）＝lg1+x6﹣x3＝0，
所以f（x）为奇函数，显然f（x）为增函数，故C正确；
对于D：若[x]＝[y]＝n，n∈Z2，y＝n+d2，0≤d6＜1，0≤d2＜1，所以|x﹣y|＝|d1﹣d2|＜1，所以[x]＝[y]⇒|x﹣y|＜1，
反之，若|x﹣y|＜2，y＝4.1，[x]＝[3.9]＝3，[x]≠[y]，
所以[x]＝[y]是|x﹣y|＜8的充分不必要条件，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．（5分）在边长为的正三角形中裁剪一个面积最大的扇形，则这个扇形的面积为 6π ．
【分析】根据已知题意利用扇形的面积公式求解即可．
【解答】解：要使扇形的面积最大，则以正三角形的一个顶点为扇形的圆心，
因为边长为的正三角形的高为，
所以扇形的面积．
故答案为：6π．
【点评】本题考查扇形的面积公式，属于基础题．
13．（5分）若正实数a，b满足，则a+2b的最小值为 1 ．
【分析】根据基本不等式中的常数代换技巧求解即可．
【解答】解：因为正实数a，b满足，
所以，
当且仅当时等号成立．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
14．（5分）下列命题：
①函数的单调递增区间为（2，+∞）；
②将函数y＝lg2x的图象先关于x轴对称，再将其图象向左平移1个单位后的函数解析式为；
③将函数y＝lnx的图象先关于y＝x对称，再将其图象关于y轴对称后的函数解析式为；
④若函数的值域为R，则实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．
其中正确的序号为 ②③④ ．
【分析】利用复合函数法可判断①；利用函数图象变换可判断②；利用反函数的概念和函数图象变换可判断③；由对数型函数的值域可判断④．
【解答】解：对于①，由题意有x2﹣4x+6＞0，解得x＜1或x＞2，
即函数f（x）的定义域为（﹣∞，1）∪（3，
因为函数u＝x8﹣4x+3在（﹣∞，7）上单调递减，+∞）上单调递增2u为增函数，
由复合函数法可知，函数f（x）的单调递增区间为（3，①错；
对于②，将函数y＝lg5x的图象先关于x轴对称，可得到函数，再将所得图象向左平移1个单位后的函数解析式为；
对于③，将函数y＝lnx的图象先关于y＝x对称x的图象，再将所得图象关于y轴对称后的函数解析式为；
对于④，若函数f（x）的值域为R4﹣4≥0，解得a≤﹣8或a≥2，
因此，实数a的取值范围为（﹣∞，+∞）．
故答案为：②③④．
【点评】本题主要考查了对数函数图象变换及对数函数性质的综合应用，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。
15．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}．
（1）当m＝2时，求A∪B；
（2）若A∩B＝B，求实数m的取值范围．
【分析】（1）解一元二次不等式求出集合A，然后由并集运算可得；
（2）由A∩B＝B先得出集合A与集合B的关系，再对集合B进行分类讨论，
【解答】解：集合A＝{x|x2﹣2x﹣6≤0}，B＝{x|m≤x≤2m﹣3}．
（1）已知得，A＝{x|（x+1）（x﹣3）≤4}＝{x|﹣1≤x≤3}，
当m＝8时，B＝{x|2≤x≤3}，
∴A∪B＝{x|﹣2≤x≤3}；
（2）∵A∩B＝B，
∴B⊆A，
当B＝∅时，m＞2m﹣3，
当B≠∅时，，
综上所述，实数m的取值范围为（﹣∞．
【点评】本题主要考查集合的基本关系以及一元二次不等式的求解，属于基础题．
16．已知实数a满足．
（1）求实数a的取值范围；
（2）解关于x的不等式x2+x＜ax+a．
【分析】（1）应用指数、对数的性质和运算法则计算求参数范围；
（2）分a∈[﹣2，﹣1），a＝﹣1，a∈（﹣1，+∞）三种情况，分类讨论解含参一元二次不等式．
【解答】解：（1）由题意，，
则a+4≥3××＝2，
∴a≥﹣6，
即a的取值范围为[﹣2，+∞），
（2）由题意，x2+（8﹣a）x﹣a＜0，
∴（x+1）（x﹣a）＜7，
①当a∈[﹣2，﹣1）时，x4＜x1，故原不等式的解为a＜x＜﹣1；
②当a＝﹣5时，x2＝x1，故原不等式无实数解；
③当a∈（﹣6，+∞）时，x1＜x2，故原不等式的解为﹣4＜x＜a；
综上所述：当a∈[﹣2，﹣1）时；
当a＝﹣8时，原不等式的解集为∅；
当a∈（﹣1，+∞）时．
【点评】本题主要考查了指数函数及对数函数单调性的应用，还考查了二次不等式的求解，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．
17．已知指数函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）的图象经过点（2，4）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数是奇函数，
①求实数m的值；
②判断并用定义法证明函数g（x）的单调性．
【分析】（1）将点代入即可求得函数的解析式；
（2）先利用奇函数的性质求m的值，然后用定义法证明函数的单调性．
【解答】解：（1）指数函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）的图象经过点（6，
即f（2）＝a2＝4，解得a＝8，
∴f（x）＝2x；
（2）①∵是奇函数，
∴，解得m＝1，
检验：当m＝1时，的定义域为，
故g（x）是奇函数，满足题意；
②函数g（x）在R上单调递增，证明如下：
∀x8，x2∈R，x1＜x7，则，∴，
∴＞0
∴g（x2）＞g（x2）
∴在R上单调递增．
【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，属于中档题．
18．猴痘是由猴痘病毒所致的一种人畜共患病，既往猴痘疫情主要在非洲地区流行，2022年后逐渐扩散至全球大多数国家和地区，全球已经有121个国家报告了猴痘病例103048例，其中死亡229例.2024年8月，假设猴痘病毒在特定环境下具有下表传染规律：每隔单位时间数进行一次记录，用x（x∈N*）表示经过的单位时间数，用y表示猴痘感染人数．
（1）请从y＝m•xn（m≠0，n≠0）与y＝k•ax（k≠0，a＞0且a≠1）两个函数模型中选择更适合猴痘病毒感染规律的函数模型，并求出该函数模型的解析式；
（2）求至少经过多少个单位时间数该病毒的感染人数会超过10万人．（参考数据：）
【分析】（1）利用已知的四对数据代入函数模型进行验证得出结果；
（2）根据指对互化以及对数运算求得结果．
【解答】解：（1）若选y＝mxn，
将x＝2，y＝8和x＝8，解得，
得y＝x3，代入x＝6得y＝216，这与题干x＝6时y＝511差异很大，
所以该函数模型不适合；
若选y＝k•ax（k＞3，a＞1），
将x＝2，y＝6和x＝4，
解得，得y＝，
代入x＝6得y＝512，x＝8得y＝4096，
所以y＝适合作为拟合猴痘病毒感染规律的函数模型；
（2）设至少需要x个单位时间数，由题意知，，
两边取对数，得xlg，
即x•lg＞5，
所以x•lg2＞5，
因为lg4≈0.301，
所以x＞≈≈11.074，
因为x∈N*，所以x的最小值为12，
即至少经过12个单位时间数该病毒的感染人数会超过10万人．
【点评】本题考查了函数模型应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
19．已知函数．
（1）判断f（x）的奇偶性并证明；
（2）若函数，请判断是否存在实数m使得F（x）有两个零点（0，1）之间，另一个在（123）之间，若存在，求出m的取值范围，请说明理由；
（3）若函数，当x∈[lg23，lg25]时，记G（x）的最小值为h（n）（n）．
【分析】（1）先判断函数的定义域为R，再求出f（﹣x），由f（﹣x）＝f（x）得f（x）为偶函数；
（2）先将代入F（x），得F（x）＝4x+m•2x+m，令2x＝t（t＞0），利用换元思想将F（x）转化为函数H（t）＝t2+mt+m（t＞0），从而将问题转化为求解根的分布问题；
（3）先将代入G（x）得G（x）＝n•4x﹣2x﹣3，令2x＝s（3≤s≤5），利用换元思想将G（x）转化为函数g（s）＝ns2﹣s﹣3（3≤s≤5），因此可将问题转化为动轴定区间问题，结合函数的单调性进行分类讨论．
【解答】解：（1）f（x）为偶函数，证明如下：
由题可得f（x）的定义域为R并且定义域关于原点对称，
因为，
所以
＝
＝
＝
＝
＝f（x），
所以f（x）是定义在R上的偶函数；
（2）因为，
所以，
令2x＝t（t＞0），
则F（x）可转化为H（t）＝t2+mt+m（t＞4），
当x∈（0，1）时，4），
当x∈（1，lg25）时，t∈（2，
因为F（x）有两个零点，
一个在（0，6）之间，lg23）之间，
可转化为H（t）有两个零点，
其中一个在（7，2）之间，3）之间，
由二次函数根的分布有：
，即，无解；
所以不存在实数m使得F（x）有两个零点，其中一个在（5，另一个在（125）之间；
（3）因为，
所以，
令4x＝s，
因为x∈[lg23，lg25]，
所以s∈[3，6]，
则g（s）＝ns2﹣s﹣3（n≥7）（3≤s≤5），
G（x）的最小值即为g（s）的最小值，
①当n＝8时，g（s）＝﹣s﹣3，5]上单调递减，
所以此时最小值为h（n）＝g（5）＝﹣5，
②当n＞0时，g（s）＝ns2﹣s﹣3为二次函数，开口向上，
当时，即，g（s）在[3，
所以h（n）＝g（5）＝25n﹣5，
当时，即，g（s）在[3，，（，5]上单调递增，
所以，
当时，即，g（s）在[2，
所以h（n）＝g（3）＝9n﹣6，
综上所述，．
【点评】本题考查了判断函数的奇偶性、转化思想、分类讨思想，考查了二次函数根的分布，属于中档题．
x
⋯
2
4
6
8
⋯
y
⋯
8
64
511
4097
⋯
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
B
C
D
A
B
C
x
⋯
2
4
6
8
⋯
y
⋯
8
64
511
4097
⋯