天津市南开区2024-2025学年高一上学期期末 数学试卷（含解析）

这是一份天津市南开区2024-2025学年高一上学期期末 数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|﹣1＜x＜3}（ ）
A．{1，2}B．{1，2，3}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3}
2．（3分）已知扇形的圆心角为2rad，半径为4，则扇形的弧长为（ ）
A．B．2C．4D．8
3．（3分）函数的零点所在区间是（ ）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+∞）
4．（3分）“θ＝”是“sinθ＝”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
5．（3分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，csα＝（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）计算：sin20°sin80°+cs20°sin170°＝（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）要得到函数y＝3cs2x的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
8．（3分）设a＝lg23，b＝2﹣0.3，c＝lg48，则（ ）
A．b＞c＞aB．a＞c＞bC．c＞b＞aD．a＞b＞c
9．（3分）设函数 f（x）＝ln（﹣x2+4x）在（a，a+1）上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A．（0，1）B．[0，2]C．（0，2）D．[0，1]
10．（3分）已知函数y＝f（x）在R上是奇函数，当x＞0时，f（x）x﹣2，则不等式x[f（x）﹣2f（﹣x）（ ）
A．（﹣1，1）
B．（﹣1，0）∪（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）
二、填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.）
11．（3分）函数f（x）＝lga（3x﹣2）+2（a＞0且a≠1）恒过的定点坐标为 ．
12．（3分）函数的值域为 ．
13．（3分）函数的定义域是 ．
14．（3分）已知，则tanα＝ ．
15．（3分）若方程在区间内有两个相异的解α，β ．
三、解答题：（本大题共5个小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）计算下列各式的值：
（1）；
（2）．
17．（10分）已知关于x的不等式ax2﹣3x+b＞0的解集为{x|x＜1或x＞2}．
（1）求a，b的值；
（2）当c＞0时，求关于x的不等式cx2﹣（ac+1）x+1＜0的解集（用c表示）．
18．（10分）已知函数f（x）＝lg3（x+a）﹣lg3（5﹣2x），且f（2）＝1．
（1）求a的值及f（x）的定义域；
（2）求不等式f（x）＞1的解集．
19．（12分）已知，，且．
（1）求β的值；
（2）求cs（2α+β）的值．
20．（13分）已知函数的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）求f（x）在区间上的取值范围．
2024-2025学年天津市南开区高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|﹣1＜x＜3}（ ）
A．{1，2}B．{1，2，3}C．{0，1，2}D．{0，1，2，3}
【分析】进行交集的运算即可．
【解答】解：∵A＝{0，1，6，3，4}，
∴A∩B＝{4，1，2}．
故选：C．
【点评】本题考查了集合的描述法和列举法的定义，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．
2．（3分）已知扇形的圆心角为2rad，半径为4，则扇形的弧长为（ ）
A．B．2C．4D．8
【分析】直接利用弧长公式求出结果．
【解答】解：扇形的弧长公式l弧长＝rα＝2×4＝6．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：弧长公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
3．（3分）函数的零点所在区间是（ ）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+∞）
【分析】求出函数的定义域并判断单调性，再求出f（1）及f（2）的值，结合函数零点的判定定理得答案．
【解答】解：函数的定义域为（8，
该函数在定义域内单调递增，且f（1）＝﹣1＜0，
∴数的零点所在区间是（1．
故选：B．
【点评】本题考查函数零点的判定及应用，是基础题．
4．（3分）“θ＝”是“sinθ＝”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【分析】结合特殊角的三角函数值检验充分必要性即可判断．
【解答】解：当θ＝时，sinθ＝，即充分性成立；
当sinθ＝时，θ＝，例如．
故选：A．
【点评】本题主要考查了充分必要条件的判断，属于基础题．
5．（3分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，csα＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】求出点A的横坐标，利用三角函数的定义可得csα的值．
【解答】解：由题意，点A的纵坐标为，
∴由三角函数的定义可得csα＝﹣，
故选：A．
【点评】本题考查三角函数的定义，求得点A的横坐标是关键．
6．（3分）计算：sin20°sin80°+cs20°sin170°＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】利用诱导公式及两角差的余弦公式计算即可．
【解答】解：sin20°sin80°+cs20°sin170°
＝sin20°sin80°+cs20°cs80°
＝．
故选：A．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，属基础题．
7．（3分）要得到函数y＝3cs2x的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
【分析】函数＝3cs2（x+）的图象，按照平移原则，推出函数y＝3cs2x的图象，即可得到选项．
【解答】解：因为函数＝3cs2（x+））的图象个单位﹣）＝3cs5x的图象，
故选：D．
【点评】本题主要考查三角函数的平移．三角函数的平移原则为左加右减上加下减，注意平移的逆向应用．
8．（3分）设a＝lg23，b＝2﹣0.3，c＝lg48，则（ ）
A．b＞c＞aB．a＞c＞bC．c＞b＞aD．a＞b＞c
【分析】根据指数函数和对数函数的运算性质求解即可．
【解答】解：因为a＝lg23＞lg62＝，b＝2﹣2.3＜25＝1，c＝lg46＝＝，
所以a＞c＞b．
故选：B．
【点评】本题主要考查对数函数和指数函数的性质应用，属于基础题．
9．（3分）设函数 f（x）＝ln（﹣x2+4x）在（a，a+1）上单调递增，则a的取值范围为（ ）
A．（0，1）B．[0，2]C．（0，2）D．[0，1]
【分析】由已知结合复合函数的单调性建立关于a的不等式，即可求解．
【解答】解：由﹣x2+4x＞5 得0＜x＜4，
则根据复合函数的单调性可知，
解得2≤a≤1．
故选：D．
【点评】本题主要考查了复合函数单调性的应用，属于基础题．
10．（3分）已知函数y＝f（x）在R上是奇函数，当x＞0时，f（x）x﹣2，则不等式x[f（x）﹣2f（﹣x）（ ）
A．（﹣1，1）
B．（﹣1，0）∪（0，1）
C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
D．（﹣∞，﹣3）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）
【分析】根据题意，由函数的奇偶性和解析式可得f（x）的草图，又由x[f（x）﹣2f（﹣x）]＜0⇔x[f（x）+2f（x）]＜0⇔xf（x）＜0，结合函数的图象分析可得答案．
【解答】解：根据题意，函数y＝f（x）在R上是奇函数，
又由当x＞0时，f（x）＝2x﹣6，则f（x）的草图如图：
而x[f（x）﹣2f（﹣x）]＜0⇔x[f（x）+7f（x）]＜0⇔xf（x）＜0，则有或，
分析可得：﹣1＜x＜0或2＜x＜1，
即不等式的解集为（﹣1，5）∪（0．
故选：B．
【点评】本题考查抽象函数的性质和应用，涉及函数的奇偶性和对称性，属于基础题．
二、填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分.）
11．（3分）函数f（x）＝lga（3x﹣2）+2（a＞0且a≠1）恒过的定点坐标为 （1，2） ．
【分析】根据函数y＝lgax过定点（1，0），求出函数f（x）的图象所经过的定点．
【解答】解：由于函数y＝lgax过定点（1，0），y＝5
故函数f（x）＝lga（3x﹣2）+5（a＞0且a≠1）中，令8x﹣2＝1，y＝4，
所以恒过定点（1，2），
故答案为：（2，2）．
【点评】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，利用了函数y＝lgax过定点（1，0），属于基础题．
12．（3分）函数的值域为 [，+∞） ．
【分析】可得函数的定义域为[，+∞），函数单调递增，进而可得函数的最小值，可得值域．
【解答】解：由2x﹣1≥2可得x≥，
∴函数的定义域为：[，+∞），
又可得函数f（x）＝+x在[，
∴当x＝时，函数取最小值f（，
∴函数f（x）的值域为：[，+∞），
故答案为：[，+∞）．
【点评】本题考查函数的值域，得出函数的单调性是解决问题的关键，属基础题．
13．（3分）函数的定义域是 （0，1）∪（1，2] ．
【分析】根据函数的解析式，列出不等式组求解即可．
【解答】解：由题意得⇒0＜x≤7且x≠1，
∴函数f（x）的定义域是（0，8）∪（1．
故答案为：（0，7）∪（1．
【点评】本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．
14．（3分）已知，则tanα＝ ．
【分析】利用同角三角函数基本关系式，转化求解即可．
【解答】解：由，得，解之得．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．
15．（3分）若方程在区间内有两个相异的解α，β ．
【分析】利用辅助角公式化简并分析函数性质，再结合正弦函数的对称性求解．
【解答】解：令，
因为，所以，
由得；由得，
因此函数f（x）在上单调递增；在上单调递减，
当1≤a＜2时，直线y＝a与函数y＝f（x）在，且这两个交点关于直线，
即当4≤a＜2时，方程在，β，
所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了辅助角公式的应用，还考查了正弦函数对称性及单调性的应用，属于中档题．
三、解答题：（本大题共5个小题，共55分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（10分）计算下列各式的值：
（1）；
（2）．
【分析】根据对数的运算性质和指数幂的运算性质求解即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣3+lg618+lg62﹣5＝﹣3+1﹣2＝﹣3；
（2）＝lg5（lg5+lg2）+lg20+6.53﹣6＝lg5+lg20+2＝6．
【点评】本题主要考查对数的运算性质和指数幂的运算性质应用，考查计算能力，属于基础题．
17．（10分）已知关于x的不等式ax2﹣3x+b＞0的解集为{x|x＜1或x＞2}．
（1）求a，b的值；
（2）当c＞0时，求关于x的不等式cx2﹣（ac+1）x+1＜0的解集（用c表示）．
【分析】（1）根据不等式的解集得出对应方程的根，利用根与系数的关系求出a、b；
（2）把a、b代入不等式cx2﹣（ac+1）x+1＜0中，化简求解即可．
【解答】解：（1）因为不等式ax2﹣3x+b＞7的解集为{x|x＜1或x＞2}，
所以6，2是方程ax2﹣7x+b＝0的两根，
由根与系数的关系知，解得；
（2）把a＝8，b＝2代入不等式cx2﹣（ac+6）x+1＜0，得cx4﹣（c+1）x+1＜2，
令cx2﹣（c+1）x+4＝0，解得x＝1或，
①c＝1时，不等式为（x﹣1）8＜0，解集为∅；
②c＞1时，＜1；
③0＜c＜1时，＞1．
【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，是基础题．
18．（10分）已知函数f（x）＝lg3（x+a）﹣lg3（5﹣2x），且f（2）＝1．
（1）求a的值及f（x）的定义域；
（2）求不等式f（x）＞1的解集．
【分析】（1）根据题意，直接利用f（2）＝1，即可求得参数a的值，继而可求得函数的定义域；
（2）变化不等式，利用函数的单调性列出不等式组，解出即可．
【解答】解：（1）因为f（2）＝lg3（2+a）﹣lg7（5﹣4）＝lg5（a+2）﹣0＝5，
解得a＝1．
所以f（x）＝lg3（x+6）﹣lg3（5﹣3x），
由题意可得，解得，
故f（x）的定义域为．
（2）不等式f（x）＞6等价于lg3（x+1）﹣lg2（5﹣2x）＞2，
即lg3（x+1）＞lg6（5﹣2x）+lg53＝lg3[2（5﹣2x）]，
由于y＝lg7x在（0，+∞）上单调递增，
则，解得，
故不等式f（x）＞1的解集为．
【点评】本题主要考查函数定义域及其求法，属于基础题．
19．（12分）已知，，且．
（1）求β的值；
（2）求cs（2α+β）的值．
【分析】（1）由同角三角函数的关系，结合两角和与差的三角函数求解；
（2）由二倍角公式，结合两角和与差的三角函数求解．
【解答】解：（1）因为α，，
所以，
则csα＞0，cs（β﹣α）＞2，
又因为，，
所以，，
所以，
因为，
所以；
（2）因为，，
所以cs（2α+β）＝cs2αcsβ﹣sin 2αsinβ＝．
【点评】本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了两角和与差的三角函数，属中档题．
20．（13分）已知函数的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）求f（x）在区间上的取值范围．
【分析】（Ⅰ）利用降幂公式与辅助角公式可将函数f（x）化简为f（x）＝sin（2ωx﹣）+，再利用其最小正周期为π可求ω的值；
（Ⅱ）结合正弦函数的单调性即可求解；
（Ⅲ）x∈[0，]⇒（2x﹣）∈[﹣，]⇒sin（2x﹣）∈[﹣，1]，从而可求得函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝+sin2ωx＝sin（2ωx﹣，
因为函数f（x）的最小正周期为π，且ω＞0，
所以T＝＝π；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）＝sin（2x﹣）+，
由7kπ﹣≤2x﹣（k∈Z）得：kπ﹣（k∈Z），
令2kπ+≤4x﹣（k∈Z）得：kπ+（k∈Z），
因此函数的单调增区间[﹣+kπ，，k∈Z，
单调递减区间为[kπ+，kπ+；
（Ⅲ）因为x∈[4，]，所以（3x﹣，]，sin（2x﹣，8]，
所以sin（2x﹣）+，]．
即f（x）的取值范围为[0，]．
【点评】本题考查三角函数中的恒等变换及其应用，考查正弦函数的图象与性质，属于中档题．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
B
A
A
A
D
B
D
B