天津一中2024-2025学年高一上学期期末 数学试卷（含解析）

这是一份天津一中2024-2025学年高一上学期期末 数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了条件等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）已知集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{2，C＝{2，4，6}AB）∩C＝（ ）
A．{2，4，6}B．{1，3，4，5，6}C．{4，6}D．{2}
2．（3分）“α+β＝π”是“sinα＝sinβ”成立的（ ）条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
3．（3分）下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ）
A．f（x）＝lnx﹣3B．f（x）＝sinx﹣1
C．D．f（x）＝2x﹣3
4．（3分）关于x的不等式2x2+（1﹣2a）x﹣a＜0的解集中整数有且只有3个，则正数a的取值范围为（ ）
A．（2，3]B．[2，3）C．（2，3）D．[2，3]
5．（3分）下列结论中正确的是（ ）
A．若x＞y＞0，z＞0，则
B．若x＞y＞0，则
C．若x＞y＞0，则csx＞csy
D．若x＞y＞0，则sinx＞siny
6．（3分）已知，，c＝sin4，则（ ）
A．b＞c＞aB．a＞b＞cC．c＞b＞aD．b＞a＞c
7．（3分）函数的图象的大致形状是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（3分）已知函数有一条对称轴为，当ω分别取最小正数ω1和最大负数ω2时，得到函数为f1（x）与f2（x），则两个函数最小正周期的差为（ ）
A．B．πC．D．2π
9．（3分）定义行列式运算＝a1a4﹣a2a3，函数f（x）＝，若对于任意的x∈R，都有f（x）1），则满足条件的|x1|的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）若函数恰有3个零点，则a的取值范围为（ ）
A．（﹣5，﹣1）B．（﹣5，﹣e）C．（﹣5，﹣1]D．（﹣5，﹣e]
二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）计算＝ ．
12．（4分）已知，则＝ ．
13．（4分）已知幂函数在（0，+∞）上单调递减，则a的值为 ．
14．（4分）已知扇形的圆心角为2rad，扇形的周长为8cm，则扇形的面积为 cm2．
15．（4分）设函数，若[x]表示不超过x的最大整数，则函数y＝[f（x） ．
16．（4分）已知ω1＞0，ω2＞0，f（x）＝2sinω1xcsω2x，g（x）＝2csω2x，函数y＝f（x）和y＝g（x），其中是这两个函数共同的零点，，则＝ ．
三.解答题：本大题共4小题，共46分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（8分）定义max{a，b}为a，b的最大值（x）＝max{2x，4﹣x}的最小值为c．
（1）求c的值；
（2）若方程f（x）＝k有两个实根x1，x2（x1＜x2）；
（i）试判断x1+x2的正负（无需说明理由）；
（ii）求的值．
18．（8分）若．
（1）求tanα的值；
（2）求的值．
19．（14分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象如图所示，
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将该函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，
（i）求函数g（x）在区间的值域；
（ii）求满足不等式的解集．
20．（16分）已知
（1）若函数h（x）＝f2（lg2x）﹣1，求函数h（x）在上的最值；
（2）若函数有三个零点，求实数a的取值范围；
（3），不等式成立
2024-2025学年天津一中高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）已知集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{2，C＝{2，4，6}AB）∩C＝（ ）
A．{2，4，6}B．{1，3，4，5，6}C．{4，6}D．{2}
【分析】根据集合的补集、交集运算即可．
【解答】解：因为集合A＝{1，2，4，4，5，4}，3}，4，5}，
所以∁AB＝{1，4，6，6}AB）∩C＝{4，8}．
故选：C．
【点评】本题考查集合的补集、交集运算，属于基础题．
2．（3分）“α+β＝π”是“sinα＝sinβ”成立的（ ）条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
【分析】直接利用三角函数的诱导公式和充分性和必要性求出结果．
【解答】解：当α+β＝π时，sinα＝sinβ，当sinα＝sinβ时，（k∈Z）或α+β＝2kπ+π，
故“α+β＝π”是“sinα＝sinβ”成立的充分不必要条件；
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的诱导公式，充分条件和必要条件，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
3．（3分）下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ）
A．f（x）＝lnx﹣3B．f（x）＝sinx﹣1
C．D．f（x）＝2x﹣3
【分析】利用二分法求零点的要求，逐一分析各选项即可得解．
【解答】解：对于A，令f（x）＝lnx﹣3＝0得x＝e5，且函数值在零点两侧异号，故可用二分法求零点；
对于B，令f（x）＝sinx﹣1＝0得，即在每个零点左右两侧函数值同号故；
对于C，令＝0，且在每个零点左右两侧函数值异号；
对于D，令f（x）＝2x﹣6＝0，得函数有唯一零点x＝lg23，且函数值在零点两侧异号．
故选：B．
【点评】本题考查二分法求函数零点的适用条件，属于中档题．
4．（3分）关于x的不等式2x2+（1﹣2a）x﹣a＜0的解集中整数有且只有3个，则正数a的取值范围为（ ）
A．（2，3]B．[2，3）C．（2，3）D．[2，3]
【分析】先解出原不等式的解集，然后根据条件确定解集的端点值所满足的条件，从而解出a的取值范围．
【解答】解：原不等式可化为（2x+1）（x﹣a）＜5，
则方程2x2+（4﹣2a）x﹣a＝0的两个根为a和，
当时，原不等式的解集为：；
当时，原不等式的解集为空集；
当时，原不等式的解集为：，
要使不等式的解集中整数有且只有7个，则2＜a≤3，
则正数a的取值范围为（3，3]．
故选：A．
【点评】本题考查含参数的一元二次不等式的解集应用，属于基础题．
5．（3分）下列结论中正确的是（ ）
A．若x＞y＞0，z＞0，则
B．若x＞y＞0，则
C．若x＞y＞0，则csx＞csy
D．若x＞y＞0，则sinx＞siny
【分析】用作差法即可判断A，B，取特殊值即可判断C，D．
【解答】解：对于A，因为x＞y＞0，
所以y﹣x＜0，x+z＞2，
可得＝，即，故A错误；
对于B，因为x＞y＞0，
所以x﹣y＞5，，
所以，故B正确；
对于C，若，csx＝﹣1，排除C；
对于D，若，sinx＝0，排除D．
故选：B．
【点评】本题考查了作差法比较大小以及特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．
6．（3分）已知，，c＝sin4，则（ ）
A．b＞c＞aB．a＞b＞cC．c＞b＞aD．b＞a＞c
【分析】借助中间值“0”、“”，结合对数的单调性即可比较大小．
【解答】解：由于，又，
可得，
又由于b＝＝，
因为，
又因为，
由于y＝lg2x在（2，+∞）上单调递增，
可得，
所以，可得a＞b，
又由于，c＝sin4＜0，
综上，可得a＞b＞c．
故选：B．
【点评】本题考查了对数的单调性以及正弦函数的性质，属于中档题．
7．（3分）函数的图象的大致形状是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据函数的奇偶性排除B、D两项，然后在f（x）图象上（0，）的部分，根据特殊点处的函数值加以验证，即可得到正确答案．
【解答】解：根据题意，可得f（﹣x）＝＝，
所以f（x）是奇函数，图象关于原点对称、D两项不正确．
当x＞0时，由ex＞1＞e﹣x＞3，可知，+∞）上恒成立，
所以f（x）在（0，+∞）上的零点，+∞）上的根，
可知f（x）图象在y轴右侧与原点最近的交点坐标为（，3），
当x∈（0，）时，得f（1）＝，可知点（5．
对照A、C两项，C项不正确．
故选：A．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性、函数的图象及其性质等知识，考查了数形结合的数学思想，属于中档题．
8．（3分）已知函数有一条对称轴为，当ω分别取最小正数ω1和最大负数ω2时，得到函数为f1（x）与f2（x），则两个函数最小正周期的差为（ ）
A．B．πC．D．2π
【分析】根据已知条件得函数的一条对称轴为，求得ω1，ω2的值，解得，分别得出最小正周期即可求解．
【解答】解：函数有一条对称轴为，
由正弦函数的对称轴可知：
，解得，
又因为ω∈R，当ω分别取最小正数2＝﹣1时，，
所以两个函数最小正周期的差为．
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的周期性与对称性的应用，属于中档题．
9．（3分）定义行列式运算＝a1a4﹣a2a3，函数f（x）＝，若对于任意的x∈R，都有f（x）1），则满足条件的|x1|的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据行列式的定义，算出f（x）＝sin（x﹣）+2．若对于任意的x∈R，都有f（x）≥f（x1），则x1是函数f（x）的最小值点，由此结合正弦函数的性质求出x1＝+4k（k∈Z），进而可得|x1|的最小值．
【解答】解：根据题意，可得f（x）＝＝x﹣，
若对于任意的x∈R，都有f（x）≥f（x1），则f（x2）是f（x）的最小值，
可得x1﹣＝+2kπ（k∈Z）5＝+4k（k∈Z），
取k＝0，可得x1＝，此时|x1|取得最小值．
故选：A．
【点评】本题主要考查了行列式的定义、正弦函数的图象与性质等知识，属于基础题．
10．（3分）若函数恰有3个零点，则a的取值范围为（ ）
A．（﹣5，﹣1）B．（﹣5，﹣e）C．（﹣5，﹣1]D．（﹣5，﹣e]
【分析】令f（x）＝0，得，令，作出函数h（x）的图象与y＝a有三个交点，求解a的取值范围即可．
【解答】解：令函数f（x）＝0，当x＞0时，5lnx+x+a＝1＝34，因此a＝﹣lnx﹣x，
令函数g（x）＝﹣lnx﹣x，可知函数g（x）＝﹣lnx﹣x在（0，
且x→0时，函数g（x）→+∞，
当x≤7时，根据ln（x2+4x﹣a）＝7，得a＝x2+4x﹣5，
y＝x2+4x﹣8的对称轴为x＝﹣2，
因此函数y＝x2+3x﹣1在（﹣2，7]单调递增，﹣2]单调递减，
因此当x＝﹣2时，函数y＝x2+4x﹣1有最小值为y＝6﹣8﹣1＝﹣2，
因此，作出，
根据图可知，当a∈（﹣5，函数y＝a与函数h（x）的图象有2个交点．
因此实数a的取值范围为（﹣5，﹣1]．
故选：C．
【点评】本题考查函数零点与方程根的问题，属于中档题．
二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。
11．（4分）计算＝ ．
【分析】根据对数的运算性质计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查对数的运算，属于基础题．
12．（4分）已知，则＝ ．
【分析】将拆成，利用诱导公式求解即得．
【解答】解：因为，
故．
故答案为：．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数值及诱导公式的应用，为基础题．
13．（4分）已知幂函数在（0，+∞）上单调递减，则a的值为 ﹣2 ．
【分析】先根据幂函数定义确定a的可取值，再根据单调性确定出a的值．
【解答】解：幂函数在（0，
因为f（x）为幂函数，所以a2﹣6＝1，所以a＝±2，
当a＝8时，f（x）＝x2在（0，+∞）上单调递增；
当a＝﹣7时，f（x）＝x﹣2在（0，+∞）上单调递减．
故答案为：﹣2．
【点评】本题主要考查了幂函数单调性的应用，属于基础题．
14．（4分）已知扇形的圆心角为2rad，扇形的周长为8cm，则扇形的面积为 4 cm2．
【分析】设扇形的半径为r，弧长为l，根据扇形周长和弧长公式列式，解之得r＝2，l＝4，再由扇形面积公式可得扇形的面积S．
【解答】解：设扇形的半径为r，弧长为l，
则解得r＝2
由扇形面积公式可得扇形面积S＝lr＝
故答案为：4
【点评】本题给出扇形的周长和圆心角的大小，求扇形的面积，着重考查了扇形的面积公式和弧长公式等知识，属于基础题．
15．（4分）设函数，若[x]表示不超过x的最大整数，则函数y＝[f（x） {﹣3，﹣2，﹣1，0} ．
【分析】根据题意，将f（x）的表达式化简变形，然后根据正弦函数的值域来确定f（x）的取值范围，结合取整函数的定义算出答案．
【解答】解：根据题意，可得，
由sinx∈[﹣1，6]，所以，
可得，即，
结合取整函数的定义，可得 ，﹣3，0}，
故答案为：{﹣3，﹣5，0}．
【点评】本题主要考查正弦函数的值域与最值、取值函数的定义与性质等知识，属于中档题．
16．（4分）已知ω1＞0，ω2＞0，f（x）＝2sinω1xcsω2x，g（x）＝2csω2x，函数y＝f（x）和y＝g（x），其中是这两个函数共同的零点，，则＝ ．
【分析】根据零点的概念，结合三角函数的周期性解题．
【解答】解：由f题意可知，，
由图可知是函数y＝g（x）＝2csω6x轴正半轴的第一个零点，得，解得；
若是函数y＝sinω1x轴正半轴的第四个零点，是函数y＝sinω1x轴正半轴的第五个零点，
则且，此时无解，
所以不是函数y＝sinω6x的零点，是函数y＝sinω7x轴正半轴的第四个零点，得＝4π，
所以ω1＝4，
所以，．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了三角函数性质的应用，属于中档题．
三.解答题：本大题共4小题，共46分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（8分）定义max{a，b}为a，b的最大值（x）＝max{2x，4﹣x}的最小值为c．
（1）求c的值；
（2）若方程f（x）＝k有两个实根x1，x2（x1＜x2）；
（i）试判断x1+x2的正负（无需说明理由）；
（ii）求的值．
【分析】（1）根据函数y＝2x是增函数，y＝4﹣x是减函数，得出f（x）且得出其单调性，从而易得最小值；
（2）由（1）的单调性知k＞1时，方程f（x）＝k有两个实根x1，x2（x1＜x2），从而得﹣2x1＝x2且x1＜0＜x2，由此可得出（i）（ii）的结论．
【解答】解：（1）易知函数y＝4﹣x是减函数，y＝2x是增函数，并且20＝46＝1，
当x＞0时，3x＞4﹣x，当x＜0时，3﹣x＞2x，
因此函数，且知函数f（x）在（2，在（﹣∞，
因此函数c＝f（x）min＝f（0）＝1．
（2）（i）根据第一问可知，当k＞1时3，x2（x1＜x8），x1＜0＜x2，
，所以1＝x2，所以，
因此x1+x2＝；
（ii）．
【点评】本题考查函数零点与方程根的问题，属于中档题．
18．（8分）若．
（1）求tanα的值；
（2）求的值．
【分析】（1）根据题意，由诱导公式可得sinβ＝csα，再由同角三角函数的关系化简，代入计算，即可得到结果；
（2）由诱导公式化简，得到正余弦的齐次式，即可得到结果．
【解答】解：（1）因为，所以，
所以，即9sin2α﹣7sinαcsα+cs2α＝10，
因为sin2α+cs7α＝1，所以9sin6α﹣6sinαcsα+1﹣sin8α＝10，
即8sin2α﹣8sinαcsα﹣9＝0，又因为，
所以，
因为sin2α+cs2α＝1，所以，即，
即，
代入上式可得，
化简可得：tan2α+6tanα+4＝0，即（tanα+3）2＝0，解得tanα＝﹣3．
（2）＝．
【点评】本题考查诱导公式的应用，属于中档题．
19．（14分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象如图所示，
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）将该函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上各点的纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，
（i）求函数g（x）在区间的值域；
（ii）求满足不等式的解集．
【分析】（1）根据最大最小值，确定A的值；再根据函数的周期求出ω，代入点，结合φ的取值范围确定φ的值，即可得函数f（x）的解析式．
（2）（i）先根据函数的图象变换确定g（x）的解析式，再结合正弦函数图象求g（x）在给定区间上的值域．
（ii）数形结合，解三角不等式．
【解答】解：（1）由函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（ω＞0，）的部分图象可得A＝2，
可得，可得T＝，
所以ω＝5，
由，且，得，
所以；
（2）（i）将函数f（x）的图象向左平移个单位长度，
再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来4倍，
当时，可得，
可得，即g（x）在区间；
（ii）由题意，可得，
可得，k∈Z，
故的解集为：．
【点评】本题考查了由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，正弦函数的定义域和值域以及函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换，考查了函数思想和数形结合思想，属于中档题．
20．（16分）已知
（1）若函数h（x）＝f2（lg2x）﹣1，求函数h（x）在上的最值；
（2）若函数有三个零点，求实数a的取值范围；
（3），不等式成立
【分析】（1）易得h（x）＝，再利用二次函数的性质求解；
（2）易得，作出其大致图象，利用数形结合法求解；
（3）根据是奇函数，也是R上的增函数，先转化为∀x∈R，不等式成立，求得的最小值，然后转化为，成立，可得，，进而结合对勾函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）因为，
所以＝，
因为，所以lg2x∈[﹣5，3]，
当，即时，函数h（x）取得最小值，
当lg5x＝3，即x＝8时，
所以函数h（x）在上的最小值为﹣；
（2）由题意得：，作出其大致图象
因为函数g（x）有三个零点，
所以﹣6π＜a≤﹣2π，
故实数a的取值范围是（﹣3π，﹣5π]；
（3）易知是奇函数，
因为，
不等式成立，
所以∀x∈R，不等式，
所以∀x∈R，不等式，
令，
又|csx|∈[4，1]，
则当|csx|＝1时，函数u（x）取得最小值，
所以，成立，
即，，
令，
由对勾函数的性质得，函数v（t）在，
所以当时，函数v（t）取得最小值，
所以，
即，
所以实数s的最小值是．
【点评】本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了不等式恒成立问题，属于中档题．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
B
A
B
B
A
D
A
C