云南省宣威市第一中学2024−2025学年高一上学期期末适应性考试 数学试题（含解析）

这是一份云南省宣威市第一中学2024−2025学年高一上学期期末适应性考试 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知全集，集合，，则如图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
2．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知扇形的圆心角为，所对的弧长为4，则扇形的面积为（ ）
A．1B．2C．4D．8
4．设函数为定义在上的奇函数，且当时，（其中为实数），则的值为（ ）
A．B．C．1D．3
5．若，则（ ）
A．B．C．D．
6．若存在正实数x，y，使得等式和不等式都成立，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
7．若，则a、b、c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若关于的方程有8个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知函数，则正确的是（ ）
A．的值域为
B．的解集为
C．的图象与的图象关于轴对称
D．若关于的方程有且仅有一实根，则
10．已知函数部分图象如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．的图象关于直线对称
B．的图象关于点对称
C．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象
D．若方程在上有两个不相等的实数根，则m的取值范围是
11．已知函数的定义域为，且对任意，都有及成立，当且时，都有成立，下列四个结论中正确的是（ ）
A．
B．函数在区间上为增函数
C．直线是函数的一条对称轴
D．方程在区间上有4个不同的实根
三、填空题（本大题共3小题）
12． .
13．函数的定义域为 .
14．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动如图2，将筒车抽象为一个半径为的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当时，盛水筒M位于点，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足，则当筒车旋转100秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为____________．
四、解答题（本大题共5小题）
15．求值：（1）；
（2）已知，求的值.
16．已知函数．

(1)请你在平面直角坐标系中作出的简图，并根据图象写出该函数的单调递增区间．
(2)求的解集．
17．经市场调查，新街口某新开业的商场在过去一个月内（以30天计），顾客人数（千人）与时间t（天）的函数关系近似满足，人均消费（元）与时间t（天）的函数关系近似满足.
(1)求该商场的日收益（千元）与时间t（天）的函数关系式；
(2)求该商场日收益的最小值（千元）．
18．定义在的函数满足对任意恒有且不恒为.
（1）求的值；
（2）判断的奇偶性并加以证明；
（3）若时，是增函数，求满足不等式的的集合.
19．已知函数（，）的图象关于直线对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.
(1)求和的值；
(2)当时，求函数的最大值和最小值；
(3)设，若图象的任意一条对称轴与轴的交点的横坐标不属于区间，求的取值范围.
参考答案
1．【答案】B
【详解】因为
所以
因此图中阴影部分表示的集合为
故选：B
2．【答案】D
【详解】解：命题“”的否定是“”.
故选：D
3．【答案】C
【详解】.
故选：C.
4．【答案】C
【详解】由题意：，得，
又，
故选：C
5．【答案】A
【详解】由；
故选：A
6．【答案】B
【详解】由，则
，
当且仅当，即，时，等号成立，
即恒成立，故，
即，解得或.
故选：B.
7．【答案】D
【详解】因为在为增函数，
所以，即；
又为增函数，所以，
所以.
故选：D.
8．【答案】B
【详解】作出的图象如下，
设，则关于的方程化为，
观察图象知，直线与的图象最多有4个公共点，
即关于的方程最多有4个不相等的实数根，
而关于的方程有8个不相等的实数根，
则关于的方程有两个不相等的实数根且，
设，对称轴为，
则，即，
解得，所以实数的取值范围为.
故选：B.
9．【答案】AC
【详解】A：因为的值域为，所以的值域为，故A正确；
B：因为，且在上单调递增，
所以，解得，故B错误；
C：关于轴对称的函数为，即为，
所以的图象与的图象关于轴对称，故C正确；
D：作出的图象如下图所示：
当与仅有一个交点时，此时关于的方程有且仅有一实根，
由图象可知，或，故D错误；
故选：AC.
10．【答案】ABC
【详解】由图象可得，，，∴，，
∵，∴，
∵，∴，∴.
当时，，选项A错误.
当时，，选项B错误.
将函数的图象向左平移个单位得到函数
的图象，选项C错误.
当时，，
，，
函数在上的图象如下：
由图可知，当时，函数的图象与直线有两个交点，
即方程在上有两个不相等的实数根，选项D正确.
故选：ABC.
11．【答案】ACD
【详解】∵对任意x∈R，都有，∴为偶函数.
∵，∴当时，，
∴，故，是周期为4的函数.
∵当且时，都有成立，
∴在上为增函数，函数大致图象如下：
由以上分析得，选项A正确.
由图象可得函数在区间上为减函数，选项B错误.
由图象可得直线是函数的一条对称轴，选项C正确.
由图象可得方程在区间上有4个不同的实根，分别为，选项D正确.
故选：ACD.
12．【答案】
【详解】.
故答案为：.
13．【答案】
【分析】根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可．
【详解】，
，解得，
函数的定义域是，
故答案为：．
14．【答案】
【分析】根据筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，可求出，由时，求出和，从而可求出的关系式，进而可求出点P的纵坐标
【详解】因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，
所以，得，
所以，
因为当时，盛水筒M位于点，
所以，
所以，
因为，
所以，得，
因为，所以，
所以，
所以，
所以当筒车旋转100秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为，
故答案为：
15．【答案】（1）0；（2）.
【详解】（1）原式.
（2）因为，
所以.
16．【答案】(1)图象见解析，增区间为
(2)
【详解】（1）函数，
在平面直角坐标系中作出的简图如下：

根据图象可得该函数的单调递增区间为；
（2）因为，
则，可得，
或，可得，
综上可得的解集为．
17．【答案】(1)
(2)（千元）
【详解】（1）当时，，
当时，，
则；
（2）当时，，
则随的增大而增大，故；
当时，，
则则随的增大而减小，故；
又，故该商场日收益的最小值为（千元）.
18．【答案】(1)，；(2)偶函数，证明见解析；(3)
【详解】
试题分析：
(1)利用赋值法：令得，令，得；
(2)令，结合(1)的结论可得函数是偶函数；
(3)结合函数的奇偶性和函数的单调性脱去f符号，求解绝对值不等式可得x的取值范围是.
试题解析：
（1）令得，令，得；
（2）令，对得即，而不恒为，
是偶函数；
（3）又是偶函数，，当时，递增，由，得的取值范围是.
19．【答案】(1)，
(2)，
(3)
【分析】（1）根据最小正周期求出，再根据对称轴求出；
（2）由（1）可得解析式，再由的取值范围求出的范围，最后由正弦函数的性质计算可得；
（3）首先得到的解析式，由求出的大致范围，再求出图象的某一条对称轴与轴的交点的横坐标属于区间时的取值范围，即可得解.
【详解】（1）因为的图象上相邻两个最高点的距离为，
所以的最小正周期，所以，
又因为的图象关于直线对称，
所以，，所以，，
又，所以，
综上可得，.
（2）由（1）知，
当时，，
所以当（即）时，，
当（即）时，，
所以函数在的最大值为，最小值为.
（3）由题意，
图象的任意一条对称轴与轴的交点的横坐标都不属于区间，
且，解得，
令，，解得，，
若图象的某一条对称轴与轴的交点的横坐标属于区间，
则，解得，
当时，且（矛盾），故解集为空集；
当时，；当时，，
故的取值范围为.