浙江省杭州第四中学（下沙校区）2023−2024学年高一上学期期末考试 数学试题（含解析）

这是一份浙江省杭州第四中学（下沙校区）2023−2024学年高一上学期期末考试 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知点是角终边上的一点，且，则的值为（ ）
A．B．C．1D．
3．下列说法错误的是（ ）
A．命题“”的否定是“”.
B．“幂函数为偶函数”的充要条件为“”.
C．“”的必要不充分条件是“是第一象限角或第二象限角”.
D．函数的单调递减区间为.
4．已知，则（ ）
A．B．
C．D．
5．把函数图象上所有点的横坐标扩大到原来的3倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ）
A．B．1C．0D．
6．某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该民企2023年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）
（参考数据）
A．2025年B．2026年C．2027年D．2028年
7．若定义在R上的奇函数在上单调递减，且，则满足的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
8．从古至今，中国人一直追求着对称美学．世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构——故宫：金黄的宫殿，朱红的城墙，汉白玉的阶，琉璃瓦的顶……沿着一条子午线对称分布，壮美有序，和谐庄严，映衬着蓝天白云，宛如东方仙境．再往远眺，一线贯穿的对称风格，撑起了整座北京城．某建筑物的外形轮廓部分可用函数的图像来刻画，满足关于的方程恰有三个不同的实数根，且（其中），则的值为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共4小题）
9．已知，，，均为实数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，则D．若，则
10．设函数的定义域为，，，使得成立，则称为“美丽函数”.下列所给出的函数，其中是“美丽函数”的是（ ）
A．B．C．D．
11．设都是正实数，且，那么（ ）
A．B．C．D．
12．设函数，已知在上有且仅有4个零点，则（ ）
A．的取值范围是B．的图象与直线在上的交点恰有2个
C．的图象与直线在上的交点恰有2个D．在上不一定单调
三、填空题（本大题共4小题）
13．写出一个同时具有性质①对任意，都有；②的函数 .
14．折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其平面图如图2的扇形AOB，其中，，则扇面（曲边四边形ABDC）的面积是 .
15．已知函数，且关于的不等式的解集为．当时，恒成立，则实数k的取值范围是 .
16．设，则的最小值为 .
四、解答题（本大题共4小题）
17．已知
(1)求的值；
(2)若，求锐角的值.
18．已知函数为奇函数.
(1)求的值，判断函数的函数单调性并加以证明；
(2)求不等式的解集
19．已知函数的最小正周期为，且图象关于直线对称.
(1)求的解析式；
(2)设函数，若在区间上是增函数，求实数的最大值.
20．已知函数.
(1)若为偶函数，写出的值（不需要证明）；
(2)当时，求在上的单调区间并加以说明；
(3)当时，函数与有两个不同的交点，若，使得成立，求的取值范围.
参考答案
1．【答案】A
【分析】
化简两集合求解即可.
【详解】
故选：A
2．【答案】D
【详解】由点是角终边上的一点，
所以，所以，
故选：D
3．【答案】C
【详解】对于A：命题“”的否定是“”，A正确；
对于B：由函数为幂函数可得，，
所以或a=2，当时，，函数fx为偶函数，
当a=2时，，函数fx为奇函数，
所以由“幂函数为偶函数”可推出“”，
由“”可推出“幂函数为偶函数”，
所以“幂函数为偶函数”的充要条件为“”，B正确；
对于C，由可得角的终边在第一象限或第二象限或在轴的非负半轴上，
当是第一象限角或第二象限角时，，
所以“”的充分不必要条件是“是第一象限角或第二象限角”，C错误；
对于D，可化为，
由，，可得，
所以函数的单调递减区间为.D正确；
故选：C.
4．【答案】B
【分析】由题意求出，再根据二倍角得正切公式即可得解.
【详解】由，得，
则.
故选：B.
5．【答案】A
【详解】将函数的图象向右平移个单位长度，得，
把所得函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的13，纵坐标不变，得，
∴，
∴.
故选：A.
6．【答案】C
【详解】设年后的研发资金开始超过200万元，所以；
可得，取对数可得，
因此最少需要4年，即该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2027年.
故选：C
7．【答案】D
【详解】在R上的奇函数在上单调递减，则在上单调递减，且，
，当时，，当时，，
由，得或或，
解得或或，因此或，
所以满足的的取值范围是.
故选：D
8．【答案】B
【分析】先确定函数的对称性，然后根据函数的对称性确定根，从而列出关于的方程组，解方程组即可求解.
【详解】因为，
所以关于对称，所以的根应成对出现，
又因为的方程恰有三个不同的实数根且，
所以该方程的一个根是，得，且，
所以，由得，
当，即，即时，，①
则，②
由①②得，解得，所以；
当，即，即时，，③
，④
由③④得，即，
解得，此时，不合题意，舍去，
综上，.
故选：B.
9．【答案】BCD
【详解】对于A，，若，则，A错误；
对于B，由，得，而，则，B正确；
对于C，由，得，显然，
，因此，C正确；
对于D，由，得，D正确.
故选：BCD
10．【答案】BD
【详解】因为函数的定义域为，，，使得成立，
所以函数的值域关于原点对称；
对于A，函数的值域为0,+∞，不关于原点对称，不合题意；
对于B，函数的值域为，关于原点对称，符合题意；
对于C，函数的值域为，不关于原点对称，不合题意；
对于D，当时，由二次函数性质可得当时，取得最小值1，即值域为；
当时，函数，此时其值域为；
则可得的值域关于原点对称，符合题意.
故选：BD
11．【答案】AC
【详解】由为正实数，设，则，
对于C，，即，C正确；
对于A，，，则，A正确；
对于B，由，得，B错误；
对于D，，，
，即，D错误.
故选：AC
12．【答案】ABD
【详解】函数，
对于A，由，得，依题意，，解得，A正确；
对于B，由选项A知，，而函数在上，
当且仅当或时，取得最大值1，则当取时，取得最大值1，
因此的图象与直线在上的交点恰有2个，B正确；
对于C，当时，当且仅当时，取得最小值，
由，知是否取到不确定，
因此的图象与直线在上的交点有1个或2个，C错误；
对于D，当时， ，由，
得，，显然值可以超过，
因此函数在上不一定单调，D正确.
故选：ABD
13．【答案】（答案不唯一）
【详解】因为对任意，都有，即函数在内单调递减，
由于，即可取，
故答案为：（答案不唯一）.
14．【答案】
【详解】依题意，扇面（曲边四边形ABDC）的面积是.
故答案为：
15．【答案】
【详解】由题意可知，的解集为，
则方程的根为1和4，所以，即，
即，
所以，恒成立，
即，，
当时，单调递减，，
所以.
故答案为：
16．【答案】25
【详解】由，得，当且仅当时，，
因此
，
当且仅当时取等号，
所以所求最小值为25.
故答案为：25
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以
则
（2）因为，为锐角，所以，
由可得，，
因为，
所以，
所以
．
因为为锐角，所以
18．【答案】(1)，函数在上是增函数，证明见解析；
(2)
【详解】（1）由函数是奇函数，定义域为，
得，则，，
此时，函数为奇函数，
函数在上是增函数，证明如下：
任取，则，
由，得，则，，，因此，
所以函数在上是增函数.
（2）由（1）知，函数在上是单调递增的奇函数，
不等式，
于是，即，解得，即，
所以不等式的解集为.
19．【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）依题意，，
由函数的最小正周期为，得，解得，
由图象关于直线对称，得，即，
而，因此，所以.
（2）由（1）得
，
令，得，
则函数的单调递增区间为，依题意，，
则，所以实数的最大值是.
20．【答案】(1)；
(2)答案见解析；
(3).
【详解】（1）函数的定义域为，
由为偶函数，得，即，
则对恒成立，于是，
所以.
（2）当时，函数，，
当时，，函数在上都单调递增，
因此函数的递增区间为；
当时，，函数在上递减，在上递增，
函数在上都单调递增，则函数在上单调递增，
因此当时，在上单调递增，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数的递增区间为；
当时，函数的递增区间为，递减区间为.
（3）当时，，由，得，
依题意，方程有两个不同的实根，
设，
①当时，由，得，（不符合要求），
所以，
函数在上单调递减，因此，
②当时，由，得是方程的两个根，
则，，
因此，则，
由，使得成立，得，
所以的取值范围是.