浙江省四校2024−2025学年高一上学期12月联考 数学试题（含解析）

这是一份浙江省四校2024−2025学年高一上学期12月联考 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知全集，，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知命题，，则命题p的否定为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
3．二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系下中的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知，都是实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．若，，，则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数在上有且仅有个零点，则实数（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数满足，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数，若正实数a，b，c互不相等，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知，，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
10．对于函数给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（ ）
A．该函数是以为最小正周期的周期函数
B．该函数的图象关于直线（）对称
C．当且仅当（）时，该函数取得最小值
D．当且仅当（）时，
11．已知，则以下结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知实数m，n满足，则 ．
13．已知，且，则 ．
14．对于，若存在，满足，则称为“类三角形”，则“类三角形”一定满足有一个内角为定值，为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知．
(1)求的值；
(2)求的值
16．已知命题，不等式恒成立；命题，使成立.
(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；
(2)若命题中恰有一个为真命题，求实数的取值范围.
17．已知某超市的新鲜鸡蛋存储温度x（单位：摄氏度）与保鲜时间t（单位：小时）之间的函数关系式为该超市的新鲜鸡蛋在存储温度为8摄氏度的情况下，其保鲜时间约为432小时；在存储温度为6摄氏度的情况下，其保鲜时间约为576小时.
(1)求该超市的新鲜鸡蛋在存储温度为4摄氏度的情况下，其保鲜时间约为多少小时；
(2)若该超市想要保证新鲜鸡蛋的保鲜时间不少于1024小时，则超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于多少摄氏度?
18．已知定义在上的函数满足，且当时，.
(1)求的值，并证明为奇函数;
(2)求证：在R上是增函数;
(3)若，解关于x的不等式.
19．若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”．
(1)判函数是否为“依赖函数”，并说明理由；
(2)若函数在定义域上为“依赖函数”，求mn的取值范围；
(3)已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数：，使得对任意的，不等式都成立，求实数s的最大值．
参考答案
1．【答案】B
【详解】因为全集，，，则，
因此，.
故选：B.
2．【答案】D
【详解】命题，的否定为：，.
故选：D
3．【答案】D
【详解】因为二次函数开口向下，所以，
所以的图象必在二四象限，可排除选项A，C
因为过点，所以，所以，
所以即过点，故选项B不正确，选项D正确；
故选：D.
4．【答案】B
【详解】取，，此时，，
满足，此时不成立；
当时，因为，
所以，
所以，
所以，
即，
综上，“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
5．【答案】C
【详解】因为在定义上单调递减，所以，
又在区间0,+∞上单调递增，所以，得到，
又，所以.
故选：C.
6．【答案】A
【详解】函数的定义域为，
因为，
所以，函数为偶函数，
因为函数在上有且仅有个零点，
则，解得.
故选：A.
7．【答案】D
【详解】因为，
令，可得；
令，可得；
两式相加可得，
令，可得；
则，即.
故选：D.
8．【答案】B
【详解】的图象如下图所示：
，
设，由图知：，即，得.
所以.
函数单调递减，与轴交于点，
由图知：.
故选：B
9．【答案】AD
【详解】对选项A，因为，所以，即，故A正确.
对选项B，，当时，，故B错误.
对选项C，，当时，，故C错误.
对选项D，由选项A知：，，所以，故D正确.
故选：AD
10．【答案】BD
【详解】对于选项A：，因为不满足对所有的x成立，所以不是以为最小正周期的周期函数，故选项A错误.
对于选项B：由图像可知，可知选项B正确.
对于选项C:当 （）或（）时，取得最小值，故选项C错误.
对于选项D：有图像知（）时，，最大值为，可得；由图像可知在一个周期内只有在内有；故选项D正确.
故选：BD
11．【答案】ABD
【解析】对于A，由题意知，是函数分别与函数，图象交点的横坐标，由的图象关于对称，则其向上，向右都平移一个单位后的解析式为，所以的图象也关于对称，又，两个函数的图象关于直线对称，故两交点关于直线对称，所以，故A正确；对于B，结合选项A得，则，即，即成立，故B正确；对于C，结合选项A得，令，则，所以在上单调递减，则，故C错误；对于D，结合选项B得，，即不等式取不到等号，故D正确.故选：ABD.
12．【答案】1
【详解】，.
所以.
故答案为：1
13．【答案】/
【详解】.
，，
，则，
．
故答案为：.
14．【答案】/
【详解】因为，所以，
所以为锐角三角形，
若也是锐角三角形，由，得，
三式相加，得（与三角形内角和定理矛盾），所以假设不成立，
所以是钝角三角形，不妨设钝角为，
则，得，
三式相加得
又因为，
所以．
故答案为：
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由诱导公式，
以及，
所以原式，
即
（2）将分子分母同时除以
（因为，否则无意义），
所以，又由（1）知代入上式得
故
16．【答案】(1)
(2).
【分析】（1）由得到关于的不等式，解得即可；
（2）首先求出命题为真时参数的取值范围，再分真假、假真两种情况讨论.
【详解】（1）命题，不等式恒成立，为真命题，
则，解得，即实数的取值范围为.
（2）命题，使成立，
当为真命题时，
即，解得或，
所以.
当命题中恰有一个为真命题时，
①为真命题，为假命题，即，所以；
②为假命题，为真命题，即，所以.
综上可得：.
17．【答案】(1)768小时
(2)2摄氏度
【分析】（1）由题意有，则，代入，计算即可得；
（2）令，结合指数函数的性质计算即可得.
【详解】（1）依题意得，则，
当时，，
即该超市的新鲜鸡蛋在存储温度为4摄氏度的情况下，其保鲜时间约为768小时；
（2）令，得，即，
则，
因为函数是单调递减函数，所以，
解得，
故超市对新鲜鸡蛋的存储温度设置应该不高于2摄氏度.
18．【答案】(1)，证明见解析；
(2)证明见解析；
(3).
【详解】（1）在R上的函数满足，
取，则，所以，
，取，则，
于是，
所以为奇函数.
（2），则，由当时，，得，
，
所以在R上是增函数.
（3）由，得，
不等式，
则，由（2）知，，即，解得或，
所以原不等式的解集为.
19．【答案】(1)不是“依赖函数”，理由见解析
(2)
(3)
【分析】（1）由“依赖函数”的定义进行判断即可；
（2）先根据题意得到，解得，再由，解出，根据的范围即可求出的取值范围；
（3）根据题意分，，考虑在上单调性，再根据“依赖函数”的定义即可求得的值，代入得恒成立，由判别式，即可得到，再令函数在的单调性，求得其最值，可求得实数的最大值.
【详解】（1）不是“依赖函数”，
当时，当且仅当，即时取等号；
当时，当且仅当，即时取等号；
所以，
所以存在，，则无解，故不是“依赖函数”；
（2）因为在上单调递增，故，即，解得，
由，故，解得，
从而，又函数在0,1上单调递增，
所以，即.
（3）①若，故在上最小值为0，此时不存在，舍去；
②若，故在上单调递减，
从而，即，解得(舍)或，
从而存在使得对任意的，有不等式都成立，
即对恒成立，
由，得.
由，可得，
又在上单调递减，故当时，，
从而，解得，
综上，故实数的最大值为.
【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：
① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；
② 数形结合(y=fx 图象在y=gx 上方即可)；
③ 讨论最值或恒成立.