初中数学北师大版（2024）八年级下册2 直角三角形精练

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级下册2 直角三角形精练，共8页。试卷主要包含了直角三角形等内容，欢迎下载使用。
2025年北师大版数学八（下）课堂达标测试
一、选择题（每题5分，共25分）
1．下列说法正确的是（ ）
A．命题一定有逆命题B．所有的定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题D．假命题的逆命题一定是假命题
2．将一副直角三角板按如图所示的方式放置，使用 30° 角的三角板的直角边和含 45° 角的三角板的直角边垂直，则∠1的度数为（ ）
A．45°B．60°C．70°D．75°
3．如图，将矩形纸片 ABCD 沿 BE 折叠，使点A落在对角线 BD 上的 A' 处.若 ∠DBC=24° ，则 ∠A'EB 等于（ ）.
A．66°B．60°C．57°D．48°
4．已知：如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，连接CD，C,D,E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：①BD=CE；②∠ACE+∠ABD=45°；③∠BAE+∠DAC=180°；④BD⊥CE．其中正确的结论是（ ）
A．②③B．①②③④C．①③④D．①②④
5．如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处．若AE＝5，BF＝3，则CD的长是（ ）
A．7B．8C．9D．10
二、填空题（每题5分，共25分）
6．命题“两直线平行，同位角相等．”的逆命题是 ．
7．如图，在△ABC中，∠A=40°，∠C=90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则∠EBC= ．
8．已知∠AOB＝60°，OC是∠AOB的平分线，点D为OC上一点，过D作直线DE⊥OA，垂足为点E，且直线DE交OB于点F，如图所示．若DE＝2，则DF＝ ．
9．如图，△ABC中，AB=AC，∠B=40°，点D是BC上一动点，将△ABD沿AD折叠得到△ADE，当△ADE与△ABC重叠部分是直角三角形时，∠BAD的度数为 ．
10．命题“等边三角形有一个角是60∘”的逆命题是 ．
三、解答题（共5题，共50分）
11．如图，点D在△ABC中，∠BDC=90°，CD=3，BD=4，AC=12，AB=13．
（1）求BC长；
（2）求图中阴影部分的面积．
12．如图，△ABC中，AD是边BC上的高，AE是边BC上的中线，∠BAC=70°，∠B=45°．
（1）求∠DAC的度数；
（2）若AD=3cm，S△ABC=6cm2，求BE的长．
13．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度数；
14．学习了三角形全等的判定与性质后，我们得到角平分线的性质定理及其逆定理.
（1）【理解定理】如图1，已知AD平分∠CAB，DC⊥AC于C，DB⊥AB于B，若CD=1，则DB= .
（2）【问题解决】如图2，点B，D，C分别是AF，AG和AE上的一点，且满足BD=CD，∠ABD+∠ACD=180°.
求证：AD平分∠BAC.
（3）【变式应用】如图3，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D为BC的中点，E，F分别为AB，AC上一点，且∠BED=∠AFD.
求△BDE和△CDF的面积和.
15． 如图，四边形CEDF，∠CED=∠EDF=∠DFC=∠FCE=90°，CE=DE=DF=CF，A是边DE上一点，过点C作BC⊥AC交DF延长线于点B．
（1）求证：BD=AE+CE；
（2）设△ACE三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．
答案解析部分
1．【答案】A
2．【答案】D
3．【答案】C
4．【答案】C
5．【答案】C
6．【答案】同位角相等，两直线平行
7．【答案】10°
8．【答案】4
9．【答案】25°或50°或75°
10．【答案】有一个角是60∘的三角形是等边三角形
11．【答案】（1）解：∵∠BDC=90°，BD=4，CD=3，
∴BC=BD2+CD2=42+32=5，
答：BC长是5；
（2）解：∵AB=13，AC=12，BC=5，
∴AC2+BC2=122+52=144+25=169=132=AB2，
∴△ACB是直角三角形，∠ACB=90°，
∴S阴影=S△ACB−S△BDC=12BC⋅AC−12BD⋅CD=12×5×12−12×4×3=24．
故图中阴影部分的面积为24．
12．【答案】（1）解：在△ABC中，∠BAC=70°，∠B=45°，
∴∠C=180°−∠BAC+∠B=65°，
∵AD是边BC上的高，
∴∠C+∠DAC=90°，
∴∠DAC=90°−∠C=25°；
（2）解：∵AD是边BC上的高，且AD=3，S△ABC=6cm2，
∴12BC⋅AD=6，
∴12×BC×3=6，
∴BC=4cm，
∵AE是边BC上的中线，
∴BE=12BC=2cm．
13．【答案】（1）证明：∵∠BAD=90°
∴∠BAC+∠CAD=90°
∵∠CAE=90°
∴∠DAE+∠CAD=90°
∴∠BAC=∠DAE
∵AB=AD,AE=AC
∴△ABC≌△ADE(SAS)；
（2）解：∵∠CAE=90°,AC=AE
∴∠E=45°
∵△BAC≌△DAE
∴∠BCA=∠E=45°
∵AF⊥BC
∴∠CFA=90°
∴∠CAF=45°
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°．
14．【答案】（1）1
（2）证明：过 D 作 DP⊥AC 于 P，过 D 作 DQ⊥AB 于 F，
∵∠ABD+∠ACD=180°
∴∠DCP=∠DBQ
∵BD=CD， ∠DPC=∠DQB=90°
∴△DCP≌△DBQ（AAS）
∴DP=DQ
∵DP⊥AC，DQ⊥AB
∴AD 平分∠EAB
（3）解：连结 AD，过 D 作 DH⊥AB 于 H，DG⊥AC 于 G
∵AB=AC ，D 为 BC 的中点
∴ AD⊥BC，DA 平分∠BAC
∵ DH⊥AB，DG⊥AC，DA 平分∠BAC
∴DH=DG
∵∠BED=∠AFD，DH=DG，DH⊥AB，DG⊥AC
∴△DHE≌△DGF（AAS）
∴DE=DF
可证△BDH≌△CDG
由 AB=5,BC=6 可得 DH=125,BH=95
△BDE 和 △CDF 的面积和 =2△BDH的面积 =2×12×125×95=10825.
15．【答案】（1）证明：如图所示：
∵∠CED=∠EDF=∠DFC=∠FCE=90°，BC⊥AC，
∴∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，∠CFB=90°，
∴∠1=∠2，∠CEA=∠CFB=90°，
在△CBF和△CAE中，
∠1=∠2∠CEA=∠CFB=90°CF=CE，
∴△CBF≌△CAE(AAS)，
∴BF=AE，
又∵CE=DF，
∴BD=BF+DF=CE+AE．
（2）证明：由（1）可知：△CBF≌△CAE，
∴S△CBF=S△CAE，BC=AC=c，BF=AE=a，
∴四边形ACBD的面积=正方形CEDF的面积，
∴12AC⋅BC+12AD⋅BD=CE2，
即AC⋅BC+AD⋅BD=2CE2，
∵DF=CE=DE=a，
∴AD=DE−AE=a−b，BD=CE+AE=a+b，
即c2+(a−b)(a+b)=2a2，
整理得：c2=a2+b2．