七年级数学开学摸底考（北京专用）-2024-2025学年初中下学期开学摸底考试卷.zip

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（考试时间：120 分钟 试卷满分：100 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教版 2024 七年级上册全部。
第一部分（选择题 共 16 分）
一、选择题（共 16 分，每题 2 分）第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1．
A．
【答案】
【分析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数是互为相反数”解答即可．
【解答】解： 的相反数是 2024，
故选：
【点评】此题考查了相反数的定义，熟记定义是解题的关键．
的相反数是
B．2024
C．
D．
．
2．一种面粉的外包装袋上标有“净含量：
测量了下面 4 袋，其中不标准的为
”，质监工作人员为了解这种面粉的质量是否标准，
．
A．50.01
【答案】
【分析】由题意可得合格范围，根据有理数的大小比较，即可解答．
【解答】解：由题意可得，合格的范围是 之间，
，符合标准，故不符合题意；
，不符合标准，故符合题意；
B．51.01
C．49.95
D．50.05
到
、
、
、
，符合标准，故不符合题意；
，符合标准，故不符合题意；
、
故选：
．
1 / 17

【点评】本题考查了正数和负数在生活中的应用，有理数大小的比较，掌握有理数大小的比较是解题的关
键．
3．2024 年 10 月 1 日清晨，北京天安门广场举行升国旗仪式，庆祝中华人民共和国成立 75 周年，共有 123000
名来自五湖四海的游客和市民在天安门广场观看升国旗仪式．将 123000 用科学记数法表示为
A．
B．
C．
D．
【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为
的形式，其中
，
为整数．确定 的值时，要看把原数
变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值
当原数的绝对值 时， 是负数．
时， 是正数；
【解答】解：
故选：
．
．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为
整数，表示时关键要正确确定 的值以及 的值．
的形式，其中
， 为
4．数轴上的点 距原点 5 个单位长度，将点 向右移动 3 个单位长度至点 ，则点 表示的数是
A．8
B．2
C． 或 2
D．8 或
【答案】
【分析】根据数轴上的点表示的数解决此题．
【解答】解：由题意得， 表示的数可能为 5 或
．
点
点
表示的数是
表示的数是 8 或
．
或
．
．
故选：
【点评】本题主要考查数轴上的点表示的数，熟练掌握数轴上的点表示的数是解决本题的关键．
5．如图，数轴上点
、
对应的有理数分别为
、
，则下列结论正确的是
A．
B．
C．
D．
【答案】
【分析】根据数轴可得
，据此逐一判断各选项即可．
，
【解答】解：由数轴可知，
2 / 17

，
四个选项中，只有 选项中的结论正确，
故选：
．
【点评】本题主要考查了实数与数轴，熟练掌握数轴与实数的关系是关键．
6．若
A．
，则下列等式变形不正确的是
B．
D．
C．
【答案】
【分析】根据等式的性质进行判断．
【解答】解： 、如果 ，那么
，原变形正确，故此选项不符合题意；
、如果
、如果
、如果
，那么原变形不正确，故此选项符合题意；
，那么
，且
，原变形正确，故此选项不符合题意；
，原变形正确，故此选项不符合题意．
故选：
．
【点评】本题考查了等式的性质．解题的关键是掌握等式的性质：性质 1、等式两边加同一个数（或式子）
结果仍得等式；性质 2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
7．下雨时汽车的雨刷会把玻璃上的雨水刷干净，运用数学知识解释这一现象为
A．点动成线
【答案】
【分析】根据“点动成线，线动成面，面动成体”进行判断即可．
B．线动成面
C．面动成体
D．面面相交成线
【解答】解：汽车的雨刷器的“橡胶条”可近似看作线段，下雨时汽车的雨刷会把玻璃上的雨水刷干净，
运用数学知识解释这一现象为线动成面，
故选：
【点评】本题考查点、线、面、体，掌握“点动成线，线动成面，面动成体”是正确解答的关键．
8． 的所有可能的值有 个．
．
3 / 17

A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】
【分析】分当
、
、
都是正数时，当
、
、
都是负数时，当
、
、
一正，两负时，当 、 、 一
负，两正时，四种情况去绝对值后计算求解即可．
【解答】解：当 都是正数时，则原式
、
、
；
当
当
、
、
、
、
都是负数时，则原式
；
一正，两负时，不妨设 是正数，则
；
；
当
、
、
一负，两正时，不妨设 是负数，则
综上所述，
故选：
的值为
或
，共有 4 种，
．
【点评】本题主要考查了化简绝对值，有理数的四则混合计算，分类讨论是关键．
第二部分（非选择题 共 84 分）
二、填空题（共 16 分，每题 2 分）
9．比较大小：
．
【分析】首先求出两个负数的绝对值，再根据两个负数绝对值大的反而小，即可得出结果．
【解答】解：
；
，
，
，
故答案为：
．
【点评】本题考查了有理数的大小比较法则、绝对值的求法；熟记两个负数绝对值大的反而小是解决问题
的关键．
10．多项式
是
二
次
项式．
【答案】二，三．
【分析】根据多项式的性质进行解答．多项式的次数是多项式中最高次项的次数，多项式的项数为组成多
项式的单项式的个数．
【解答】解：多项式
故答案为：二，三．
由三个单项式组成，最高次项是
，次数是 2．
【点评】本题考查多项式的项数，次数的求解．多项式中含有单项式的个数即为多项式的项数，包含的单
4 / 17

项式中未知数的次数总和的最大值即为多项式的次数．
11．已知
，则 的值是
．
【答案】
．
【分析】直接利用非负数的性质以及偶次方的性质得出
， 的值，进而得出答案．
【解答】解：
，
，
，
，
解得：
，
则
的值是：
．
故答案为：
．
【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出
，
的值是解题关键．
12．多项式
的值与
，
的取值无关，则 的值为
1
．
【答案】1．
【分析】先将原式合并同类项，再根据题意可得关于
【解答】解：
、
的方程，求出
、 的值，进而可得答案．
，
多项式
的值与 ， 的取值无关，
，
，
，
，
，
故答案为：1．
【点评】本题考查了合并同类项，代数式求值，熟练掌握合并同类项法则是解题的关键．
13．计算：
．
【答案】
．
【分析】将原式的度和分对应相加即可．
【解答】解：原式
故答案为：
，
．
【点评】本题考查度分秒的计算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
5 / 17

14．已知
是关于 的一元一次方程，则 的值为
．
【答案】
．
【分析】根据一元一次方程的概念可得
且
，求解即可．
【解答】解：
是关于 的一元一次方程，
且
．
，
故答案为：
．
【点评】本题主要考查一元一次方程的定义，绝对值，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
15．如图，在半径为 的圆形钢板上挖去四个半径为 的小圆，则剩余部分的面积为
果保留
（结
【答案】
【分析】根据图形可知，剩余部分的面积等于大圆的面积减四个小圆的面积．
【解答】解：剩余部分的面积为：
故答案为：
【点评】本题考查列代数式，解答本题的关键是明确题意，掌握圆的面积计算公式．
16．一个小正方体的六个面分别标有数字 1，2，3，4，5，6．将它按如图所示的方式顺时针滚动，每滚动
算 一 次 ， 则 滚 动 第 2023 次 时 ， 小 正 方 体 朝 下 一 面 标 有 的 数 字 是
．
．
．
5
．
【答案】5．
6 / 17

【分析】先找出正方体相对的面，然后从数字找规律即可解答．
【解答】解：由图可知：
1 和 6 相对，2 和 5 相对，3 和 4 相对，
将正方体沿如图所示的顺时针方向滚动，每滚动
算一次，正方体朝下一面的点数依次为 2，3，5，4，
且依次循环，
，
滚动第 2023 次后，骰子朝下一面的点数是：5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，先找出正方体相对的面，然后从数字找规律是解题的关
键．
三、解答题（共 68 分，第 17-19 题每题 5 分，第 20-21 题每题 6 分，第 22-23 题每题 5 分，第 24 题 6 分，
第 25 题 5 分，第 26 题 6 分，第 27-28 题每题 7 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17．计算：
（1）
（2）
；
．
【答案】（1）50；
（2）1．
【分析】（1）先把除法转化为乘法，再逆用乘法的分配律进行求解即可；
（2）先算乘方，括号里的减法，绝对值，再算乘法，最后算加法即可．
【解答】解：（1）
；
（2）
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．
【点评】本题主要考查有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
18．化简：
（1）
（2）
；
．
【答案】（1）
（2）
；
．
【分析】合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；据此解
答各题即可．
【解答】解：（1）原式
（2）原式
；
．
【点评】本题考查合并同类项，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
19．解方程：
（1）
；
；
（2）
．
【答案】（1）
（2）
．
【分析】（1）方程移项，合并同类项，把 系数化为 1，即可求出解；
（2）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把 系数化为 1，即可求出解．
【解答】解：（1）移项得：
，
合并得：
解得：
，
；
（2）去分母得：
去括号得：
，
，
移项得：
，
合并得：
解得：
，
．
【点评】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解本题的关键．
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20．本学期学习了一元一次方程的解法，下面是小明同学的解题过程：
解方程：
第一步，
解：原方程可化为：
第二步，
方程两边同时乘以 15，去分母，得
，
第三步，
去括号，得
第四步，
第五步，
第六步，
移项，得
合并同类项，得
系数化 1，得
．
所以
是原方程的解．
上述小明的解题过程从第
四
步开始出现错误，错误的原因是
．请你写出正确的解题过程．
【答案】四，去括号时 20 没有改变符号；正确的解题过程见解答．
【分析】按照一元一次方程的求解步骤逐步检查并纠正即可．
【解答】解：小明的解题过程从第四步开始出现错误，错误的原因是去括号时 20 没有改变符号．
故答案为：四，去括号时 20 没有改变符号．
正确的解题过程如下：
去括号，得
移项，得
，
，
合并同类项，得
系数化 1，得
，
，
所以
是原方程的解．
【点评】本题考查一元一次方程的解，掌握其求解步骤是本题的关键．
21．解答下列问题：
（1）已知 是 5 的相反数，
比
小
，求
与
的差；
（2）求 的绝对值的相反数与 的相反数的差．
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）由题意得
．
，
，再代入
计算可得．
（2）根据题意列出式子计算即可．
【解答】解：（1）根据题意知
，
，
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则
．
（2）由题意得：
．
【点评】本题主要考查有理数的加法，解题的关键是根据题意列出算式并熟练掌握有理数的加减运算法则．
22．如果关于 的多项式
【答案】 或 8
与多项式
的次数相同，求
的值．
【分析】先根据两个多项式的次数相等求出 的值，再代入计算即可．
【解答】解： 关于 的多项式
与多项式
的次数相同，
当
当
时，
时，
的次数为 2，
的次数为 4，
当
时，
，
；
当
时，
，
．
综上可知，
的值为 或 8．
【点评】本题考查多项式的次数，代数式求值，解题的关键是注意分
和
两种情况分别讨论．
23．补全解题过程．
如图，
解：
，
，
，
，
平分
．
．求
的度数．
平分
，
（依据：
．
．
．
10 / 17

【答案】
；100； ；角平分线的定义；10．
【分析】利用已知和图形，根据交的和差关系恰当填空即可．
【解答】解：
平分
，
，
．
，
．（角平分线的定义）
．
．
；100； ；角平分线的定义；10．
故答案为：
【点评】本题主要考查了角平分线定义的应用以及角的计算．利用图形计算角的和差是解题的关键．
24．如图为城铁房山线和燕房线的一部分线路，“十一”假期的某天，晓丽参与多地志愿者服务活动，需要
多次乘坐此线路．她从阎村站出发，先后七次乘坐城铁，最后返回阎村站，如果规定向东为正，向西为负，
当天晓丽的乘车站数按先后顺序依次记录如下表（单位：站）
次数
第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
第六次
第七次
乘车站数
（1） 的值为
（2）晓丽本次志愿活动向西最远到了
（3）若相邻两站之间乘车平均用时为 3 分钟，求晓丽本次志愿活动期间乘坐城铁所用时间总和为多少分钟？
；
站（填写站名）；
【答案】（1）
（2）马各庄；
；
11 / 17

（3）78 分钟．
【分析】（1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可；
（2）分别计算每次距阎村站的站数及方向，从而求得答案；
（3）根据绝对值的实际意义列式计算即可．
【解答】解：（1）
，
故答案为：
；
（2）第一次：
第二次：
第三次：
第四次：
第五次：
第六次：
第七次：
；
；
；
；
；
；
；
则晓丽本次志愿活动向西最远到了马各庄站，
故答案为：马各庄；
（3）
（站 ，
（分钟），
即晓丽本次志愿活动期间乘坐城铁所用时间总和为 78 分钟．
【点评】本题考查正数和负数，绝对值及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的
关键．
25．列方程解应用题：
门头沟盛产名特果品，东山的京白梨，灵水的核桃，柏峪的扁杏仁，龙泉雾的香白杏，火村红杏，太子墓
的红富士苹果，陇驾庄盖柿都是上等的干鲜果品，有的曾为皇宫供品，至今在国内享有盛名．秋收季节，
某公司打算到门头沟果园基地购买一批优质苹果．果园基地对购买量在 1000 千克（含 1000 千克）以上的
有两种销售方案，方案一：每千克 10 元，由基地送货上门；方案二：每千克 8 元，由顾客自己租车运回．已
知该公司租车从基地到公司的运输费为 5000 元．
12 / 17

（1）公司购买多少千克苹果时，选择两种购买方案的付款费用相同；
（2）如果公司打算购买 3000 千克苹果，选择哪种方案付款最少？为什么？
【分析】（1）设公司购买 千克苹果时，根据两种购买方案的付款费用相同得到：
，解方程
即可；
（2）分别求得当
时，分析
与
的大小关系，得出不等式的解集可以得出购买方案付款
的多少问题．
【解答】（1）解：设公司购买 千克苹果时，选择两种购买方案的付款费用相同．
根据题意，得：
解得：
．
答：公司购买 2500 千克苹果时，选择两种购买方案的付款费用相同．
（2）当
时，
（元
（元
选择方案二付款最少．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合
适的等量关系，列出方程，再求解．
26．某种产品的形状是长方体，长为
（1）求长方体的体积；
，它的展开图如图．
（2）请为厂家设计一种包装纸箱，使每箱能装 8 件这种产品，要求设计时不计空隙且该纸箱所用材料最少
（纸箱的表面积最小），并请求出你设计的纸箱的表面积．
13 / 17

【答案】（1）
；（2）
．
【分析】（1）根据已知图形得出长方体的高进而得出答案；
（2）根据长方体的表面积公式计算即可．
【解答】解：（1）设长方体的高为
，则长方形的宽为
，根据题意可得：
，
解得：
，
所以长方体的高为
长方体的体积为：
（2） 长方体的高为
，宽为
，长为
；
，
，宽为
，长为
的面重叠在一起，纸箱所用材料就尽可能少，
的包装纸箱，
，
装 8 件这种产品，应该尽量使得
故 8 件这种产品可以用
的面积最大，
的面重叠在一起，纸箱所用材料就尽可能少，
设计的包装纸箱为
，
规格，该产品的侧面积分别为：
，
纸箱的表面积为：
．
答：纸箱的表面积为 384
．
【点评】本题考查几何体的展开图、几何体的表面积，掌握相应的定义是关键．
27．定义：如图①，射线 的内部，图中共有 3 个角：
个角是另一个角的 3 倍，则称射线 的“巧分线”．
的“巧分线”，则
在
，
，
．若其中有一
是
（1）如图①，若
，且射线
是
的度数
或
或
或
；
14 / 17

（2）如图②，若
，射线
绕点
从
位置开始，以每秒 的速度顺时针旋转，同时射线
第一次成 角时，射线 和射线 同时停止旋
是 的“巧分线”．
绕点 以每秒 的速度顺时针旋转，当
与
转．设旋转的时间为 秒，求 为何值时，射线
【答案】（1）
（2）
或
或
或
；
或
或 20．
【分析】（1）根据“巧分线”定义即可求解；
（ 2） 根 据 “ 巧 分 线 ” 定 义 分 4 种 情 况 ： 当
时，当 时，分别求解即可．
【解答】解：（1） 的“巧分线”，
时 ， 当
时 ， 当
，且射线
或
在
或
或
，
或
或
或
；
故答案为：
或
或
或
（2）根据题意得：
当
时，则
时，则
，
解得
当
；
，
解得
；
；
当
时，则
时，
，
解得
当
，
解得
．
15 / 17

此时
，故
或 20 时，射线 是
不符合题意，舍去；
的“巧分线”．
综上，当 为
或
【点评】本题考查了新定义，角度的计算，一元一次方程的应用，掌握“妙分线”定义是解答本题的关键．
28．定义：数轴上有三个点
，
，
，如果点
到
、
两个点的距离成三倍，则称点
是
的“三
倍关联点”．
例如，如图 1，点 表示的数是 ，点 表示的数是 5，表示 的点 到点 的距离是 2，到点 的距离
是 6，点 到点 的距离是到点 距离的 3 倍，那么称点
（1）如图 2，点 表示的数是 ，点 表示的数是 2，点
是
的“三倍关联点”．
，
分别表示数 0，1，则两个点中是
的
“三倍关联点”的是
．
（2）如图 3，点 表示的数是 ，点 表示的数是 3，点 是数轴上一动点，当其恰好是
的“三倍
关联点”时，求 点表示的数．
（3）点 表示的数是 3，点 表示的数是
，点 表示的数的最大值为 1，最小值为 ，若点
的最大值为
是
的“三倍关联点”，则 的最小值为
，
．
【答案】（1） ；（2） 点表示的数为
或
或 1 或 7；（3）：
； ．
【分析】（1）利用“三倍关联点”的定义判断即可；
（2）设 点表示的数为 ，利用分类讨论的思想方法，依据题意列出方程解答即可；
【解答】解：（1）
，
16 / 17

点不是
的“三倍关联点”；
，
，
，
是
的“三倍关联点”．
；
故答案为：
（2）设 点表示的数为
，
①当
时，由题意得：
，
．
②当
时，由题意得：
或
，
解得：
③当
或 1．
时，由题意得：
，
．
综上， 点表示的数为
或
或 1 或 7．
（3）当 表示的数为 ，点 在点 的左侧时， 取得最小值，
，
．
当
表示的数为 1，点 在点
，
中间时， 取得最大值，
，
．
的最小值为
故答案为：
，
．
的最大值为 ．
；
【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴，分类讨论的思想方法，本题是新定义型，利用新定
义的规定列出方程是解题的关键．
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