河北省2024-2025学年高三上学期质量检测二数学试题（含解析）

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由可得：，所以，，所以，．故选：．
2【答案】．【详解】复数满足，
，．故选：．
3【答案】．【详解】，
，即，非负实数，，，，
，
当且仅当时取等号，的最小值为2．故选：．
4【答案】D【详解】由得，因此可知方向相反，且，
对于A, ，由于与的关系不确定，故A错误，
对于B，由于，故B错误，
对于C，，所以，故C错误，
对于D，，故D正确，故选：D
5【答案】．【详解】根据辅助角公式可知，，
由题意可知，
所以，
对于项，当 时，， 正确；
对于项，令，此时函数 单调递增，故正确；
对于项，，，则当时，，此时有两个零点，即，正确．
故选：．
6．【答案】．【详解】由题意，令，则方程的解为1，
所以，解得，
故可得，显然当时，；
当时，；当时，或4．由题意可得．故选：．
7【答案】B．【详解】因为，则，
由，得x2＞1，x3＞0，作函数的图象，同时作出y＝m，如上图，变换m的值可以发现x3＞x2＞x1，x2＞x1＝x3，x2＞x1＞x3均能够成立，x3＞x1＞x2不可能成立．故选：B．
8【答案】．【详解】因为，
由正弦定理可得，可得，
以所在直线为轴，轴经过点，则，
设，
可得
则表示轴上的点与和的距离和，
利用对称性关于轴的对称点为，
可得的最小值为．
故选：．
9【答案】．【详解】，
，，，与向量平行的单位向量为，向量在方向上的投影向量为．
故选：．
10【答案】．【详解】．因为，所以，，又，所以，错；
．若，且，则，三角形有两解，正确；
．若为锐角三角形，则，，所以，，，，正确；
．若为边上的中点，则，，
又，，
，，当且仅当时等号成立，
所以，所以，当且仅当时等号成立，正确．
故选：．
11．【答案】．【详解】由题意得，
由于有两个不同的极值点，，
即有2个正数根，，则，，
故需满足，解得，
对于，，错误；
对于，故，
令，，
即在上单调递减，故，
即，正确；
对于，
，正确；对于，，
可看作曲线上两点，，，连线的斜率，
由于，故不妨设，，
由于，则曲线在处的切线斜率为1，
由于，，故，，，连线的斜率小于1，
即，所以，即，正确．
故选：．
12．【答案】【详解】解：因为 且，
所以，
又因为，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列，
所以.
13.【答案】【详解】已知，满足，，
则，
所以，
所以．
14．【答案】8【详解】解：因为a2+b2+ab＝c2，即a2+b2﹣c2＝﹣ab，
由余弦定理可得a2+b2+﹣c2＝2abcsC，所以csC＝﹣，而C∈（0，π），所以C＝，
因为•＝||•||cs（π﹣C）＝﹣bacsC＝ab，由S△ABC＝absinC＝（b+a）•CMsin，即ab＝•2（a+b），
可得ab＝2（a+b）≥2•2，当且仅当a＝b时取等号，即ab≥16，
所以•＝ab≥•16＝8．即•的最小值为8．
15．【详解】（1）等差数列的前项和为，，，
，-------------------------3分
解得，，----------------------6分
．的通项公式为．----------------------8分
（2），----------------------10分
数列的前项和为：
．--13分
16．【详解】（Ⅰ）因为，由正弦定理可得，2分
又，
所以，可得，------4分
又，所以可得，又，所以；-----6分
（Ⅱ）因为，，
由正弦定理，可得，，-----8分
又，所以，可得，-----10分
由余弦定理，可得，---13分
所以．-----15分
17.【详解】（1）由已知得，则，又，-----2分
所以的图象在点处的切线方程为，-----4分
将点2,1代入得，解得.-----6分
（2）所以，定义域为，
所以，-----8分
令，则，
易得在上恒成立，所以在上单调递增，-----10分
又，所以当时，，即，在上单调递减，
当时，，即，在上单调递增，-----13分
所以的极小值为，无极大值.-----15分
18．【详解】（1）因为，
由正弦定理得：，-----2分
所以，
因为，
所以，
即，
即，整理得，
因为，所以，所以，-----4分
即，所以，-----6分
因为，所以，可得；-----8分
（2）因为，，所以的面积，-----10分
由正弦定理得．-----12分
由于为锐角三角形，故，，
因为，所以，----14分
可得，，可得，-----16分
从而．因此，面积的取值范围是，．-----17分
19．【详解】（1）证明：设，-----2分
当x∈（0，π）时，，
所以g（x）在（0，π）上单调递减．-----4分
又因为，
所以g（x）在上有唯一的零点a，-----6分
即函数f′（x）在（0，π）上存在唯一零点，
当x∈（0，a）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，a）上单调递增；
当x∈（a，π）时，f′（x）＜0，f（x）在（a，π）上单调递减，
所以f（x）在（0，π）上存在唯一的极大值点a．-----8分
（2）①由（1）知：f（x）在（0，π）上存在唯一的极大值点，
所以，
又因为，
所以f（x）在（0，a）上恰有一个零点，-----10分
又因为f（π）＝lnπ﹣π＜2﹣π＜0，
所以f（x）在（a，π）上也恰有一个零点．-----12分
②当x∈[π，2π）时，则sinx≤0，f（x）≤lnx﹣x，
设，
所以h（x）在[π，2π）上单调递减，所以h（x）≤h（π）＜0，
所以当x∈[π，2π）时，f（x）≤h（x）≤h（π）＜0恒成立，
所以f（x）在[π，2π）上没有零点．-----14分
③当x∈[2π，+∞）时，f（x）≤lnx﹣x+2，
设，
所以φ（x）在[2π，+∞）上单调递减，
所以φ（x）≤φ（2π）＝ln2π﹣2π+2＜2﹣2π+2＝4﹣2π＜0，
所以当x∈[2π，+∞）时，f（x）≤φ（x）≤φ（2π）＜0恒成立，
所以f（x）在[2π，+∞）上没有零点．-----16分
综上，f（x）有且仅有两个零点．-----17分