人教版（2024）七年级下册6.3 实数教学设计

这是一份人教版（2024）七年级下册6.3 实数教学设计，共86页。教案主要包含了课程性质，课程理念，课程目标，课程内容，课程实施，单元目标检测，单元教学结构图，评价方式等内容，欢迎下载使用。

课时教学设计模板
课时教学设计模板
单元基本信息
学科
数学
学校
年级
七年级
设计者
指导者
七年级备课组、
数学教研组
教学情景：2的由来
古希蜡有一位著名的数学家叫毕达哥拉斯，当时他成立“毕达哥拉斯学派”。毕达哥拉斯学派的理论基础就是我们上学期学过的有理数理论，他们相信宇宙万物总可以归结为简单的整数和整数之比。并且毕达戈拉斯还发现并证明了“直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方”，证明了这个定理后，他们学派内外都非常高兴，宰了100头牛大肆庆贺，这个定理在欧洲叫“毕达哥拉斯定理”或“百牛定理”，我国叫勾股定理。
毕达戈拉斯有一个学生叫希帕索斯，他勤奋好学，一天，他研究了这样的问题：“边长为1的正方形，其对角线的长是多少呢？”他根据毕达戈拉斯定理，发现了对角线的长度就是2，但是2却不能用整数或整数之比来表示，他非常兴奋同时又感到迷惑，因为根据老师的观点，2是不应该存在的，但对角线又是客观地存在，他无法解释，他把自己的研究结果告诉了老师，并请求给予解释。
毕达哥拉斯思考了很久，都无法解释这种“怪”现象，他惊骇极了，又不敢承认2是一种新数，否则，这就动摇了他们“万物皆数”的根本信念，整个学派的理论体系将面临崩溃，最后，他采取了错误的方式：下令封锁消息，也不准希帕索斯再研究和谈论此事。
希帕索斯后来通过长时间的思考，他认为2是客观存在的，只是老师的理论体系无法解释它，这说明老师的观点有问题。后来，他不顾一切的将自己的发现和看法传扬了出去，毕达哥拉斯恼羞成怒，无法容忍这个“叛逆”。决定对希帕索斯严加惩罚。希帕索斯听到风声后，连夜乘船逃走了。然而，他没想到，毕达哥拉斯学派的打手最后追上了他，并将他投入到了浩瀚无边的大海之中，希帕索斯为2的诞生献出了自己的宝贵的生命！
然而，真理是不会被淹没的。人们很快发现不可公度并非罕见：面积等于3，5，6，17等等的正方形的边不可公度。新的问题促使人们重新认识曾经被看成是完美无缺的有理数理论，数学发展出现了“第一次危机”，这次危机使毕达哥拉斯学派迅速瓦解。
课程标准模块（义务教育数学课程标准（2022年版）
一、课程性质
1、实数是数学学科中的基础内容，为学生后续学习更高层次的数学知识提供了必要的支撑。实数课程涵盖了实数的定义、性质、分类以及运算规则等内容，这些内容都是学生进一步学习代数、几何、微积分等数学分支的基础。
2、实数课程具有完整的系统性。从实数的定义出发，逐步引出实数的性质、分类和运算规则等内容，形成一个逻辑严密、结构完整的知识体系。这种系统性有助于学生全面理解实数概念，掌握实数运算技能，并能够灵活运用所学知识解决实际问题。
3、实数课程具有一定的抽象性。实数的概念、性质及运算规则涉及到较为抽象的数学思维和逻辑推理。特别是无理数的概念，其非直观性和无限逼近的性质需要学生具备一定的抽象思维能力。这种抽象性有助于培养学生的逻辑思维能力和数学素养。
4、实数课程具有广泛的应用性。实数是现实世界中数量关系的抽象表示，它在日常生活、科学研究、工程技术等领域都有广泛的应用。因此，实数课程不仅要求学生掌握理论知识，还要注重培养学生的应用能力和解决实际问题的能力。
二、课程理念
1、确立核心素养导向的课程目标。在实数的教学过程中，不仅要注重知识的传授，更要强调对学生抽象能力、运算能力、推理能力、创新意识的培养。通过实数的学习，使学生掌握必要的数学知识，形成熟练的数学技能，同时培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
2、设计体现结构化特征的课程内容。实数课程不仅要注重与其他数学分支的联系，还要强调与现实生活的联系。通过引入实际问题的例子，让学生感受到实数的应用价值和实际意义，提高他们的学习兴趣和积极性。
3、实施促进学生发展的教学活动。实数的教学不应仅仅局限于传统的讲授式教学，而应结合多种教学方法，如探究式教学、合作学习等。这些教学方法能够激发学生的学习兴趣，培养他们的合作精神和问题解决能力。
4、探索激励学生和改进教学的评价。在实数的教学中，我们要建立科学的评价体系，采用多种评价方式，如课堂观察、作业评价、测试成绩等，来全面了解学生的学习情况。同时，我们还要及时给予学生反馈，指出他们的优点和不足，帮助他们制定改进计划，以更好地促进他们的发展。
5、促进信息技术与数学课程融合。合理利用现代信息技术提供丰富的学习资源，设计生动的教学活动，在实际问题解决中创设合理的信息化学习环境，提升学生的探究热情，开拓学生的视野，激发学生的想象力，提高学生的信息素养。
三、课程目标
总目标
通过义务教育阶段的数学学习，学生逐步会用数学的眼光观察现实世界， 会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界。学生能：
1. 获得适应未来生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。
2. 体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，在探索真实情境所蕴含的关系中，发现问题和提出 问题，运用数学和其他学科的知识与方法分析问题和解决问题。
3. 对数学具有好奇心和求知欲，了解数学的价值，欣赏数学美，提高学习数学的兴趣，建立学好数学的信心，养成良好的 学习习惯，形成质疑问难、自我反思和勇于探索的科学精神。
学段
目标
经历有理数、实数的形成过程，初步理解数域扩充；掌握数与式的运算，能够解释运算结果的意义；会用代数式描述现实问题中的数量关系和变化规律，形成合适的运算思路解决问题；形成抽象能力、模型概念，进一步发展运算能力。在项目学习中，综合运用数学和其他学科知识与方法解决问题，积累数学活动经验，发展核心素养。
探索在不同的情境中，从数学的角度发现和提出问题，综合运用数学和其他学科的知识从不同的角度寻求分析问题和解决问题的方法，在与他人合作交流解决问题的过程中能够严谨、准确的表达自己的观点，并能较好的理解他人的思考方法和结论，能够回顾解决问题的思考过程，反思解决问题的方法和结论形成批判性思维和创新意识。
关注社会生活中与数学相关的信息，主动参与数学活动，在解决数学问题的过程中，能够克服困难，树立学好数学的信心，感受数学在实际生活中的应用，体会数学的价值，养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑的学习习惯。
四、课程内容
内容
要求
1. 了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，了解实数与数轴上的点一一对应。
2. 能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小。
3. 能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值。
4. 了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。
5. 了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算求千以内完全立方数（及对应的负整数）的立方根，会用计算器计算平方根和立方根。
6. 能用有理数估计一个无理数的大致范围。
7. 了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算。
8. 了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算
学业
要求
1. 了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，感悟数的扩充。
2. 初步认识实数与数轴上的点具有一一对应关系，能用数轴上的点表示一些具体的实数，能比较实数的大小。
3. 能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数、绝对值。
4. 知道平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示平方根、算术平方根、立方根。
5. 知道乘方与开方互为逆运算，会用乘方运算求百以内完全平方数的平方根和千以内完全立方数的立方根（及对应的负整数），会用计算器计算平方根和立方根。
6. 能用有理数估计一个无理数的大致范围；初步认识近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算，会对结果取近似值。
7. 会用二次根式（根号下仅限于数）的加、减、乘、除运算法则进行简单的四则运算。
教学
提示
数与式的教学。教师应把握数与式的整体性，一方面通过负数、有理数和实数的认识，帮助学生进一步感悟数是对数量的抽象，知道绝对值是对数量大小和线段长度的表达，进而体会实数与数轴上的点一一对应的数形结合的意义，会进行实数的运算；另一方面通过代数式和代数式运算的教学，让学生进一步理解字母表示数的意义，通过基于符号的运算和推理，建立符号意识，感悟数学结论的一般性，理解运算方法与运算律的关系，提升运算能力。
五、课程实施
学什么
1. 了解无理数和实数，实数与数轴上的点一一对应；初步了解勾股定理，能在数轴上用点表示实数，比较实数的大小，理解实数的相反数、绝对值的意义与求法；了解乘方与开方互为逆运算，能熟练求百以内完全平方数的平方根和千以内的立方根，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根；能运用乘方与开方的逆运算关系了解二次根式的概念，相应形式方程的根的判断；能熟练利用平方根、立方根的定义解相应形式的方程.
2. 能从具体的生活中，用数学的眼光发现问题并提出或转化为数学问题，利用数学的思维，利用已有的知识经验，通过类比、代数推理、数形结合、整体换元等思想将问题转化、归纳为已有知识经验的形式，探索、分析解决具体情境中的现实生活问题，建立符号意识，感悟数学结论的一般性。
3. 通过数的扩充、根号的引入，用代数式表示现实中的简单数量关系，体会数学是认识、理解、表达真实世界的工具、方法和语言，增强几何直观、符号意识，增强学生认识世界、解决真实问题的能力。
教什么
1. 通过学生最熟悉的已知正方形面积、正方体体积求边长引发思考，发现数的领域的扩充，学习算术平方根、立方根的概念。
2. 通过计算器的使用与合作探究无理数的估算与大小比较，通过算术平方根的计算化简二次根式和进行简单的二次根式运算。
3. 通过对计算、观察、对比、合作交流的探究性学习，利用整体换元和模型思想，利用平方与开平方互为逆运算，利用直接开平方法解适当形式的一元二次方程，利用平方根的性质会判断适当形式一元二次方程根的情况。
4. 通过把熟悉的直角三角形拼成正方形的实践探究活动主动探究，经过小组合作、交流，初步掌握勾股定理。
5. 通过实例经历立方根概念的产生过程，通过类比平方根的定义，自主探究立方根的定义，类比平方与开平方互为逆运算，自主探究立方与开立方互为逆运算，求一个数的立方根，会解相应形式的方程.
学到
什么
程度
1. 会求任意一个正数的算术平方根；会用字母表示任意一个正数的算术平方根；理解二次根式的双重非负性。
2. 会比较两个算术平方根的大小，会用估算或近似值的方法进行实数的大小比较，找出一个无理数的整数部分和小数部分。
3. 会求任意一个正数的平方根；会用平方根的性质判断一元二次方程根的情况；会用直接开平方法解一元二次方程。
4. 会用直接开平方法解适当形式的一元二次方程，会判断适当形式一元二次方程根的情况。
5. 初步掌握勾股定理，会利用勾股定理在数轴上表示无理数。
6. 会求任意实数的相反数、绝对值、倒数，能够进行实数范围内的运算。
使用教材版本
人民教育出版社2012年版初中数学七年级下册
单元名称
第六章 实数
单元课时数
本章教学约需9课时，具体分配如下：
6.1平方根3课时（教材P40-P46）
6.2立方根2课时（教材P49-P51）
6.3实数2课时（教材P53-P56）
数学活动1课时（教材P59）
单元小结、检测1课时
一、单元学习主题分析
主题名称
实数
主题概述
本章内容属于“数与代数”领域有关数的内容，学生在七年级上册已经系统地学过有理数，对有理数的概念和运算等有了较深的认识。本章是在有理数的基础上学习实数的初步知识，本章很多内容是有理数相关内容的延续和推广，因此，教学时时注意加强知识间的相互联系，突出类比的作用，使学生更好的体会数的扩充过程中表现出来的概念、运算等的一致性和发展变化。
本章前两节“平方根”“立方根”在内容和展开方式上是基本平行的，因此，在“立方根”的教学时充分利用了类比的方法，通过类比“平方根”展开“立方根”的内容。这样的教学方法，有助于加强知识间的相互联系，通过类比已学的知识学习新知识，使学生的学习形成正迁移。
通过学生合作探究，揭示出象这种无限不循环小数的存在，从而引入了无理数的概念，使学生把数的概念从有理数扩展到实数，对今后的数学学习有着非常重要的意义，有助于学生解决实际问题、建立数学模型，在如物理学、工程学、统计学、金融学等各个领域都有广泛的应用，并且是同学们进一步学习方程、函数等和高中、大学数学中学习函数、微积分、数列等许多概念知识的基础，在培养学生的逻辑思维能力和拓宽知识视野等方面具有不可忽视的地位。
本单元的重点是算术平方根、平方根、立方根的概念和求法以及实数的概念以及相关运算。培养学生抽象能力、运算能力、推理能力、模型观念、应用意识、创新意识等核心素养。
二、单元学习目标设计
单元学习目标
知识技能：1. 了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的算术平方根、平方根、立方根，培养学生抽象能力、推理能力、等核心素养。
2. 了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算求千以内完全立方数（及对应的负整数）的立方根，会用计算器计算平方根和立方根， 培养学生抽象能力、运算能力、推理能力、应用意识等核心素养。
3. 能用有理数估计一个无理数的大致范围，培养学生抽象能力、运算能力、推理能力等核心素养。
4.了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，了解实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值，培养学生抽象能力、运算能力、推理能力、模型观念、应用意识等核心素养。
5.能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小，培养学生抽象能力、推理能力等核心素养。
6.能进行实数范围内的四则运算，培养学生运算能力等核心素养。
过程方法：1. 经历算术平方根、平方根的概念的形成过程，理解开方运算与平方运算是互逆运算；
2. 通过引导、启发学生探索规律、合作交流总结规律等，使学生掌握从特殊到一般的研究数学问题的方法；
3. 通过动手剪直角三角形、拼图等方法，让学生感受无理数存在的必要性和合理性，同时培养动手能力和归纳总结能力；
4. 类比有理数的相反数和绝对值的定义总结无理数的内容，让学生掌握类比学习的方法。
渗透数形结合的重要思想方法。
6. 通过对被开方数和算术平方根倍数变化规律的探索，掌握从数学情境中抽象概括出数与式。
7. 建立符号意识，感悟数学结论的一般性。
情感、态度与价值观：1. 通过简洁易懂的情境引入，让学生发现、体验数学是与实际生活密切联系的，一切问题的起源都来源于生活的需要；
2. 通过探究活动培养学生的动手能力，锻炼学生克服困
难的意志力；
3. 通过对问题的不断深入探究，培养学生“刨根问底”
的钻研精神，同时建立知识之间的联系，树立信心，激
发兴趣。
4. 掌握相关运算的求解方法，合理解释运算结果，形
成一定的运算能力、推理能力和抽象概括能力。
5. 体会知识的连贯性。
6. 学生经历发现问题、提出问题、分析问题和解决问题
的过程，在情境中挖掘、提炼和发现数学知识，培养学
生自主学习的能力。
7. 培养学生能从具体的生活与科技操作的情境中，探究
规律，验证规律，用数学的思维探索、分析和解决具体
问题。
8. 建立知识之间的联系，体会知识之间的连贯性。
核心素养：在真实情境中提出能引发学生思考的数学问题，引导学生能够提出合理问题，引发学生认知冲突，激发学生学习动机，促进学生积极探究。让学生经历数学观察、动手实践、数学思考、数学表达、概括归纳、迁移运用等学习过程，培养学生抽象能力、运算能力、推理能力、模型观念、应用意识、创新意识等核心素养。
三、课时学习目标
课时
课时学习目标
学习目标解析
第1课时
(6.1平方根（1）)
1. 了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根。
2. 会求非负数的算术平方根，掌握算术平方根的非负性．
3.算术平方根比较大小。
教学重点： 了解算术平方根的概念，会求非负数的算术平方根。
教学难点： 根掌握算术平方根的非负性．
路径：
1.学生利用已学过的正方形面积的计算方法反推正方形的边长，通过简单的数值感知，让学生初步理解算术平方根的概念，通过图示法引导学生理解算术平方根的书写方式和读法，让学生理解求一个数的平方和求算术平方根互为逆运算（突破重点）.
通过求100、4964、
0.0001的算术平方根，学生观察小组讨论“被开方数 a 可以取任何数吗 ? 一个正数的算术平方根是什么数 ? ”归纳得到算术平方根的性质（突破难点）。
通过求100、4964、
0.0001的算术平方根，体会被开方数越大，对应的算术平方根也越大。
结果表现：
1. 会求任意一个正数的算术平方根，会用符号表示任意一个正数的算术平方根；
2. 能够理解二次根式的双重非负性。
3.能比较算术平方根的大小。
第2课时
(6.1平方根（2）)
体会无理数出现的必要性；
能够利用逼近法估算一个无理数的大小；
会用计算器求一个数的算术平方根；
探寻被开方数与算术平方根之间扩大倍数的变化规律。
教学重点：能够利用逼近法估算一个无理数的大小；
教学难点：探寻被开方数与算术平方根之间扩大倍数的变化规律。
路径：
1.学生通过用两个面积为 1 的小正方形拼成一个面积为 2. 的大正方形，并能求出大正方形的边长的过程，体会无理数出现的必要性。
3.根据算术平方根的逆运算，用逼近法估算2的大小，利用计算器验证估算的正确性（突破重点）.
4.利用计算器探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律（突破难点）.
结果表现：
体会无理数的产生与实际应用。
学生会估算一个无理数的大致范围。
会利用计算器求一个正数的算术平方根。
4.知道被开方数扩大倍数时算术平方根的变化规律。
第3课时
(6.1平方根（3）)
1.掌握平方根的概念，会求一个非负数的平方根，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别。
2.理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系；
3.能归纳得到平方根的性质特征。
4.能用符号正确地表示一个数的平方根。
教学重点： 平方根的概念和求数的平方根
教学难点： 平方根和算术平方根的联系与区别
路径：
1.通过复习算术平方根和乘方的计算，使学生观察得到这样的数有两个，通过计算和规律的寻找，得到求一个非负数平方根的基本方法，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别（突破重点、难点）.
2.通过图示完成计算体现平方与开平方互为逆运算，学生通过计算揭示开平方运算的本质．让学生体验平方和开平方的互逆关系。
3.通过计算100； 16 ；9 ；0.25；0；-9的平方根体会平方根的性质特征。
4.类比算术平方根的表示方法来表示一个正数的平方根。
结果表现：
1.会求任意一个正数的平方根。
2.归纳得到平方根的性质。
3.会用符号表示任意一个正数的平方根。
第4课时（6.2立方根（1）)
了解立方根和开立方的概念，并能熟练地求一个数的立方根的。
2.体会立方与开立方运算的互逆关系。
3.掌握立方根的性质。
4.会用符号表示立方根。
5.能区分平方根与立方根的不同。
教学重点： 了解立方根的概念及性质，会用根号表示一个数的立方根
教学难点： 了解开立方与立方是互逆运算，会用开立方运算求一个数的立方根
路径：
通过类比平方根的求法，利用魔方实际的正方体的体积求棱长的过程，以及求一个数的立方的过程，倒推求立方根的步骤（突破重点）.
2.通过类比平方根的概念讨论总结立方根的概念，体会立方与开立方运算的互逆关系（突破难点）.
3.通过立方与开立方互为逆运算求得一个数的立方根，并归纳立方根的性质（突破重点）.
4.类比平方根的表示方法，会用符号表示一个数的立方根（突破重点）。
5.通过表格对比区分平方根与立方根的区别。
结果表现：
1.了解立方根的概念。
2.利用立方与开立方运算的互逆关系会求一个数的立方根。
3.掌握立方根的性质。
4.会用符号表示立方根。
5.能区分平方根与立方根的不同。
第5课时（6.2立方根（2）)
1.能用有理数估计一个无理数的大致范围。
2.经历运用计算器探求数学规律的过程，发展合情推理能力。
教学重点：能用有理数估计一个无理数的大致范围。
教学难点：经历运用计算器探求数学规律的过程，发展合情推理能力。
路径：
类比算术平方根的估算，求解立方根的范围估算（突破重点）。
2.利用计算器完成计算，学生通过观察、思考、小组合作，共同探讨被开方数的小数点移动位数和立方根的小数点移动位数的关系（突破难点）。
结果表现：
1.学生能估计立方根的大致范围。
2.能探究得到被开方数的小数点移动位数和立方根的小数点移动位数的关系。
第6课时（6.3实数（1）)
1.了解无理数和实数的概念；会对实数按照一定的标准进行分类，培养分类能力；
2.了解实数和数轴上的点一一对应
3.了解实数范围内相反数和绝对值的意义，并求一个实数的相反数和绝对值。
教学重点： 进一步理解有理数和无理数的概念，会把实数进行分类。
教学难点： 无理数在数轴上的表示
路径：
1、通过复习分数和小数互化的形式，观察、探究得出有理数都可以化成有限小数或无限循环小数的形式，从而引出无限不循环小数叫做无理数的概念。通过学生学习经验找出常见的无理数类型（突破重点）.
2.通过类比有理数的分类，小组合作对实数进行分类讨论（突破重点）。
3.通过多媒体动态展示，将无理数在数轴上找到与之一一对应的点，使学生理解实数和数轴上的点是一一对应的（突破难点）.
4.通过学生类比有理数的相反数、绝对值的求法，探究实数的相反数、绝对值的求法。
结果表现：
会判断和区分有理数和无理数。
会对实数进行分类；
能够在数轴上找到表示无理数的点
4.能求任意实数的相反数、绝对值。
第7课时（6.3实数（2）)
1、了解在有理数范围内的运算及运算法则，运算性质等在实数范围内仍然成立，能熟练地进行实数运算；
2、实数的比较大小从而进行去绝对值的化简。
教学重点：类比整式的加减计算含有根号的实数运算。
教学难点：能利用实数比较大小从而去绝对值等化简对实数进行简单的四则运算。
路径：
1.通过计算两个立方体的表面积差，类比有理数的乘法、整式的加减，利用运算律自主探究学习解决含有根号的实数运算（突破重点）.
2、通过类比去绝对值的化简方法解决含有根号的去绝对值的化简（突破难点）.
3、通过类比有理数的运算法则和运算律解决实数的综合运算。
结果表现：
1.会进行含有根号的实数运算。
2.会进行含有根号的去绝对值的化简。
3.会进行实数范围的综合运算。
第8课时（数学活动）
1.会求正方体的棱长和圆柱侧面展开图各边的长，会在数轴上表示一个无理数。
2.会求完全立方数的立方根。
3.勤于动脑，善于归纳，学习领会那些常见计算技巧，提高运算能力。
教学重、难点：求完全立方数的立方根的方法和步骤。
路径：
1.通过学生动手操作，结合正方体和圆柱体的表面积知识确定正方体的棱长和圆柱侧面展开图各边的长，根据已有知识确定长度，制作几何体，课上小组合作交流，展示做法和成品，巩固无理数在数轴上的表示方法。
2.通过自学提纲自学，小组合作交流展示，归纳并掌握求完全立方数的立方根的一般步骤和方法（突破重、难点）。
结果表现：
1.会求正方体的棱长和圆柱侧面展开图各边的长，会在数轴上表示一个无理数。
2.会求完全立方数的立方根。
第9课时（单元小结）
1.复习巩固知识点，加深对重点概念的理解，综合提升解决问题的能力。
2.形成知识框架，加深知识点之间的联系。
教学重、难点：形成知识体系。
路径：
1.通过学生自主复习，以题带知识点的方式回忆巩固本章主要知识，加深对重点概念的理解，综合提升解决问题的能力。
2.通过知识点梳理，使学生形成知识框架，加深知识点之间的联系（突破重、难点）.
结果表现：
1.能熟练、正确完成练习，以题带知识点巩固复习。
2.能梳理知识点之间的联系。
四、学生学情分析
学情分析
1、已知内容分析（作业、调研、检测等结果分析）：
学生已经经历了第一次数的扩充，从正数扩充负数到有理数范围内。在有理数的学习中掌握了相反数、数轴、绝对值的概念，初步掌握了数形结合的思想，能借助数轴理解一个有理数的相反数、绝对值的几何意义，能熟练地求一个有理数的相反数与绝对值，并能进行有理数大小的比较。有理数运算中，在理解乘方意义的基础上已经比较熟练地掌握了有理数的乘方运算。已经学习整式加减、合并同类项的法则，并能够熟练进行计算。在有理数乘方运算中，大部分学生已熟练掌握了 1~20 的平方数，1~10 的立方数。
2、新知内容分析：
本单元知识是以实数定义与运算两大主题为核心整合设计的大单元教学。教学内容在负数引入的基础上，通过学生熟悉的正方形面积寻找正方形的边长这一真实问题情境，发现无理数的存在和学习研究的必要性。由于“无理数”对于学生来说非常陌生，在日常生活中很少接触，通过真实情境的引入确实感觉到它的存在，但感觉又很抽象，让学生对无理数的认识产生强大的兴趣。面对这样的情况，需要在学生已有经验的基础上设计适合学生，同时又有挑战性的学习任务，大大激发学生的学习兴趣与主动探究的意识，通过学生喜欢的动手实践活动的设计，借助图形帮助和促进学生对新知的理解。
3、学生学习能力分析：
大部分学生具有较强的计算能力，有些学生的计算能力还有待提高，大部分学生能积极参与活动，主动探究的意识与积极性很高，部分学生研究问题比较被动，需要老师的引导和同组成员的互助与带动作用。学生在学习有理数的相关概念，如相反数、绝对值的化简中初步渗透过整体思想，让学生对整体换元思想有了初步的了解，已经初步掌握用字母表示数，如 a的相反数是 -a，a+b的相反数是 -（a+b），把 a+b作为一个整体。在七年级上册的学习中，在学习作一条线段等于已知线段时，学生已初步掌握尺规的功能与使用，初步具有了尺规与作图和识图的能力。还有个别学生对 1~20 的平方数，1~10 的立方数掌握得不够熟练。这些问题还需要从知识本质的理解和计算的实践中不断加深理解与掌握， 从而进一步整体提升学生的计算能力。
4、学习障碍的突破策略 ：
本单元的教学内容、教学结构的设计是对前面每一节知识的深入研究，利用拼图探究无理数2，帮助寻找无理数的大小，利用数轴理解实数的相反数、绝对值。借助科学技术计算器的使用学会估算。利用乘方与开方互为逆运算理解平方根的定义。整个大单元的教学结构设计，通过富有挑战性的任务设计，让每个任务的设计都有问题链的形式引发学生不断深入地思考与实践。学生的整个学习过程是不断利用新知探究未知的过程，在探究的过程中不断深入对知识本质的理解。学生通过对问题的不断深入探究与应用，更有效地提升学生发现问题、解决问题和抽象概括、归纳总结的能力。
学习方法：
为了有效地突出重点、突破难点，本单元采用以学生自主探究、小组合作交流相结合，把无理数和实数的概念及知道实数与数轴的点的一一对应关系确定为教学重点；无理数的认识确定为教学难点。课堂上充份调动学生的积极性，启发学生进行观察、类比、分析，让参与到概念的建立，真正的让学生进行探究，突出学生教学主体的地位。
学习条件支持
教师准备多媒体以及课件、习题单，需要学生准备计算器。桌椅摆放为小组合作形式，黑板需要侧黑板辅助学生板演，教学中需要几何画板呈现实数与数轴一一对应。
五、各课时核心任务制定与评价
课时
任务
核心任务内容表述。
评价方式
第1课时（6.1平方根（1）)
任务1
创设情境导入新课：
情境 1:2003 年 10 月 15 日是我们每个中国人都值得骄傲的日子。因为这一天，“神舟五号”飞船载人航天飞行取得圆满成功，实现了中华民族千年的飞天梦想。那么，你们知道宇宙飞船离开地球进入轨道正常运行的速度是在什么范围吗 ? 这时它的速度要大于第一宇宙速度v1（m/s）而小于第二宇宙速度 v2（m/s），v1，v2的大小满足v12=gR,v22=2gR，怎样求 v1，v2 的值呢 ? 这将是本章将要学习的内容。
情境 2：学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为 25 dm2 的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应为多少？
表1：
正方形的边长
1
3
0.5
23
正方形的面积
表2：
正方形的面积
1
9
0.36
64
正方形的边长
通过情景引入，引导学生填写表1、表2，通过两个表格的填写，让学生体会两种运算的区别和联系：已知正方形的边长求正方形的面积和已知正方形的面积求正方形的边长，本质上是互为逆运算的关系，让学生初步理解算术平方根的概念（突破重点）.
对应目标1
核心素养：抽象能力、运算能力、推理能力、模型观念、应用意识。
时间：10分钟
任务2
提出问题，引发思考：如何用数学符号表示：3是9的算术平方根？
通过图示引导学生理解算术平方根的书写方式和读法，让学生理解求一个数的平方和求算术平方根互为逆运算，会用根号表示一个数的算术平方根。
对应目标1
核心素养：符号意识、抽象能力、运算能力。
时间：3分钟
任务3
分别求下列各数的算术平方根：（1）100；（2）；（3）0.49
通过观察100、4964、0.0001的算术平方根，独立思考、小组合作完成“被开方数 a 可以取任何数吗 ? 一个正数的算术平方根是什么数 ? ”归纳得到算术平方根的性质，会求非负数的算术平方根，掌握算术平方根的非负性（突破难点）．
对应目标2
核心素养：运算能力、推理能力。
时间：7分钟
任务4
比较100、4964、0.0001的算术平方根的大小，它们的大小与被开方数有什么关系？
通过观察100、4964、0.0001的算术平方根，体会被开方数越大，对应的算术平方根也越大。学生会进行算术平方根比较大小。
对应目标3
核心素养：运算能力、推理能力。
时间：5分钟
任务5
课堂小结，总结提升：请学生谈一谈本节课的收获，教师认真倾听学生的收获分享，及时肯定，鼓励学生发言，用自己的语言谈收获
畅所欲言，谈收获和学习体会，交流归纳。
时间：2分钟
任务6
评价检测：
1.16 的算术平方根是_____； 算术平方根是9的数是_____ ；

2. 36的算术平方根是______；
(2)2=_____;(−5)2的算术平方根是_______。
独立完成，反馈课堂学习情况。
时间：3分钟
第2课时（6.1平方根（2）)
任务1
创设情境，导入新课：
你能用两个面积为 1 的小正方形拼成一个面积为2的大正方形吗 ? 你能求出大正方形的边长吗 ?
图1
通过学生的操作、展示，由大正方形的面积为2及算术平方根的概念引出2的产生和必要性以及大小估计，自然过渡到本课时内容。
对应目标1
核心素养：抽象能力、运算能力、推理能力、模型观念、应用意识、创新意识、几何直观。
时间：10分钟
任务2
提出问题、解决问题：
1. 大正方形的面积是多少 ?
2. 你能根据算术平方根的意义由正方形的面积求得正方形的边长吗 ?
3. 2是多大？你有办法估算的 2大小吗？
4. 利用逼近法继续探究 3 ， 5，7的大小，用计算器验证你估算的对不对。
分组讨论， 合作完成。
老师用计算器展示操作方法和计算2的近似值，学生会估算一个无理数的大小（突破重点）
对应目标2、3
核心素养：抽象能力、运算能力、推理能力、应用意识、创新意识。
时间：7分钟
任务3
利用计算器探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律
（1）利用计算器计算下表中的算术平方根，并将计算结果填在表格中，你发
现了什么规律 ? 你能说出其中的道理吗 ?
（2）用计算器计算3（精确到 0.001），并利用你在（1）中发现的规律说出
0.03， 300，30000 的近似值，你能根据 3的值说出30是多少吗？
学生小组合作，实践操作，利用计算器探究并总结被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律（突破难点）.
对应目标4
核心素养：运算能力、推理能力、模型观念、应用意识。
时间：5分钟
任务4
例3：小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3:2．她不知能否裁得出来，正在发愁．小明见了说："别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片．"你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
学生小组合作，分析找到等量关系，设未知数列出方程，联系实际，探讨使实际情况成立的未知数的值。
核心素养：抽象能力、运算能力、应用意识。
时间：7分钟
任务5
课堂小结，总结提升：请学生谈一谈本节课的收获，教师认真倾听学生的收获分享，及时肯定，鼓励学生发言，用自己的语言谈收获。
畅所欲言，谈收获和学习体会，交流归纳。
时间：2分钟
任务6
评价检测
比较大小： 300 ○ 17，
−102 ○ −32 .
2. 已知 30在两个连续整数 a 和 b 之间，那么 a = ______， b = ________。
3. 已知5.217=2.284,52.17=7.223,
（1）则0.05217 = _______，
5217 = _______;
若 x = 0.228 4 ，那么 x = _____________。
独立完成，反馈课堂学习情况，以便查漏补缺，进一步提
升教学效果。
时间：2分钟
第3课时（6.1平方根（3）)
任务1
创设情境导入新课
复习引入：什么叫做算术平方根？判断下列各数有没有算术平方根，如果有，请求出它们的算术平方根。
填空并思考：反过来，如果已知一个数的平方，怎样求这个数？
； ； ；
； ； .
学生独立完成计算，通过计算和规律的寻找，得到求一个非负数平方根的基本方法，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别（突破重点、难点）。
对应目标1
核心素养：运算能力、推理能力、应用意识。
时间：6分钟
任务2
实践探究：完成下图计算，并说一说平方运算和开平方运算是什么关
系？
学生完成计算，通过算理解体会开平方运算和乘方运算之间的互逆关系。
对应目标2
核心素养：运算能力、推理能力。
时间：3分钟
任务3
实践探究：
1. 求出下列各数的平方根？请说明你的理由。
100; 16 ;9 ;0.25;0;-9.
2.怎么求一个数的平方根？一个数的平方根有什么特点？
3. 一个数的平方根与算术平方根有什么区别和联系？
学生完成计算100； 16 ；9 ；0.25；0；-9的平方根，通过计算巩固平方根的概念，学生观察思考、小组讨论探究、归纳总结平方根的性质特征，体会平方根与算术平方根的区别和联系。建立数学模型，通过对比加深概念的理
解与运用。巩固平方根的概念，加强运算能力。
对应目标3
核心素养：运算能力、推理能力、模型观念、应用意识。
时间：6分钟
任务4
类比探究：1.正数a的算术平方根可用表示，则正数a的平方根如何表示？你能类比算术平方根的表示方法来表示一个正数的平方根吗？
2.说出下列各式表示的意义，并求值。
学生独立思考，书写思考过程。讨论、交流、概括。
学生用文字语言表述符号语言。
学生先独立完成，再交流分享，
师生共同归纳：
一个非负数的平方根的表示方法：a 表示 a 的正的平方根（算术平方根），a 表示 a 的负的平方根，a （ a ≥0）的平方根表示为±a.
学生能用符号正确地表示一个数的平方根。
对应目标4
核心素养：符号意识、运算能力、推理能力、模型观念、应用意识。
时间：7分钟
任务5
课堂小结，总结提升：
请学生谈一谈本节课的收获，教师认真倾听学生的收获分享，及时肯定，鼓励学生发言，用自己的语言谈收获
畅所欲言，谈收获和学习体会，交流归纳，加深学生对新识的理解，促进对所学知识的反思
时间：2分钟
任务6
评价检测：
1. ( - 5)2 的平方根是________ ；
2. 平方根等于 ±7 的数是_______ ；
3. 若 5x+4 的平方根为 ±3，求 x 的值。
学生独立完成，反馈课堂学习情况。
时间：2分钟
第4课时（6.2立方根（1))
任务1
创设情境导入新课
如图所示的魔方，同学们都玩过吗 ? 若这个魔方的体积为 216 cm3 ，你能计算出此魔方的棱长是多少吗 ?
（1）在这个实际问题中，提出了怎样的一个计算问题 ?
（2）你能找出一个数，使这个数的立方等于 216 吗 ?
（3）从这个问题中可以抽象出一个什么数学概念？
学生独立思考，计算并回答，引导学生类比平方根的求法，寻找求立方根的方法，通过实际的正方体的体积，以及求一个数的立方的过程，倒推求立方根的步骤。然后将数据由特殊向一般进行推广，引导学生思考立方根的概念（突破重点）。
对应目标1
核心素养：抽象能力、运算能力、推理能力、模型观念、应用意识。
时间：7分钟
任务2
探究合作：
填空：
因为= 8，所以8的立方根是2；
因为= 0.125，所以0.125的立方根是（ ）；
因为＝0，所以0的立方根是（ ）；
因为＝－8，所以－8的立方根是（ ）；
因为＝，所以的立方根是（ ）.
（1）经计算发现正数、0、负数的立方与平方有何不同之处 ?
（2）试类比平方根的概念写出立方根的概念。
（3）立方与开立方运算是什么关系？
（4）你能归纳立方根的性质吗？
（5）类比平方根的表示方法，你能表示一个数的立方根吗？
学生独立完成，小组合作共同完成，类比平
方根的概念讨论总结立方根的概念，体会立方与开立方运算的互逆关系，
通过立方与开立方互为逆运算求得一个数的立方根，并归纳立方根的性质，类比平方根的表示方法，会用符号表示一个数的立方根（突破重、难点）。
对应目标1、2、3
核心素养：符号意识、运算能力、推理能力、模型观念、应用意识。
时间：12分钟
任务3
探究立方根与平方根的区别和联系：
平方根和立方根有什么不同？试完成下表。
项目
平方根
立方根
定义
表示方法
性质
学生合作讨论完成，归纳平方根与立方根的区别，让学生在对比中升华对知识的认识
对应目标4
核心素养：应用意识、创新意识。
时间：3分钟
任务4
探究一个数的立方根与其相反数的立方根之间的关系
：填空：
因为所以-
因为 ， ，所以 .
通过上两道题，你能得到什么结论？
学生完成计算，总结归纳得出结论：=
通过计算，观察总结规律， 培养学生的运用公式体现本质规律的能力。
对应目标3
核心素养：运算能力、推理能力、模型观念、应用意识。
时间：7分钟
任务5
求下列各式的值：
-;； (2;eq \r(3,\f(10,27)－5)；
(3)-eq \r(3,－8)+eq \r(2\f(1,4))＋eq \r(（－1）100).
学生独立完成计算、板演、展讲，师生共同纠错，当被开方数不是单独一个数时，则需先将它们进行化简，再进行开方运算，学生能正确化简。
对应目标1
核心素养：运算能力、应用意识。
时间：6分钟
任务6
课堂小结，总结提升：请学生谈一谈本节课的收获，教师认真倾听学生的收获分享，及时肯定，鼓励学生发言，用自己的语言谈收获
畅所欲言，谈收获和学习体会，交流归纳，加深学生对新识的理解，促进对所学知识的反思
时间：2分钟
任务7
评价检测：
求下列各式的值：

2.若 ，求 x 的值
3.若 ，则 a 和 b 的关系是_________。
独立完成，检验学生能否灵活应用立方根的有关知识解决问题，提升计算能力
时间：4分钟
第5课时（6.2立方根（2))
任务1
创设情境导入新课 ：太阳系八大行星是太阳系的八个大行星，按照离太阳的距离从近到远，它们依次为水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星。木星是离太阳第五颗行星，而且是最大的一颗，木星质量是地球的三百一十七点八九倍，而体积则是地球的一千三百一十六倍。木星古称岁星，是离太阳第五颗行星，而且是最大的一颗，比所有其他的行星的合质量大2倍。木星是天空中第四亮的物体（次于太阳，月球和金星；有时候火星更亮一些），早在史前木星就已被人类所知晓。
已知地球的体积为，已知球类的体积公式为，请你据此估算木星的半径。
学生独立思考，完成推导，小组合作学习，展示成果，能应用球的体积公式，并将公式适当变形．通过实际问题的求解，进一步加深对开立方运算的熟悉。，由此引入计算器的使用。
核心素养：抽象能力、运算能力、推理能力、模型观念、应用意识、创新意识
时间：5分钟
任务2
估算 3100 的范围，说说你是怎么估算的？
学生类比算术平方根的估算，求解立方根的范围估算，学生黑板展示、展讲。能用有理数估计一个无理数的大致范围（突破重点）.
对应目标1
核心素养：抽象能力、运算能力、推理能力、模型观念、应用意识。
时间：5分钟
任务3）
利用计算器探究被开方数的小数点与立方根的小数点之间的变化规
律：用计算器计算：
,, ,…你能发现什么规律 ? 用计算器计算（精确到
0.001），并利用你发现的规律求, ,的近似值
小组共同合作，利用计算器完成计算，成果展示，学生观察、思考，师生共同总结： 被开方数的小数点每向左（或
右）移动三位，立方根的小数点就向左（或右）移动一位通过实际计算器操作，感受立方根的大小，并观察被开方数变化的倍数与立方根之间的关系，经历运用计算器探求数学规律的过程，发展合情推理能力（突破难点）。
对应目标2
核心素养：抽象能力、运算能力、推理能力、模型观念、应用意识、创新意识
时间：10分钟
任务4
课堂小结，总结提升：请学生谈一谈本节课的收获，教师认真倾听学生的收获分享，及时肯定，鼓励学生发言，用自己的语言谈收获
畅所欲言，谈收获和学习体会，交流归纳，加深学生对新识的理解，促进对所学知识的反思
时间：2分钟
第6课时（6.3实数（1）)
任务1
创设情境导入新课 ：我们知道有理数包括整数和分数，计算下列分数写成小数的形式，它们有什么特征？
追问：除了有限小数和无限循环小数之外，还有什么小数？
学生独立完成计算，通过复习分数和小数互化的形式，观察、探究得出有理数都可以化成有限小数或无限循环小数的形式。反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。
学生回答，引出无理数的概念，即无限不循环小数叫做无理数。师生共同归纳出常见的无理数。使学生了解无理数和实数的概念（突破重点）。
对应目标1
核心素养：运算能力、推理能力。
时间：8分钟
任务2
合作探究：我们将有理数和无理数统称为实数。 你能仿照有理数的分类给实数分类吗？
例：把下列各数分别填到相应的集合内：
-3.6,,,eq \r(4),,，，0，
eq \f(π,2),-,,，eq \f(22,7)，3,14，
0.10100…
（1）有理数集合｛ }；
（2）无理数集合｛ }；
（3）整数集合｛ }；
（4）负实数集合｛ }．
1、学生独立思考、合作探究、展示展讲，说明分类的理由，类比有理数的分类，引导学生对实数进行分类，将数系由有理数再次扩充到实数范围，同时发展学生类比思维和分类能力。
2、学生独立完成，通过例题帮助学生熟悉实数的分类，正确理解实数和有理数的概念，做到分类不遗漏不重复．
3.会对实数按照一定的标准进行分类，培养分类能力（突破重点）.
对应目标1
核心素养：推理能力、应用意识。
时间：5分钟
任务3
提出问题、解决问题：
1.如图，直径为1个单位长度的圆从原点开始沿数轴向右滚动一周，圆上一点从原点到达A点，则数轴上表示点A的数是什么？
2.在探究 2 有多大中提到，我们可以将四个直角边为 1 的直角三角形，拼成一个面积为 2 的正方形，此正方形的边长就是
2.
因此我们在数轴上画一个边长为 1 的等腰直角三角形，利用圆规在数轴上截取它的斜边长就能够找到 2（- 2）所对应的点。
利用类似的办法我们能够找到其它的无理数吗？
学生独立思考，小组合作，通过多媒体展示，将无理数在数轴上找到了与之一一对应的点，使学生理解与有理数类似，实数和数轴上的点是一一对应的（突破难点）.
对应目标2
核心素养：抽象能力、运算能力、推理能力、模型观念、应用意识、创新意识、几何直观。
时间：8分钟
任务4
简单应用，探究规律
思考：
1. 2 的相反数是 _______ ，－π 的相反数是________，0 的相反数是 ________；
2.| 2 | = _______ ,|-π| = _____,|0| = _______.
思考：
1. 分别写出 - 6 ，π-3.14 的相反数；
2. 指出 - 5 ， 1-33分别是什么数的相反数；
3. 求 3−64 的绝对值；
4. 已知一个数的绝对值是 3 ，求
这个数。
学生独立完成、回答，师生共同总结：数 a 的相反数是 -a，这里 a 表示任意一个实数。
一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。即设 a 表示一个实数，则
了解实数范围内相反数和绝对值的意义，并求一个实数的相反数和绝对值。
对应目标3
核心素养：运算能力、推理能力、模型观念、应用意识。
时间：10分钟
任务5
课堂小结，总结提升：请学生谈一谈本节课的收获，教师认真倾听学生的收获分享，及时肯定，鼓励学生发言，用自己的语言谈收获
畅所欲言，谈收获和学习体会，交流归纳，加深学生对新识的理解，促进对所学知识的反思
时间：2分钟
任务6
评价检测：
1.把下列各数填入相应的集合：
-1,3 ,π,-3.14,9 , 6-2,−22,0.7.
（1）有理数集合｛ ｝；（2）无理数集合｛ ｝；
（3）正实数集合｛ ｝；（4）负实数集合｛ ｝。
2.2 的相反数是 ________；−12的倒数是 ______；3−5 的绝对值是 ________。
学生独立完成，反馈课堂学习情况。
时间：4分钟
第7课时（6.3实数（2）)
任务1
情景引入：在剪纸社团课上制作了两个长方体，第一个长方体的长宽高分别为a、a、b，若将第二个长方体的长和高扩大为原来的2倍，则第二个长方体比第一个长方体多需要多少面积的卡纸？（学生口诉提出问题，多媒体展示）
思考：（1）在化简过程中用到了哪些运算律？
化简过程中你还应该注意哪些问题？
2、类比完成下列计算：
(1)33+23
(2)3−5−2(3−5)
(3)3(3+13)
追问：已知2≈1.414，
3≈1.732，5≈2.236，以上（1）（2）题的近似值各是多少？（保留小数点后一位）
1、学生独立完成，多媒体展示学生解决过程，学生能通过整式的加减回忆起运算律以及化简过程中的易错点，师生共同总结运算律，为本节课的学习打下基础，通过几何体表面积的求解过程，使整式加减复习的过程与几何计算和展开图紧密联系在一起，同时为下一课时的数学活动做铺垫。
2、独立思考、小组合作、板演、展讲：学生类比有理数的运算、运算律、整式的加减，自主探究学习解决含有根号的实数运算，通过类比探究学习，找到与有理数的运算、运算律、整式的加减运算的共性，会进行含有根号的实数运算。通过追问感知无理数取近似值的情况（突破重点）.
对应目标1
核心素养：抽象能力、运算能力、推理能力、模型观念、应用意识、几何直观。
时间：14分钟
任务2
探究合作学习：
完成下列各题：
（1）若a＝7，b＝5，c＝3，则a，b，c的大小关系为（ ）
A.b