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    考点56圆锥曲线中定点与定值问题-2025年高考数学大一轮复习核心题型讲练 易错重难点专项突破(新高考版)

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      考点56圆锥曲线中定点与定值问题(2种核心题型 基础保分练 综合提升练 拓展冲刺练)-2025年高考数学大一轮复习核心题型讲练 易错重难点专项突破(新高考版)原卷版.docx
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      考点56圆锥曲线中定点与定值问题(2种核心题型 基础保分练 综合提升练 拓展冲刺练)-2025年高考数学大一轮复习核心题型讲练 易错重难点专项突破(新高考版)解析版.docx
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    这是一份考点56圆锥曲线中定点与定值问题-2025年高考数学大一轮复习核心题型讲练 易错重难点专项突破(新高考版),文件包含考点56圆锥曲线中定点与定值问题2种核心题型基础保分练综合提升练拓展冲刺练-2025年高考数学大一轮复习核心题型讲练易错重难点专项突破新高考版原卷版docx、考点56圆锥曲线中定点与定值问题2种核心题型基础保分练综合提升练拓展冲刺练-2025年高考数学大一轮复习核心题型讲练易错重难点专项突破新高考版解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共79页, 欢迎下载使用。
    【核心题型】
    题型一 定点问题
    求解直线或曲线过定点问题的基本思路
    (1)把直线或曲线方程中的变量x,y当作常数看待,把方程一端化为零,既然是过定点,那么这个方程就要对任意参数都成立,这时参数的系数就要全部等于零,这样就得到一个关于x,y的方程组,这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点.
    (2)由直线方程确定其过定点时,若得到了直线方程的点斜式y-y0=k(x-x0),则直线必过定点(x0,y0);若得到了直线方程的斜截式y=kx+m,则直线必过定点(0,m).
    【例题1】(2024·北京·模拟预测)已知椭圆,的下顶点为,左、右焦点分别为和,离心率为,过的直线与椭圆相交于,两点.若直线垂直于,则的周长为.
    (1)求椭圆的方程;
    (2)若直线与坐标轴不垂直,点关于轴的对称点为,试判断直线是否过定点,并说明理由.
    【变式1】(2024·广东·一模)设两点的坐标分别为. 直线相交于点,且它们的斜率之积是. 设点的轨迹方程为.
    (1)求;
    (2)不经过点的直线与曲线相交于、两点,且直线与直线的斜率之积是,求证:直线恒过定点.
    【变式2】(2024·安徽马鞍山·模拟预测)在平面直角坐标系中,已知双曲线,过作直线与交于两点,().
    (1)当时,求的值;
    (2)是否存在异于点的定点使得?若存在,求出点的坐标,若不存在,请说明理由.
    【变式3】(2024·西藏拉萨·二模)已知抛物线上的两点的横坐标分别为.
    (1)求抛物线的方程;
    (2)若过点的直线与抛物线交于点,问:以为直径的圆是否过定点?若过定点,求出这个定点;若不过定点,请说明理由.
    题型二 定值问题
    圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略
    (1)求代数式为定值.依题设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式,化简即可得出定值.
    (2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得.
    (3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.
    【例题2】(2024·江苏苏州·模拟预测) 已知椭圆 与圆 在第一、第四象限分别交于 Q、P 两点,且满足
    (1)求椭圆γ的标准方程;
    (2)A 是椭圆上的一点,若存在椭圆的弦 BC 使得 ,求证:四边形OABC 的面积为定值.
    【变式1】(2021·广西柳州·一模)已知椭圆的左右焦点分别为,,过且与轴垂直的直线与椭圆交于A,B两点,的面积为,点为椭圆的下顶点,.
    (1)求椭圆的标准方程.
    (2)椭圆上有两点,(异于椭圆顶点且与轴不垂直),当的面积最大时,证明:直线与的斜率之积为定值.
    【变式2】(2024·广东佛山·模拟预测)已知双曲线的离心率为,右焦点到双曲线的一条渐近线的距离为1,两动点在双曲线上,线段的中点为.
    (1)证明:直线的斜率为定值;
    (2)为坐标原点,若的面积为,求直线的方程.
    【变式3】(2024·四川成都·模拟预测)已知抛物线的焦点为,过点作抛物线的两条切线,切点分别为.
    (1)求抛物线的方程;
    (2)过点作两条倾斜角互补的直线,直线交抛物线于两点,直线交抛物线于两点,连接,设的斜率分别为,问:是否为定值?若是,求出定值;若不是,说明理由.
    【课后强化】
    【基础保分练】
    一、单选题
    1.(2024·福建·模拟预测)设双曲线C其中一支的焦点为F,另一支的顶点为A,其两渐近线分别为. 若点B在m上,且,则m与n的夹角的正切值为( )
    A.B.C.2D.
    2.(2024·广东广州·模拟预测)已知椭圆:,点,,且,则“上存在点使”是“以为直径的圆与椭圆存在公共点的( )条件
    A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不必要也不充分
    3.(2024·全国·模拟预测)已知椭圆:的上、下顶点分别为,,是椭圆上异于,的一点,直线和的斜率分别为,,则满足的椭圆的方程是( )
    A.B.C.D.
    4.(2024·全国·模拟预测)已知点是抛物线上一点,直线与抛物线交于与不重合的两点.若,则( )
    A.B.C.D.
    二、多选题
    5.(2024·安徽·模拟预测)已知双曲线C:的左、右焦点分别为,,直线:与C的左、右两支分别交于M,N两点(点N在第一象限),点在直线上,点Q在直线上,且,则( )
    A.C的离心率为3B.当时,
    C.D.为定值
    6.(2024·江苏苏州·模拟预测)对于抛物线 F 是它的焦点,γ的准线与轴交于 T,过点 T 作斜率为的直线与γ依次交于 B、A两点,使得恰有 ,下列说法正确的是( )
    A. 是定值, 不是定值
    B. 不是定值, 也不是定值
    C. 两点横坐标乘积为定值
    D.记 AB 中点为 M, 则 M 和A 横坐标之比为定值
    三、填空题
    7.(2023·全国·模拟预测)已知双曲线的一条渐近线的倾斜角的正切值为.若直线(且)与双曲线交于A,B两点,直线,的斜率的倒数和为,则直线恒经过的定点为 .
    8.(2024·四川·模拟预测)已知点为椭圆的左顶点,点为椭圆的右焦点,过点作一条直线(直线与轴不重合)交椭圆于两个不同点,连接,则 .
    四、解答题
    9.(2024·山东济南·三模)如图所示,抛物线的准线过点,
    (1)求抛物线的标准方程;
    (2)若角为锐角,以角为倾斜角的直线经过抛物线的焦点,且与抛物线交于A、B两点,作线段的垂直平分线交轴于点,证明:为定值,并求此定值.
    10.(2021·天津·二模)已知为椭圆的焦点,且点在椭圆上.
    (1)求椭圆的标准方程;
    (2)已知直线L与椭圆交于两点,且坐标原点O到直线L的距离为的大小是否为定值?若是,求出该定值,若不是,请说明理由.
    【综合提升练】
    一、单选题
    1.(2023·四川自贡·三模)已知F为抛物线C:的焦点,O为坐标原点,过点F且斜率为1的直线l交抛物线C于A、B两点,则直线OA、OB的斜率之和为( )
    A.-2B.-2PC.-4D.-4P
    2.(2024·山东·模拟预测)已知抛物线:,过直线:上的动点可作的两条切线,记切点为,则直线( )
    A.斜率为2B.斜率为C.恒过点D.恒过点
    3.(2021·湖南永州·二模)抛物线C:的焦点为F,P是其上一动点,点,直线l与抛物线C相交于A,B两点,下列结论正确的是( )
    A.的最小值是2
    B.动点P到点的距离最小值为3
    C.存在直线l,使得A,B两点关于直线对称
    D.与抛物线C分别相切于A、B两点的两条切线交于点N,若直线AB过定点,则点N在抛物线C的准线上
    4.(2023·江苏南通·模拟预测)双曲线和椭圆的右焦点分别为,,,分别为上第一象限内不同于的点,若,,则四条直线的斜率之和为( )
    A.1B.0C.D.不确定值
    5.(2024·河南信阳·模拟预测)已知椭圆C:的下顶点为A,斜率不为0的直线与C交于B,D两点,记线段的中点为E,若,则( )
    A.点E在定直线上B.点E在定直线上
    C.点E在定直线上D.点E在定直线上
    6.(2023·河南郑州·模拟预测)已知A,B分别为双曲线的左、右顶点,P为该曲线上不同于A,B的任意一点,设,,的面积为S,则( )
    A.为定值B.为定值
    C.为定值D.为定值
    7.(2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测)过椭圆上的任意一点M(不与顶点重合)作椭圆的切线交x轴于点N,O为坐标原点,过N作直线的垂线交直线于点P,则( )
    A.既没最大值也没最小值B.有最小值没有最大值
    C.有最大值没有最小值D.为定值
    8.(2024·江苏苏州·模拟预测)设椭圆的离心率等于,抛物线的焦点是椭圆的一个顶点,A、B分别是椭圆的左右顶点.动点P、Q为椭圆上异于A、B两点,设直线、的斜率分别为,且.则( )
    A.的斜率可能不存在,且不为0
    B.点纵坐标为
    C.直线的斜率
    D.直线过定点
    二、多选题
    9.(2024·山东·二模)已知抛物线焦点为,过点(不与点重合)的直线交于两点,为坐标原点,直线分别交于两点,,则( )
    A.B.直线过定点
    C.的最小值为D.的最小值为
    10.(2024·河南·三模)如图,已知椭圆的左、右顶点分别是,上顶点为,在椭圆上任取一点(非长轴端点),连接交直线于点,连接交于点(是坐标原点),则( )

    A.为定值B.
    C.D.的最大值为
    11.(2023·江苏南通·模拟预测)已知双曲线的左,右焦点分别为,,点P是双曲线C的右支上一点,过点P的直线l与双曲线C的两条渐近线交于M,N,则( )
    A.的最小值为8
    B.若直线l经过,且与双曲线C交于另一点Q,则的最小值为6
    C.为定值
    D.若直线l与双曲线C相切,则点M,N的纵坐标之积为
    三、填空题
    12.(2023·全国·模拟预测)已知A,B是双曲线上的两个动点,动点P满足,O为坐标原点,直线OA与直线OB斜率之积为2,若平面内存在两定点、,使得为定值,则该定值为 .
    13.(2024·全国·模拟预测)已知M,N是抛物线上两点,焦点为F,抛物线上一点到焦点F的距离为,下列说法正确的是 .(把所有正确结论的编号都填上)
    ①;
    ②若,则直线MN恒过定点;
    ③若的外接圆与抛物线C的准线相切,则该圆的半径为;
    ④若,则直线MN的斜率为.
    14.(2024·宁夏银川·三模)已知曲线,,,P为C上异于A,B的一点,直线与直线交于M,直线与直线交于点N,则有以下四种说法:
    ①存在两个定点,使得P到这两个定点的距离之和为定值
    ②直线与直线的斜率之差的最小值为
    ③的最小值为
    ④当直线的斜率大于时,大于
    其中正确命题的序号为 .
    四、解答题
    15.(2024·江西九江·二模)已知双曲线的离心率为,点在上.
    (1)求双曲线的方程;
    (2)直线与双曲线交于不同的两点,,若直线,的斜率互为倒数,证明:直线过定点.
    16.(2021·北京丰台·二模)已知椭圆,过点的直线交椭圆于点.
    (1)当直线与轴垂直时,求;
    (2)在轴上是否存在定点,使为定值?若存在,求点的坐标及的值;若不存在,说明理由.
    17.(2024·广东广州·模拟预测)已知在平面直角坐标系中,双曲线:过和两点.
    (1)求双曲线的标准方程;
    (2)若,为双曲线上不关于坐标轴对称的两点,为中点,且为圆的一条非直径的弦,记斜率为,斜率为,证明:为定值.
    18.(2024·广西柳州·一模)在平面直角坐标系中,为直线上一动点,椭圆:的左右顶点分别为,,上、下顶点分别为,.若直线交于另一点,直线交于另一点.
    (1)求证:直线过定点,并求出定点坐标;
    (2)求四边形面积的最大值.
    19.(2024·陕西西安·模拟预测)已知抛物线的焦点为.过F作两条互相垂直的直线,,且直线与交于M,N两点,直线与交于E,P两点,M,E均在第一象限.设A,B分别为弦MN,EP的中点,直线ME与直线NP交于点H.
    (1)求的方程.
    (2)直线AB是否过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.
    (3)证明:点H在直线上.
    【拓展冲刺练】
    一、单选题
    1.(2022·河南·模拟预测)已知抛物线的焦点为,过且不与轴垂直的直线与抛物线相交于、两点,为轴上一点,满足,则( )
    A.为定值B.为定值
    C.不是定值,最大值为D.不是定值,最小值为
    2.(2023·河南·二模)已知动点P在双曲线C:上,双曲线C的左、右焦点分别为,,则下列结论:
    ①C的离心率为2;
    ②C的焦点弦最短为6;
    ③动点P到两条渐近线的距离之积为定值;
    ④当动点P在双曲线C的左支上时,的最大值为.
    其中正确的个数是( )
    A.1个B.2个C.3个D.4个
    3.(2024·江苏南通·模拟预测)在平面直角坐标系xOy中,如图,已知椭圆的左、右顶点为A、B,右焦点为F.设过点的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M(x1,y1)、N(x2,y2),其中.则直线MN必过一定点的坐标为( )

    A.1,0B.
    C.D.0,1
    二、多选题
    4.(2023·全国·模拟预测)已知双曲线:的右焦点为F,动点M,N在直线:上,且,线段,分别交C于P,Q两点,过P作的垂线,垂足为.设的面积为,的面积为,则( )
    A.的最小值为B.
    C.为定值D.的最小值为
    5.(2024·河北沧州·三模)已知椭圆的上顶点、左顶点为为椭圆上异于点的两个不同点,则下列结论正确的是( )
    A.若直线的斜率之和为,则直线恒过定点
    B.若直线的斜率之积为,则直线恒过定点
    C.若直线的斜率之和为,则直线恒过定点
    D.若直线的斜率之积为.则直线恒过定点
    三、填空题
    6.(2024·四川宜宾·二模)已知为抛物线的焦点,过直线上的动点作抛物线的切线,切点分别是,则直线过定点 .
    7.(2021·宁夏中卫·三模)已知椭圆与双曲线共焦点,过椭圆上一点的切线与轴、轴分别交于、两点(、为椭圆的两个焦点).又为坐标原点,当的面积最小时,下列说法所有正确的序号是 .
    ①;
    ②当点在第一象限时坐标为;
    ③直线的斜率与切线的斜率之积为定值;
    ④的角平分线(点在上)长为.
    四、解答题
    8.(2024·辽宁·模拟预测)已知双曲线过点,离心率为2.
    (1)求的方程;
    (2)过点的直线交于,两点(异于点),证明:当直线,的斜率均存在时,,的斜率之积为定值.
    9.(2024·云南·模拟预测)抛物线的图象经过点,焦点为,过点且倾斜角为的直线与抛物线交于点,,如图.

    (1)求抛物线的标准方程;
    (2)当时,求弦的长;
    (3)已知点,直线,分别与抛物线交于点,.证明:直线过定点.
    10.(2024·上海宝山·一模)已知椭圆:,直线经过椭圆的右顶点且与椭圆交于另一点,设线段的中点为.

    (1)求椭圆的焦距和离心率;
    (2)若,求直线的方程;
    (3)过点再作一条直线与椭圆交于点,线段的中点为. 若,则直线是否经过定点?若经过定点,求出定点坐标;若不经过定点,请说明理由.

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