培优点02隐零点问题（2大考点 强化训练）-2025年冲刺958、211名校高考数学重难点培优攻略（新高考专用）

这是一份培优点02隐零点问题（2大考点 强化训练）-2025年冲刺958、211名校高考数学重难点培优攻略（新高考专用），文件包含培优点02隐零点问题2大考点强化训练-2025年冲刺958211名校高考数学重难点培优攻略新高考专用原卷版docx、培优点02隐零点问题2大考点强化训练-2025年冲刺958211名校高考数学重难点培优攻略新高考专用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc161069161" 题型归纳 PAGEREF _Tc161069161 \h 1
\l "_Tc161069162" 题型01 不含参数的隐零点问题 1
\l "_Tc161069163" 题型02 含参数的隐零点问题3
【考情分析】
导函数的零点在很多时候是无法直接求解出来的，我们称之为“隐零点”，既能确定其存在，但又无法用显性的代数进行表达．这类问题的解题思路是对函数的零点设而不求，通过整体代换和过渡，再结合题目条件解决问题．
【核心题型】
考点一：不含参函数的隐零点问题
规律方法 已知不含参函数f(x)，导函数方程f′(x)＝0的根存在，却无法求出，利用零点存在定理，判断零点存在，设方程f′(x)＝0的根为x0，则①有关系式f′(x0)＝0成立，②注意确定x0的合适范围．
【例题1】（2022·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数.
(1)判断函数的单调性；
(2)若对于任意的，都有，求整数的最大值.
【变式1】（2020·湖南·三模）已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）判断在上的零点的个数，并说明理由.（提示：）
【变式2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数．
(1)证明：当时，；
(2)求在区间上的零点个数．
【变式3】（2023·黑龙江哈尔滨·三模）已知.
(1)若，证明：存在唯一零点；
(2)当时，讨论零点个数.
考点二：含参函数的隐零点问题
规律方法 已知含参函数f(x，a)，其中a为参数，导函数方程f′(x，a)＝0的根存在，却无法求出，设方程f′(x)＝0的根为x0，则①有关系式f′(x0)＝0成立，该关系式给出了x0，a的关系；②注意确定x0的合适范围，往往和a的范围有关．
【例题2】（2024·安徽·模拟预测）已知函数．
(1)解不等式：；
(2)若函数存在两个极值点，求实数的取值范围．
【变式1】（2023·海南海口·二模）已知.
(1)若在处取到极值，求的值；
(2)直接写出零点的个数，结论不要求证明；
(3)当时，设函数，证明：函数存在唯一的极小值点且极小值大于.
【变式2】（23-24高三下·重庆）已知函数，其中．
(1)讨论的单调性；
(2)若，求证：在定义域内有两个不同的零点；
(3)若恒成立，求的值．
【变式3】（2024高三下·江苏·专题练习）已知（其中为自然对数的底数），，求实数的取值范围.
【强化训练】
一、解答题
1．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知函数．
(1)讨论函数在区间上的单调性；
(2)判断函数零点的个数．
2．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知.
(1)当时，求的单调递增区间；
(2)若有两个极值点，.
（i）求的取值范围；
（ii）证明：.
3．（2024·北京·模拟预测）已知函数，．
(1)若，证明：；
(2)若，求a的取值范围；
(3)若，记，讨论函数的零点个数．
4．（2021·湖北襄阳·模拟预测）已知．
（1）判断的零点个数，并说明理由；
（2）若，求实数a的取值范围．
5．（2023·四川自贡·一模）已知函数，，.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若函数有零点，求a的取值范围.
6．（2023·全国·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求的最小值；
(2)设，，证明：有且仅有个零点.（参考数据：，.）
7．（2023·河南·模拟预测）已知函数.
(1)证明：恰有一个零点；
(2)设函数.若至少存在两个极值点，求实数的取值范围.
8．（2023·江西上饶·一模）已知，．
(1)讨论的单调性；
(2)若，，试讨论在内的零点个数．（参考数据：）