培优点03同构函数问题（2大考点 强化训练）-2025年冲刺958、211名校高考数学重难点培优攻略（新高考专用）

这是一份培优点03同构函数问题（2大考点 强化训练）-2025年冲刺958、211名校高考数学重难点培优攻略（新高考专用），文件包含培优点03同构函数问题2大考点强化训练-2025年冲刺958211名校高考数学重难点培优攻略新高考专用原卷版docx、培优点03同构函数问题2大考点强化训练-2025年冲刺958211名校高考数学重难点培优攻略新高考专用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共42页， 欢迎下载使用。
TOC \ "1-3" \h \z \u \l "_Tc161069161" 题型归纳 PAGEREF _Tc161069161 \h 1
\l "_Tc161069162" 题型01 双变量同构问题 1
\l "_Tc161069163" 题型02 指对同构问题10
\l "_Tc161069164" 1.指对同构与恒成立问题15
\l "_Tc161069162" 2.指对同构与证明不等式15
【考情分析】
同构函数问题，是近几年高考的热点问题，考查数学素养和创新思维．同构函数问题是指在不等式、方程、函数中，通过等价变形形成相同形式，再构造函数，利用函数的性质解决问题，常见的同构有双变量同构和指对同构，一般都是压轴题，难度较大
【核心题型】
考点一：双变量同构问题
规律方法 含有地位相等的两个变量的不等式(方程)，关键在于对不等式(方程)两边变形或先放缩再变形，使不等式(方程)两边具有结构的一致性，再构造函数，利用函数的性质解决问题．
【例题1】（2023·全国·模拟预测）已知函数．
(1)若曲线在处的切线方程为，求实数a，b的值；
(2)若，对任意的，且，不等式恒成立，求m的取值范围．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义结合给定切线求解即得.
（2）对给定不等式作等价变形，构造函数并确定其单调性，再利用导数求解即得.
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
由曲线在处的切线方程为，得，解得，，
所以，.
（2）当时，函数，求导得，
当时，，即函数在上单调递减，
不妨设，则，，
不等式恒成立，即恒成立，
则恒成立，设，
于是，恒成立
则在上单调递增，于是在上恒成立，
即在上恒成立，，当且仅当时取等号，因此，
所以m的取值范围为
【变式1】（2024·四川·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)设函数有两个不同的极值点，.证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）当时，求导求出切线的斜率，再求出，利用点斜式得到切线方程，再化简为一般方程即可；
（2）由题意可得函数有两个极值点，，即求导后分子在上有两个不等实根，再构造函数，只需故，得到的范围，然后代入，再构造函数，求导分析单调性求极值即可证明；
【详解】（1）当时，，
，，
则切线方程为，化简得.
（2）证明：由题，
函数有两个极值点，，即在上有两个不等实根，
令，只需故，故.
又，，
所以
.
若证，
即证，即.
令，，
，则在上递增，且有，
当时，，所以在上递减；
当时，，所以在上递增；
所以，.
即得证.
【点睛】关键点点睛：第二问关键在于函数有两个极值点，，即在上有两个不等实根，然后利用韦达定理化简得到，再构造函数分析单调性即可.
【变式2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知函数.
(1)设函数，讨论的单调性；
(2)设分别为的极大值点和极小值点，证明：.
【答案】(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先求得，然后对进行分类讨论来求得的单调区间.
（2）由极值点的知识求得的关系式，由此将要证明的不等式转化为证明，利用构造函数法，结合导数来证得不等式成立.
【详解】（1），
，
当时，在上恒成立，则在上单调递增，
当时，单调递减，
单调递增，
综上，当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）分别是的极大值点和极小值点，
，且对于有，
且对称轴，所以，
，
所以，
综上，要证，
只需证，
因为，
即证：，
设.
所以，
所以在上单调递增，所以.
所以成立.
【点睛】求解函数单调区间的步骤：（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间.如果导函数含有参数，则需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.利用导数证明不等式，首先考虑将要证明的不等式进行转化，转化为可构造函数并能利用导数进行证明的结构，从而来对问题进行求解.
【变式3】（2024·贵州铜仁·模拟预测）已知函数.
(1)当时，求函数的单调递增区间；
(2)当，时，关于的不等式恒成立，求实数的最大值.
(3)设点Ax1,y1、Bx2,y2是函数图象上两个不同的点，令，证明：
【答案】(1)和；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）将函数求导后解即可得的单调递增区间；
（2）法一：对参数进行分类讨论，当时易得不等式恒成立，当时，通过原不等式构造函数，将不等式恒成立问题转化为最值问题求解；
法二：通过将原不等式同构变形，构造新函数，通过新函数的单调性求出使得原不等式成立时的最大值；
（3）将，代入不等式后化简，最终通过不等式同构变形构造新函数，对新函数求导求出单调性，进而证明不等式.
【详解】（1）函数的定义域为，
，
令，可得或，因为，则.
由f′x>0，可得或，
则的单调递增区间为和1,+∞；
（2）法一：当时，，即在上恒成立.
①当时，，在上恒成立，所以此时不等式恒成立；
②当时，令，，
则恒成立，
所以在上单调递增，
于是，
不等式两边同时取对数，可得 恒成立，
令，
由于，都在上递增，
所以在上单调递增，
又，
因此若恒成立，
则.
综上所述，的最大值为.
法二：当时，，即恒成立，
当时显然恒成立，
所以只需考虑当时，
，即恒成立，
即，
令，则，因为，则，
所以，，
当时，，所以，函数Fx在1,+∞上为增函数，
所以，，即，则恒成立.
令，其中，则，单调递减，
则，则.
综上所述，的最大值为.
（3）易知，
，
要证： ，即证，
即证，
不妨设，即证 ，
设，可得，
构造函数，其中，
则，
所以，函数在区间1,+∞上为增函数，则，
即，
因此.
【点睛】思路点睛：本题（2）小问考察到不等式变换中一种常见的手法：取对数，特别是当不等式两边都有许多关于e的式子时可以优先考虑取对数变形；其次本题（2）（3）小问都考察了不等式的同构变形，很多时候不等式的恒成立问题、不等式证明问题等都可以通过同构变形构造新函数，通过新函数的性质来证明原不等式成立.
考点二：指对同构问题
规律方法 指对同构的常用形式
(1)积型：aea≤bln b，一般有三种同构方式：
①同左构造形式：aea≤ln beln b，构造函数f(x)＝xex；
②同右构造形式：ealn ea≤bln b，构造函数f(x)＝xln x；
③取对构造形式：a＋ln a≤ln b＋lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln b))(b>1)，构造函数f(x)＝x＋ln x.
(2)商型：eq \f(ea,a)≤eq \f(b,ln b)，一般有三种同构方式：
①同左构造形式：eq \f(ea,a)≤eq \f(eln b,ln b)，构造函数f(x)＝eq \f(ex,x)；
②同右构造形式：eq \f(ea,ln ea)≤eq \f(b,ln b)，构造函数f(x)＝eq \f(x,ln x)；
③取对构造形式：a－ln a≤ln b－ln(ln b)(b>1)，构造函数f(x)＝x－ln x.
(3)和、差型：ea±a>b±ln b，一般有两种同构方式：
①同左构造形式：ea±a>eln b±ln b，构造函数f(x)＝ex±x；
②同右构造形式：ea±ln ea>b±ln b，构造函数f(x)＝x±ln x.
考向1：指对同构与恒成立问题
【例题2】（2024·全国·模拟预测）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据指对混合型不等式，利用指对运算将不等式转化成，根据结构相同设函数，利用函数的单调性及取值情况，将问题转化为，令，求导确定最值即可得实数的取值范围.
【详解】依题意得，，故，
令，则，令可得，
所以时，f′x0，则在上单调递增；
且当时，，当时，；
则由，得，则
令，则，
故当时，，单调递减，当时，单调递增，
故，则，则实数的取值范围为.
故选：D．
【变式1】（2022·安徽马鞍山·模拟预测）设实数，对任意实数，若不等式恒成立，则实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】对已知不等式进行变形,通过构造新函数,结合导数的性质进行求解即可.
【详解】因为，所以
依题意恒成立，即，
因为，
所以恒成立.
令，则，
当x>0时，所以在上单调递增，
则不等式恒成立，等价于恒成立.
因为，所以所以，
当时，，此时恒成立；
当时，，所以对任意的恒成立，所以恒成立.
设,可得.
当时在单调递增，
当时在单调递减.
所以当时函数取得最大值，为，此时，
所以，解得，
综上所述，实数的取值范围为.
故选：B.
【变式2】（2023·湖南郴州·三模）设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】将函数化简成，构造同构函数，分析单调性，转化为即求解研究函数单调性即可解决.
【详解】因为通分得：即：；设
，
函数在单调递增，
恒成立，得：即
设，
易知函数在上单调递增，在上单调递减
故答案为：
【变式3】（2023·河北保定·三模）若，不等式恒成立，则实数的最小值为 .
【答案】
【分析】不等式化为恒成立,构造函数,利用导数判断的单调性,得出,即时恒成立，转化为，构造函数,利用导数判断的单调性,由此求出实数a的最小值.
【详解】因为若，不等式恒成立，
所以，
所以不等式恒成立.
设，则，
当时，，则在上单调递减，
因为要求a的最小值，所以不妨先考虑，
因为当且时，，
由，得，
所以当时，恒成立.
因此即
当时，，即恒成立.
令，则，
因为，所以在上单调递增，
又因为，且，所以当时，，
即，解得，
故答案为：.
【点睛】方法点睛：一般同时含有的函数，往函数构造方面去思考相对比较简单，构造的函数一般有等，具体构造哪个函数需要根据题目所给条件进行适当变形.
考向2 指对同构与证明不等式
【例题3】（2022高三·全国·专题练习）已知函数.当x＞y＞e－1时，求证：.
【答案】证明见解析
【分析】将不等式进行等价转化为，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性，利用函数的单调性证明即可．
【详解】证明：，，即，
欲证．
即证明，
令，
则，
∵显然函数在上单调递增，
∴在上单调递增，
，即，
在上单调递增，
时，，即，
当时，成立．
【变式1】（2024·四川内江·模拟预测）已知函数.
(1)讨论函数的导函数的零点个数；
(2)若有两个极值点，求证：
（i）；
（ii）.
【答案】(1)答案见解析
(2)（i）证明见解析（ii）证明见解析
【分析】（1）求出函数的导函数，转化为解的个数，利用导数研究的增减性、极值即可讨论出交点个数，得出零点个数；
（2）（i）分析法转化为求证，利用导数求最小值即可得证（ii）由（i）转化为证，换元后转化为证，再次换元后转为利用导数证明即可.
【详解】（1）函数，
则，令，解得，
设，
故导函数的零点个数等价于直线与函数图象的交点个数.
，
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，
故
又当时，，当时，，
当时，与的图象有2个交点，此时导函数有2个零点；
当或时，与的图象有1个交点，此时导函数有1个零点；
当时，与的图象没有交点，此时导函数没有零点.
综上，当时有2个零点，当或时时有1个零点，当时没有零点.
（2）（i）由（1）可知，不妨设，
要证，即证，
不妨令，即证，
只需证明，
令，则，
令，则，
当时，，
在上单调递增，即，故，在上单调递增，
所以，即
（ii）由（i）可知，要证，只需证明，
不妨设，
是导函数的两个零点，，
令，即证，
由得，
要证成立，只需证明，即证，
即证，即证，
令，则，只需证明，
令，则，
在上单调递增，，
，即证得.
【点睛】关键点点睛：第二步在证明中，需要对待证结论进行合理的转化，结合分析法，层层转化，当转化为一边为0的不等式后，可构造函数，或者换元后构造函数，能够利用导数求出函数的最值，即可解决此类证明问题.
【变式2】（2023·陕西铜川·一模）已知函数．
(1)若存在零点，求的取值范围；
(2)若，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由可得出，利用导数分析函数的单调性与极值，分析可知直线与函数的图象有公共点，数形结合可得出实数的取值范围；
（2）设，其中，利用到导数证明出，可得出，即可证得结论成立.
【详解】（1）解：由可得，令，其中，
则，由可得，由可得，
所以，函数的减区间为，增区间为，
所以，，
且当时，，则；当时，，则，
作出函数与函数的图象如下图所示：
由图可知，当时，即当时，直线与函数的图象有公共点，
即函数有零点，故.
（2）证明：因为，所以，函数、的单调性相同，
则函数的减区间为，增区间为，
所以，，又由于，所以①，
设，其中，则，令，可得.
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时函数单调递减，②，
由于①②两式中等号不能同时成立，故有．
所以，即．
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
【变式3】（2022·四川成都·一模）设函数（）．
(1)求的单调区间；
(2)若的两个零点且，求证：
【答案】(1)答案见解析.
(2)证明见解析
【分析】（1）由题知，进而分和两种情况讨论求解即可；
（2）由题知，，进而将问题转化为证，再令，则，进而证明，再构造函数，，求解最小值即可证明.
【详解】（1）解：由已知，
当时，在恒成立，在上单调递增；
当时，由得，
若时，，在上单调递增，
若时，，在上单调递减；
综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）解：由题：（）
因为是函数的两个零点，
所以，，即，，
要证，
只需证明，即证，
只需证，即证，
令，而，则，只需证明，
令函数，，求导得：
令函数，，
求导得，
则函数在上单调递增，于是有，
因此，函数在上单调递减，
所以，即成立，
所以原不等式得证．
【点睛】本题第二问解题的关键在于根据题意得，，进而将问题转化为证明，再根据题意，结合换元法进一步转化为证明证明即可
【强化训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·河南焦作）已知当时，恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由当时，恒成立，则，先利用导数工具研究函数的单调性，从而求出函数的值域为，进而构造函数，求出函数的最小值即为，进而即可得解.
【详解】令，则，
所以当时，，单调递减；时，，单调递增，
所以，又，所以的值域为，
令，则，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，所以，
又当时，恒成立，所以，
故实数a的取值范围为.
故选：A.
【点睛】思路点睛：恒成立求参问题通常转化为最值问题，对“时，恒成立”可转化为“”，利用导数工具可求得函数的值域，从而函数的最小值即为，故只需求出函数的最小值即可得解.
2．（2024·河南·模拟预测）已知，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，转化为恒成立，令，利用导数求得为单调递增函数，得到恒成立，进而转化为恒成立，构造函数，利用导数求得单调性和最小值，即可求解.
【详解】因为，所以整理不等式，
可得，转化为恒成立，
令，则，
因为，所以在上单调递增，所以恒成立，
又因为，所以，
所以对任意的恒成立，即恒成立，
构造函数，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，当时，，所以，即．
故选：B．
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、合理转化，根据题意转化为两个函数的最值之间的比较，列出不等式关系式求解；
2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
4、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
二、填空题
3．（2020·江苏常州·模拟预测），不等式恒成立，求a的最小值是
【答案】
【分析】转化题目所给恒成立的不等式，结合构造函数以及多次求导来求得的取值范围.
【详解】依题意，，不等式恒成立，
即时，不等式恒成立，
即时，不等式恒成立，
构造函数，
设，
所以在区间上，单调递减；
在区间上，单调递增.
所以，所以单调递增，
所以 ，即，
构造函数，
所以在区间上，单调递增；
在区间上，单调递减.
所以，
所以，所以的最小值是.
故答案为：
【点睛】利用导数研究函数的性质，当一次求导无法求得函数的单调性时，可考虑利用多次求导来进行研究，在求解的过程中，要注意原函数和对应的导函数的关系，不能弄混淆.求解含参数不等式恒成立问题，可考虑利用分离参数法进行求解.
4．（2023·江西鹰潭·一模）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【分析】由题意，将问题转化成恒成立，构造函数，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性，此时问题转化成在上恒成立，构造函数，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性和最值，进而即可求解.
【详解】已知，函数定义域为，
若恒成立，即恒成立，
此时，即恒成立，
不妨设，函数定义域为，
可得
当时，；当时，，
又，所以当时，，，
此时需满足，即恒成立，
则在恒成立，
所以在恒成立，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，此时，
则实数a的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】求解不等式恒成立问题，首先是对题目所给不等式进行转化，利用化归与转化的数学思想方法，转化为“有规律”的结构，如本题中，将题目所给不等式转化为，则可构造出对应的函数，然后利用导数进行求解.
三、解答题
5．（2021·山西·一模）已知函数f（x）＝ln x＋ax2－x.
(1)若a＝－1，求函数f（x）的极值；
(2)设f′（x）为f（x）的导函数，若x1，x2是函数f′（x）的两个不相等的零点，求证：f（x1）＋f（x2）0，0，得到x1，x2是方程2ax2－x＋1＝0的两个不相等正实根，利用根的分布，得到0