2025高考数学二轮复习-专题突破练5 利用导数证明问题【课件】

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1.(17分)(2024广东广州一模)已知函数f(x)=cs x+xsin x,x∈(-π,π).(1)求f(x)的单调区间和极小值;(2)证明:当x∈[0,π)时,2f(x)≤ex+e-x.
(2)证明 当x∈[0,π)时,令F(x)=ex+e-x-2(cs x+xsin x),求导得F'(x)=ex-e-x-2xcs x≥ex-e-x-2x,令φ(x)=ex-e-x-2x,求导得φ'(x)=ex+e-x-2≥函数φ(x)在[0,π)内单调递增,则φ(x)≥φ(0)=0,F'(x)≥0,F(x)在[0,π)内单调递增,因此F(x)≥F(0)=0,所以2f(x)≤ex+e-x.
设g(x)=-x2+ax-1,注意到g(0)=-1,①当a≤0时,g(x)0.令r(x)=(x-n)cs n-sin x+sin n,0r(n)=0,
4.(17分)(2024福建厦门模拟)已知函数f(x)=aex+2x-1(其中常数e=2.718 28…是自然对数的底数).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)证明:对任意的a≥1,当x>0时,f(x)≥(x+ae)x.
(1)解 由f(x)=aex+2x-1,得f'(x)=aex+2.①当a≥0时,f'(x)>0,函数f(x)在R上单调递增;
当a≥1时,aex-x-1≥ex-x-1.令h(x)=ex-x-1,则当x>0时,h'(x)=ex-1>0,h(x)单调递增,因此h(x)>h(0)=0,于是当0