四川省宜宾市叙州区2023_2024学年高一数学上学期期末试题含解析

这是一份四川省宜宾市叙州区2023_2024学年高一数学上学期期末试题含解析，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷选择题（60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出集合，再按交集的定义求即可.
【详解】由题意：，所以.
故选：A
2. 命题“，”的否定是（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】根据全称量词命题否定为存在量词命题易求.
【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题知：
命题“，”的否定是，.
故选：D
3. 已知，下列不等式中正确的是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】举反例排除ACD，利用作差法判断B.
【详解】因为，则，
对于A，取，则，故A错误；
对于B，，则，故B正确；
对于C，取，则，故C错误；
对于D，当时，，故D错误.
故选：B.
4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用抽象函数的定义域求解即可.
【详解】因为函数的定义域为，即，所以，
所以函数的定义域为，
由，得，所以函数的定义域为.
故选：B.
5. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可.
【详解】函数的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是直线，
由函数在上单调递减可得，解得，
故选：D．
6. Peukert于年提出蓄电池的容量（单位：），放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数．为测算某蓄电池的Peukert常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间．若计算时取，则该蓄电池的Peukert常数大约为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知可得出，两个等式相除可得出，利用指数式与对数式的互化可求得的值.
【详解】由已知可得，上述两个等式相除可得，
所以，.
故选：C.
7. 关于的方程有两个正的实数根，则实数的取值范围是（）.
A. B.
CD.
【答案】D
【解析】
【分析】
由已知可得判别式△、对应的二次函数满足，即可求出的范围．
【详解】解：方程有两个实数根，△，
，
的方程有两个正的实数根，对应的二次函数的开口向上，对称轴
所以，
可得，
或，
，
故选：．
【点睛】本题考查一元二次方程的根；熟练掌握一元二次方程中判别式确定根的存在，再由两根都是正数，结合根与系数的关系求解是解题的关键．
8. 设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件分段求解析式及对应函数值集合，再利用数形结合即得.
【详解】因为函数的定义域为，满足，
且当时，，
当，时，，
则，
当，时，，
则，
当，时，，
则，
作出函数的大致图象，
对任意，都有，设的最大值为，
则，所以，解得或，
结合图象知m的最大值为，即的取值范围是.
故选：C.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列函数中，是偶函数且在上单调递增的是（）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】
【分析】先求函数定义域，再判断奇偶性，最后得出时函数的解析式判断单调性可依次解答判定.
【详解】对于A，函数定义域为R，
由，可得为偶函数；
又当时，在单调递减，在单调递增，故A错误；
对于B，定义域为，
由可得为偶函数；
又由幂函数性质可得在单调递减，故B错误；
对于C，定义域为，
由可得为偶函数；
又当时，，
因为在单调递增，在单调递减，
所以在单调递增，故C正确；
对于D，定义域为R，
由可得为偶函数；
又当时，，由指数函数性质可得在单调递增，故D正确.
故选：
10. 下列条件中，的必要不充分条件是（）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根据必要不充分条件的基本概念可以得到答案.
【详解】对于选项A，由不能推出，由可以推出，所以是的必要不充分条件.
对于选项B，由不能推出，由可以推出，所以是的必要不充分条件.
对于选项C，由不能推出，由也不能推出，所以是的既不充分也不必要条件.
对于选项D，由不能推出，由也不能推出，所以是的既不充分也不必要条件.
故选：AB
11. 下列函数中最大值为1的有（）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】根据基本不等式及其成立的条件“①正”，“②定”，“③相等”，逐一分析选项，即可得答案.
【详解】对于A，，
当且仅当，即或取等号，
所以在或取最小值为1，无最大值，故A不符合题意；
对于B，，
则
，
当且仅当，即取等号，
所以的最大值为1，故B符合题意；
对于C，，则，
当且仅当即取等号，但，
所以的值域为，故C不符合题意；
对于D，，
则，
当且仅当，即取等号，
所以的最大值为1，故D符合题意.
故选：BD
12. 已知函数定义域为，且为奇函数，为偶函数，且时，，则下列结论正确的是（）
A. 周期为4
B.
C. 在上为减函数
D. 方程有且仅有四个不同的解
【答案】BCD
【解析】
【分析】A选项，根据为奇函数，为偶函数得到，，然后通过替换得到，即可得到的周期为8；B选项，为奇函数得到，即可得到，然后结合周期求函数值即可；C选项，根据图象判断单调性；D选项，将的解转化为与图象交点横坐标，然后结合图象判断即可.
【详解】
由为奇函数，为偶函数，则，，
则，，
，，，
周期为8，故A错；
由题可得，，
又，，
∴当，，
，故B正确；
因为，，所以关于，关于直线对称，
又时，由此可得函数的大致图象，则在上为减函数，故C正确；
与图像交点横坐标即为的解，由图可知，两图有4个公共点，即方程有4个解，故D正确.
故选：BCD
第II卷非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 计算：______.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用指数运算、对数运算计算即得.
【详解】.
故答案为：
14. 函数的单调递减区间是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，由条件可得在单调递减，在单调递增，再由复合函数的单调性即可得到结果.
【详解】设，由可得，或，
则函数，由在单调递减，在单调递增，
而在单调递增，由复合函数的单调性可知，
函数的单调递减区间是.
故答案为：
15. 已知，则______________．
【答案】
【解析】
【分析】首先求，再将所求转化为齐次分式形式，并用表示，即可求解.
【详解】因为，则，
原式.
故答案为：
16. 已知函数是定义在上的奇函数，且，若对于任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为__________.（用区间表示）
【答案】
【解析】
【分析】由题设，令易得为偶函数，在上递增，在上递减，且，讨论不同区间上对应解集，即可得结果.
【详解】由为定义在上的奇函数，则，
令，则对任意，，恒成立，
所以在上递增，又，定义域为R，
所以为偶函数，在上递增，在上递减，且，
时，，在上，则；在上，则；
综上，不等式的解集为.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知集合.
（1）求集合A；
（2）若，求实数a的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据分式不等式的解法解不等式，即可得出集合；
（2）由，得，再根据集合的包含关系列出不等式即可得解.
【小问1详解】
由有，即，
所以，解得，
所以集合；
【小问2详解】
因为，所以，
由（1）知，而，显然，
则有，解得，
即实数a的取值范围是.
18. 在平面直角坐标系中，角的始边为轴的非负半轴，终边经过点
（1）求的值和；
（2）化简求值
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角函数定义求得m的值，然后根据正切函数的定义直接计算得到答案.
（2）利用诱导公式和同角三角函数的关系化简化简整理为齐次式，然后切化弦得到原式等于，计算得到答案.
【小问1详解】
终边经过点，故，解得，.
【小问2详解】
.
19. 已知函数，（，，）的一段图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在上的递减区间．
【答案】（1）；（2）递减区间，．
【解析】
【分析】（1）首先求出、，再求出即可得到函数解析式；
（2）首先求出函数在上的单调递减区间，再取交集即可；
【详解】解：（1）由图可知，，
因为，所以，
，
由，，，得．
所以；
（2）由，得
，又因为，
所以，
所以函数在上的递减区间，．
【点睛】本题考查由三角函数图象求函数解析式，正弦函数的性质的应用，属于中档题.
20. 已知是定义域为R的奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断的单调性并证明你的结论；
（3）若恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】（1）；
（2）单调递增，证明见解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用奇函数定义，列式计算作答.
（2）判断单调性，再利用函数单调性定义按步骤推理作答.
（3）利用函数的奇偶性、单调性脱去法则“f”，再分离参数求出最值作答.
【小问1详解】
因为函数是定义域为R的奇函数，则有，解得，
此时，，函数是奇函数，
所以.
小问2详解】
函数在R上单调递增，
任意，，
因为函数在R上单调递增，，则有，即有，即，
所以函数在R上单调递增.
【小问3详解】
由（2）知，函数在R上单调递增，又是R上的奇函数，
不等式恒成立，等价于，
即恒成立，而，当且仅当时取等号，则，
所以实数k的取值范围是.
21. 年新冠肺炎疫情仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”、“拉姆达”、“奥密克戎”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松．某科研机构对某变异毒株在一特定环境下进行观测，每隔单位时间进行一次记录，用表示经过单位时间的个数，用表示此变异毒株的数量，单位为万个，得到如下观测数据：
若该变异毒株的数量单位：万个与经过个单位时间的关系有两个函数模型与可供选择．
参考数据：，，，
（1）判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
（2）求至少经过多少个单位时间该病毒的数量不少于亿个．
【答案】（1）选择函数更合适，解析式为
（2）11个
【解析】
【分析】（1）将，和，分别代入两种模型求解解析式，再根据的值，即可判断；
（2）设至少需要x个单位时间，则，再结合对数函数的公式，即可求解．
【小问1详解】
若选，
将，和，代入可得，，解得，
故，
将代入，，不符合题意；
若选，
将，和，代入可得，，解得，
故，
将代入可得，，符合题意；
综上所述，选择函数更合适，解析式为
【小问2详解】
设至少需要x个单位时间，
则，即，两边同时取对数可得，，
则，
，
的最小值为11，
故至少经过11个单位时间该病毒的数量不少于1亿个．
22. 已知定义在R上的函数满足且，．
（1）求的解析式；
（2）若不等式恒成立，求实数a取值范围；
（3）设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据，代入计算可得；
（2）根据单调性得，分离参数求最值即可.
（3）因为对任意的，存在，使得，等价于，先求的最小值，再分类讨论对称轴与区间的位置关系，使的最小值满足小于等于1的条件，求解即可.
【小问1详解】
由题意知，，
即，所以，
故.
【小问2详解】
由（1）知，，
所以在R上单调递增，
所以不等式恒成立等价于，
即恒成立.
设，则，，当且仅当，即时取等号，
所以，
故实数a的取值范围是.
【小问3详解】
因为对任意的，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因为在上单调递增，
所以当时，，
又的对称轴为，，
当时，在上单调递增，，解得，
所以；
当时，在上单调递减，在上单调递增，
，解得，所以；
当时，在上单调递减，，解得，
所以，
综上可知，实数m的取值范围是.
万个