北京师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期末考试数学试卷（Word版附解析）

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第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据集合交集运算求解即可.
【详解】由集合，
可得.
故选：D.
2. 某市准备建一个体育文化公园，针对公园中的体育设施，某社区采用分层随机抽样的方法对成年居民进行了调查．已知该社区青年居民有840人，中年居民有700人，老年居民有560人．若从中年居民中随机抽取了100人，则这次抽样调查抽取的总人数是（ ）
A. 200B. 250C. 280D. 300
【答案】D
【解析】
【分析】求出中年居民所占的比例，即可求得答案.
【详解】由题意知中年居民所占的比例为，
故这次抽样调查抽取的总人数是.
考
生
须
知
1．本试卷有三道大题，共6页.考试时长120分钟，满分150分.
2．考生务必将答案填写在答题纸上，在试卷上作答无效.
3．考试结束后，考生应将答题纸交回.
故选：D.
3. 已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用指数函数和对数函数的单调性判断.
【详解】，，，.
故选：A.
4. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】直接判定各函数的奇偶性和单调性即可.
【详解】选项A：是偶函数，在区间上是减函数，A正确；
选项B：定义域为，为非奇非偶函数，B错误；
选项C：是偶函数，在区间上是增函数，C错误；
选项D：是偶函数，在区间上是增函数，D错误；
故选：A.
5. 如图所示，四点在正方形网格的格点处.若，则实数（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算得解.
【详解】建立平面直角坐标系，如图，

则,
所以，
由可得，
即，解得，所以.
故选：C
6. 设为非零向量，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】由向量的垂直与模长结合充分必要条件的概念判断即可.
【详解】因为为非零向量，若，则，
所以，，则，
反之若，所以，
所以，由于为非零向量，故，
所以，“”是“”的充要条件.
故选：C.
7. 已知，从四个不等式 ①，②，③，④中任选2个，事件“所选2个不等式都不成立”的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先把四个不等式判断是否正确，进而用组合算出相应的概率.
【详解】取，，得，故①错误；
因，所以两边同时乘以，得，故②错误；
因为，则，所以，当且仅当时取等号，显然等号无法取得，故③正确；
因为，所以，故④错误，
故四个命题中有一个是正确，设事件“所选2个不等式都不成立”为事件A，
则.
故选：B.
8. 2019年10月20日，第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，分别为华为“高性能服务器芯片鲲鹏920”、清华大学“面向通用人工智能的异构融合天机芯片”、特斯拉“全自动驾驶芯片”、“思元270”、赛灵思“Versal自适应计算加速平台”．现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则至少有1名学生选择的成果属于芯片领域的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】基本事件总数，至少有1名学生选择“芯片领域”的对立事件是没有学生选择“芯片领域”，由此能求出至少有1名学生选择“芯片领域”的概率.
【详解】第六届世界互联网大会发布了15项“世界互联网领先科技成果”，其中有5项成果均属于芯片领域，现有3名学生从这15项“世界互联网领先科技成果”中分别任选1项进行了解，且学生之间的选择互不
影响,基本事件总数，
至少有1名学生选择“芯片领域”的对立事件是没有学生选择“芯片领域”，
则至少有1名学生选择“芯片领域”的概率.
故选：D.
9. 已知函数若直线与函数的图象有且只有一个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】通过导数求出直线与分段函数各段相切对应的值，并结合图象即可求解.
【详解】当时，函数，则，
令，解得，
故直线与相切，即.
当时，函数，则，
令，解得，
故直线与相切，即.
如图所示，当或时，直线与分段函数有且仅有一个公共点.
故实数的取值范围为或.
故选：B.
10. 在一定通风条件下，某会议室内的二氧化碳浓度c随时间t（单位：）的变化规律可以用函数模型近似表达．在该通风条件下测得当时此会议室内的二氧化碳浓度，如下表所示，用该模型推算当时c的值约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意知建立方程组分别求出，，从而可求解.
【详解】由题意得：当时，，
当时，，
当时，，
由得，
由得，
由得，所以，
由得，解得，
所以当时，，
故C正确.
故选：C.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
t
0
5
10
c
11. 函数的定义域是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】由对数函数的定义域得，转化为一元二次不等式求解即可.
【详解】由题意，，即，解得，则定义域为.
故答案为：.
12. 计算：_____________．
【答案】
【解析】
【分析】利用根式的性质及对数的运算性质求解.
【详解】
.
故答案为：.
13. 已知向量和不共线，四个不同的点A，B，C，D，满足，，．若点A，C，D共线，请写出一组满足条件的实数对：_____________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】由共线向量的基本定理求解即可.
【详解】因为，，
所以，，
若点A，C，D共线，存在实数，使得，
即，所以，
故答案为：（答案不唯一）
14. 某校团委为弘扬民族精神，深化爱国主义教育，激发青年一代的历史使命感和时代责任感，在高一年级举办“一二·九”合唱比赛．甲、乙两位评委分别给参赛的13个团支部的最终评分（百分制）如下茎叶图所示，则关于这组数据的下列说法中，正确的是_____________．
① 甲的极差比乙的极差大； ② 甲的众数比乙的众数大；
③ 甲的分位数比乙的分位数相等； ④ 甲的方差比乙的方差小．
【答案】②④
【解析】
【分析】由茎叶图可知，将甲，乙的数据从小到大依次排列，然后计算极差，众数，分位数逐项判断即可，由茎叶图可知，甲的数据比乙更集中，波动小，故甲的方差比乙小判断即可.
【详解】由茎叶图可知，将甲，乙的数据从小到大排列依次为：
甲：，
乙：，
甲的极差为：，乙的极差为：，故①错误；
甲的众数为：，乙的众数为：，故②正确；
由于，故甲分位数为：，乙的分位数为：，故③错误；
由茎叶图可知，甲的数据比乙更集中，波动小，故甲的方差比乙小，故④正确；
故答案为：②④.
15. 对于函数﹐若集合中恰有个元素，则称函数是“阶准偶函数”．已知函数
（1）若，则函数是“_______阶准偶函数”；
（2）若函数是“阶准偶函数”，则的取值范围是_____________．
【答案】 ①. 2 ②.
【解析】
【分析】（1）根据“阶准奇函数”的定义，可将问题转化为的根的问题；
（2）根据“阶准偶函数”定义，分，，三种情况分析即可得答案.
【详解】①当时，函数，的取值为，的取值为，即，根据题意得,解得或，
则集合中恰有个元素，
故是“阶准偶函数”
②根据题意，函数是“阶准偶函数”，
则集合中恰有个元素，
当时,是“阶准偶函数”，不合题意；
当时，函数的图像如图①所示，
根据“阶准偶函数”的定义得的可能取值为，的可能取值为，
由题意知，
所以解得或
要使得集合中恰有个元素，则需要满足，
即
当时，函数的图像如图②所示，
根据“阶准偶函数”的定义得的可能取值为或，为，
由题意知，
当，解得不符合题意
当，解得或，
要使得集合中恰有个元素，则需要满足.
综上，若函数是“阶准偶函数”，则的取值范围是.
故答案为：2；范围是.
【点睛】解题的关键是根据新定义的“阶准偶函数”，将问题转化为研究函数，可能取何值，求出方程的解，通过分类讨论根据方程的解的个数确定的取值范围.
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知向量，，．
（1）求；
（2）若向量，试用表示；
（3）若，求实数的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先写出的坐标，再计算模长即可；
（2）按照向量的坐标运算解方程即可；
（3）先求出向量的坐标，再结合的坐标按照向量共线解方程即可.
【小问1详解】
因为，，
所以，
所以.
【小问2详解】
由题可知与不共线，故设()，
即，
所以，解得，．
因此.
【小问3详解】
由题意得．
因为，
所以，
解得.
17. 设函数．
（1）直接写出函数的奇偶性；
（2）判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明；
（3）求函数在上的值域．
【答案】（1）奇函数 （2）单调递减，证明见解析
（3）
【解析】
【分析】(1)根据函数奇偶性的定义判断与证明即可；
(2)定义法得到函数单调性步骤，取点，作差，变形判号，下结论；
(3)根据题意求出函数在内的单调性，然后在内求出最值，得到值域.
【小问1详解】
是奇函数，理由如下：
的定义域为，且，
故是奇函数.
【小问2详解】
在上单调递减，证明如下：
由题意得．
任取，且，
则．
因为，所以，，，
所以，即．
因此在上单调递减．
【小问3详解】
由题可知的定义域为．
因为是奇函数，且在上单调递减，
所以在上单调递减．
因为，所以，即．
所以在上的值域为．
18. 一高校承办了某届世乒赛志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同．
（1）求的值；
（2）（ⅰ）直接写出这100名候选者面试成绩的中位数所在的分组区间；
（ⅱ）估计这100名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）在第四、第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率．
【答案】（1），
（2）（ⅰ）；（ⅱ）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据第三、四、五组的频率之和为列方程可解，再根据第一、二组的频率之和为列方程可解；
（2）（ⅰ）根据频率分布直方图，得位于区间的频率和位于区间的频率，即可判断中位数所在的分组区间；（ⅱ）根据频率分布直方图得频率，再利用加权平均数公式计算即可；
（3）根据频率确定比例，可得第四组志愿者人数为4，第五组志愿者人数为1，利用古典概型计算概率即
可.
【小问1详解】
因为第三、四、五组的频率之和为，
所以，解得，
又前两组的频率之和为，则，解得．
【小问2详解】
（ⅰ）因为位于区间的频率为，
位于区间的频率为，
所以中位数所在的分组区间为；（学生直接写答案即可）
（ⅱ）平均数为．
【小问3详解】
第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，
故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为a，b，c，d，第五组志愿者人数为1，设为e．
考虑从这5人中选出2人的试验，其样本空间可记为，则，
记事件为“选出的两人来自不同组”，则，从而，
因此，．
19. 设函数，关于x的不等式的解集为．
（1）当时，求解集S；
（2）是否存在实数a，使得？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
（3）求函数的零点．
【答案】（1）
（2）存，
（3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）将代入函数解析式，由得关于的一元二次不等式，求解即可；
（2）将一元二次不等式解集的端点值转化为一元二次方程的解，利用韦达定理求解即可；
（3）令，得方程，先根据是否等于零分类讨论，再结合一元二次方程的判别式，求根公式求解即可.
【小问1详解】
当时，函数．
由，得，即，解得．
所以解集．
【小问2详解】
假设存在实数，使得，
则，并且，是方程的两个根，
所以，解得．
因此，存在，使得．
【小问3详解】
令，得关于的方程．
①当时，有，解得．
②当时，关于的一元二次方程的判别式为．
（ⅰ）当，即时，方程无实数解；
（ⅱ）当，即时，解得；
（ⅲ）当，即且时，解得．
综上所述，当时，没有零点；
当时，的零点为；
当时，的零点为；
当且时，的零点为和．
20. 已知函数．
（1）求函数的最小值；
（2）若对于，恒成立，求的取值范围；
（3）若关于的方程有两个不同的实数解，直接写出实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先确定函数的定义域，再利用对数运算和换元法化简解析式，根据二次函数的单调性和复合函数的单调性判断方法确定函数的单调性，进而求得最值；
（2）将的解析式代入不等式，利用换元法得对于，恒成立，将恒成立问题转化为最值问题，利用对勾函数的单调性求最值即可；
（3）画出函数的图象，将方程有两个不同的实数解转化为函数和的图象有两个交点即可.
【小问1详解】
由题意，函数的定义域为，
，
令，则，则．
因为二次函数开口向上，且对称轴为，
所以函数在上单调递减，在上单调递增；
由，得，解得，
又因为对数函数是增函数，
所以根据复合函数的单调性判断方法可知：
函数在上单调递减，在上单调递增．
因此当时，有最小值，最小值为；
【小问2详解】
由，得．
令，由，得．
由题意可知，对于，恒成立，即恒成立．
令，则，．
由对勾函数的单调性可知在上单调递减，在上单调递增，
且，，
所以当时，．
因此，解得，即．
【小问3详解】
结合（1）可画出函数的大致图象如下：
如图所示，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
在区间上单调递减，在区间上单调递增，
并且，，
因此当时，关于的方程有两个不同的实数解.
21. 对任意正整数，记集合均为非负整数，且，集合均为非负整数，且．设，，若对任意都有，则记．
（1）写出集合和；
（2）证明：对任意，存在，使得；
（3）设集合求证：中的元素个数是完全平方数．
【答案】（1），
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据集合与的公式，写出集合和即可；
（2）任取，设，令，只需证明，即可证明结论成立；
（3）任取，，可证明，且，，再设集合中的元素个数为，设，设集合，通过证明，，推出，即可完成证明．
【小问1详解】
，．
【小问2详解】
对任意，设，
则均为非负整数，且．
令，则
，所以，且．
【小问3详解】
对任意，，
记，则，，…，均为非负整数，
且，
所以，且，．
设集合中的元素个数为，设．
设集合．
对任意，都有，，…，，
且，．所以．
若，其中，，
设，因为，所以，
记，则，
所以，并且有，所以，所以．所以．
因为集合中的元素个数为，所以中的元素个数为，是完全平方数．
【点睛】关键点点睛：集合元素的个数转换为证明两个集合相等.