数学九年级下册6.5 相似三角形的性质精练

这是一份数学九年级下册6.5 相似三角形的性质精练，共20页。

【题型1 相似三角形的性质】
【题型2相似三角形的性质与判定综合应用】
【题型3 作图-相似变换】
【题型4 射影定理】
【题型1 相似三角形的性质】
1．如图，△ABC∽△DEF，则DF的长是（ ）
A．B．C．2D．3
2．两个相似三角形的相似比是4：9，则其面积之比是（ ）
A．2：3B．4：9C．9：4D．16：81
3．如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，AB＝4，则CD的长是（ ）
A．1B．2C．3D．4
4．已知△ABC∽△DEF，若△ABC的三边分别长为6，8，10，△DEF的面积为96，则△DEF的周长为 ．
5．若△ABC∽△DEF，△ABC的面积为81cm2，△DEF的面积为36cm2，且AB＝12cm，则DE＝ cm．
6．两个相似三角形的周长比是3：4，其中较小三角形的面积为18cm2，则较大三角形的面积为 cm2．
7．如果两个相似三角形的周长比为1：6，那么这两个三角形的面积比为 ．
8．如果两个相似三角形的面积比是1：9，那么它们的周长比是 ．
9．如图，已知△ABC∽△ADE，AD＝6，BD＝3，DE＝4，则BC＝ ．
10．若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的面积为12cm2，则△A′B′C′的面积为 cm2．
【题型2相似三角形的性质与判定综合应用】
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，E是AC上一点，AE＝5，过点E作ED⊥AB于点D，求AD的长．
12．如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，AE∥DF．
（1）当，BF＝6cm时，求BE的长；
（2）求证：BE2＝BF•BC．
13．如图，在平行四边形ABCD中，E是边AD的延长线上一点，连接BE交边CD于点F，交对角线AC于点G．
（1）求证：△BGC∽△EGA；
（2）若，求的值．
14．如图，在△ABC和△DEC中，．
（1）求证：△ABC∽△DEC；
（2）若S△ABC：S△DEC＝9：16，BC＝6，求EC的长．
15．如图，D、E分别是AC、AB上的点，连接DE，且∠ADE＝∠B，若DE＝8，AB＝18，AD＝6，求BC的长．
16．如图，已知△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝∠B．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）若AB＝5，BC＝6，BD＝2，求点E到BC的距离．
17．如图，在△ABC中，BC＝12，高AD＝6，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，求AN的长．
18．如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，DF⊥AE于点F．
（1）求证：△ADF∽△EAB．
（2）已知AB＝4，BC＝6，求EF的长．
【题型3 作图-相似变换】
19．在△ABC中，∠ABC＝90°，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△ABD∽△BCD，如下四个尺规作图，正确的是（ ）
A．（作一个角的平分线）B．（作线段的垂直平分线）
C．（作高）D．（作等腰三角形）
20．尺规作图：如图，在△ABC中，AB＝AC，请你利用尺规在BC边上求一点P，使得△ABC∽△PAC．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
21．在4×6的网格中，格点△ABC的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．
（1）填空：△ABC的面积为 ．
（2）请利用网格再画一个格点△DEF∽△ABC且面积最小，并将此三角形涂上阴影．（注：标上字母）
22．阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：
黄金分割：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudxus，约前408年﹣﹣前355年）发现：如图1，将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即（此时线段AP叫做线段PB，AB的比例中项），则可得出这一比值等于（0.618…）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点P叫做线段AB的黄金分割点．
采用如下方法可以得到黄金分割点：如图2，设AB是已知线段，经过点B作BD⊥AB于点B，且使BD＝AB，连接DA，在DA．上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE，C就是线段AB的黄金分割点．任务：
（1）求证：C是线段AB的黄金分割点．
（2）若BD＝1，则BC的长为 ．
23．（1）如图1，在△ABC中，AB＞AC，请用无刻度的直尺和圆规在AB上确定一点P，使得△ACP∽△ABC．（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）在（1）的条件下，若AC＝6，AB＝8，则AP的长为 ；
（3）在如图2的正方形网格中，△DEF的三个顶点均为格点，请用无刻度的直尺，在边DF上确定一点M，使得DE2＝DM⋅DF．（保留作图痕迹，不要求写作法）
【题型4 射影定理】
24．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为点D，下列结论错误的是（ ）
A．AB2＝BD•BCB．AC2＝DC•BCC．AD2＝BD•DCD．BC2＝AB•AC
25．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，BE平分∠ABC交CD于F，EH⊥CD于H，则下列结论：①CD2＝AD•BD；②AC2+BD2＝BC2+AD2；③；④若F为BE中点，则AD＝3BD，其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
26．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，M均为格点，点A，B，M均在以格点O为圆心的圆上．
（1）线段AB的长等于 ．
（2）请你只用无刻度的直尺，在线段AB上画点P，使AM2＝AP•AB，并简要说明P点是如何找到的（不要求证明） ．
27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CD＝3，BD＝1，则AC的长是 ．
28．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是AC边上的高，AC＝9，CD＝6，则BC的长为 ．
​
29．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，BC＝5，BD＝3，求AB的长．
​
30．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，AD＝6，BD＝3．
（1）求证△DAC∽△DCB；
（2）求DC的长．
31．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边上一点，且CD⊥AB．
（1）求证：AC2＝AB•AD；
（2）若△ABC为任意三角形，试问：在AB边上（不包括A、B两个顶点）是否仍存在一点D，使AC2＝AB•AD，若存在，请加以证明；若不存在，请说明理由．
参考答案
【题型1 相似三角形的性质】
1．C
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，
∴，即，解得DF＝2，故选：C．
2．D
【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是4：9，∴其面积之比是16：81，故选：D．
3．B
【解答】解：∵△ABO∽△CDO，∴＝，即＝，解得CD＝2．故选：B．
4．48．
【解答】解：法一、∵62+82＝102，∴△ABC是直角三角形．∴S△ABC＝×6×8＝24．
∵△ABC∽△DEF，∴两个三角形的相似比为＝．
∵△ABC的周长为6+8+10＝24，∴△DEF的周长＝2×24＝48．
故答案为：48．
法二、∵62+82＝102，
∴△ABC是直角三角形．
∴S△ABC＝×6×8＝24．
∵△ABC∽△DEF，
∴两个三角形的相似比为＝．
∴△DEF的三边长分别为12、16、20．
∴△DEF的周长＝12+16+20＝48．
故答案为：48．
5．8
【解答】解：△ABC的面积为81cm2，△DEF的面积为36cm2，
因而两个三角形面积的比是81：36，
相似三角形面积的比等于相似比的平方，则相似比是9：6，
则有12：DE＝9：6
解得：DE＝8cm．
6．32．
【解答】解：∵两个相似三角形的周长比是3：4，
∴这两个相似三角形的相似比是3：4，
∴这两个相似三角形的面积比是9：16，
∵较小三角形的面积为18cm2，
∴较大的三角形面积为，
故答案为：32．
7．1：36．
【解答】解：∵两个相似三角形的周长之比为1：6，
∴它们的相似比为1：6，
∴它们的面积比为1：36，
故答案为：1：36．
8．1：3．
【解答】解：∵两个相似三角形的面积比是1：9，
∴两个三角形的相似比为，1：3，
∴它们的周长比是1：3，
故答案为：1：3．
9．6．
【解答】解：∵AD＝6，BD＝3，
∴AD：AB＝6：，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∵DE＝4，
∴BC＝6．
故答案为：6．
10．27．
【解答】解：设△A′B′C′的面积为Scm2，
∵△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的面积为12cm2，
∴12：S＝9：4，
解得S＝27cm2．
故答案为：27．
【题型2相似三角形的性质与判定综合应用】
11．AD＝4．
【解答】解：∵∠C＝∠ADE＝90°，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴
∴，
∴AD＝4．
12．（1）BE的长为10cm；
（2）证明见解答．
【解答】（1）解：∵，
∴＝，
∵AE∥DF，
∴＝＝，
∴BE＝BF＝×6＝10（cm）；
（2）证明：∵DE∥AC，
∴＝，
∵AE∥DF，
∴＝，
∴＝，
∴BE2＝BF•BC．
13．（1）证明过程见解答；（2）．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠GAE＝∠GCB，∠GEA＝∠GBC，
∴△BGC∽△EGA；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD，
设BC＝AD＝2x，
∵BC∥AD，
∴△BGC∽△EGA，
∴＝＝，
∴AE＝3x，
∴DE＝x，
同（1）证△DEF∽△CBF，
∴＝＝．
14．（1）见解析；（2）CE＝8．
【解答】（1）证明：∵∠BCE＝∠ACD，
∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE，
∴∠DCE＝∠ACB，
又∵，
∴△ABC∽△DEC；
（2）解：∵△ABC∽△DEC，
∴，
∵BC＝6，
∴CE＝8．
15．BC＝24．
【解答】解：∵∠ADE＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴．
∵DE＝8，AB＝18，AD＝6，
∴，
∴BC＝24．
16．（1）见解析过程；（2）．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，
∴∠BAD＝∠CDE，
∴△ABD∽△DCE；
（2）如图，过点A作AH⊥BC于H，过点E作EM⊥BC于M，
∵AB＝AC，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝3，
∴AH＝＝＝4，
∵BD＝2，BC＝6，
∴DC＝4，S△ABD＝×BD•AH＝4，
∵△ABD∽△DCE，
∴＝（）2＝，
∴S△CDE＝，
∴×4×EM＝，
∴EM＝，
∴点E到BC的距离为．
17．2．
【解答】解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，
∵四边形EFGH是正方形，
∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AD是△ABC的高，
∴∠HDN＝90°，
∴四边形EHDN是矩形，
∴DN＝EH＝x，
∵△AEF∽△ABC，
∴＝（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），
∵BC＝12，AD＝6，
∴AN＝6﹣x，
∴＝，
解得：x＝4，
∴AN＝6﹣x＝6﹣4＝2．
18．（1）证明见解析；（2）1.4．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，DF⊥AE，
∴∠B＝∠AFD＝90°，∠BAE+∠EAD＝∠EAD+∠ADF＝90°，
∴∠BAE＝∠ADF，
∴△ADF∽△EAB；
（2）解：∵E为BC的中点，
∴BE＝，
∴AE＝＝5，
∵△ADF∽△EAB，
∴，
∴，
∴AF＝3.6，
∴EF＝AE﹣AF＝5﹣3.6＝1.4．
【题型3 作图-相似变换】
19．C
【解答】解：当BD是AC的垂线时，△ABD∽△BCD，
∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝∠CDB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠A+∠ABD＝∠ABD+∠CBD＝90°，
∴∠A＝∠CBD，
∴△ABD∽△BCD，
根据作图痕迹可知：
A、BD是∠ABC的角平分线，不与AC垂直，故不符合题意；
B、BD是AC的中线，不与AC垂直，故不符合题意；
C、BD是AC的垂线，故符合题意；
D、AB＝AD，BD不与AC垂直，故不符合题意．
故选：C．
20．见解答．
【解答】解：如图所示：点P即为所求．
21．（1）4．（2）见解答．
【解答】解：（1）△ABC的面积为＝4．
故答案为：4．
（2）如图，△DEF即为所求．
22．（1）见解析；（2）3﹣．
【解答】（1）证明：设BD＝x，则AB＝2x，
由勾股定理得AD＝x，
∵DE＝BD，AE＝AC，
∴AC＝AE＝AD﹣DE＝AD﹣BD＝（﹣1）x，
∴，
∴C是线段AB的黄金分割点；
（2）解：当BD＝1时，
由（1）知AB＝2，AC＝﹣1，
∴BC＝AB﹣AC＝2﹣（﹣1）＝3﹣，
故答案为：3﹣．
23．（1）见解析；
（2）；
（3）见解析．
【解答】解：（1）如图，点P满足要求，
∵∠ACP＝∠ABC，∠A＝∠A，
∴△ACP∽△ABC．
（2）∵△ACP∽△ABC．
∴，
∵AC＝6，AB＝8，
∴，
故答案为：
（3）如图，点M即为所求，
如图，取FN＝3，DQ＝2，连接QN交DF于点M，
∵DQ∥NF，
∴∠QDM＝∠NFM，∠DQM＝∠FNM，
∴△QDM∽△NFM，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴DE2＝＝10＝DE•DF，
∴点M满足要求
【题型4 射影定理】
24．D
【解答】解：如图，∠ABD＝∠CBA，∠ADB＝∠CAB＝90°，
由射影定理知，AB2＝BD•BC，AC2＝DC•BC，AD2＝BD•DC，故选项A、B、C不符合题意．
AC•AB＝BC•AD，即BC•AD＝AB•AC．只有当AD＝BC时BC2＝AB•AC才能成立，故选项D符合题意．故
故选：D．
25．D
【解答】解：①、∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴△ACD∽△CBD，
∴＝，即CD2＝AD•DB，故①正确；
②∵AC2﹣AD2＝BC2﹣BD2＝CD2，
∴AC2+BD2＝BC2+AD2故②正确；
③作EM⊥AB，则BD+EH＝BM，
∵BE平分∠ABC，△BCE≌△BEM，
∴BC＝BM＝BD+EH，
∴，故③正确；
④若F为BE中点，则CF＝EF＝BF，
∴∠BCD＝∠CBF＝∠DBF＝30°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC＝4BD，
∴AD＝3BD，故④正确．
故选：D．
26．（1）；
（2）取格点I，连接MI交AB于点P，点P即为所求作．
【解答】解：（1），
故答案为：；
（2）取格点I，连接MI交AB于点P，点P即为所求作，
27．3．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，
∵∠B＝∠ACD，∠BDC＝∠CDA＝90°，
∴△BCD∽△CAD，
∴，
∴CD2＝BD•AD，
∴AD＝＝＝9，
∵∠B＝∠B，∠BCD＝∠A，
∴△BCD∽△BAC，
∴，
∵AC2＝AB•AD＝（BD+AD）•AD＝（1+9）×9＝90，
∴AC＝3．
故答案为：3．
28．3．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，BD是AC边上的高，
∴BC2＝CD•CA，
即BC2＝6×9，
解得BC＝3或BC＝﹣3（舍去），
即BC的长为3．
故答案为：3．
29．．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，
∴CD＝＝＝4，
∵∠BCD+∠ACD＝90°，∠B+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
又∵∠BCA＝∠CDB＝90°，
∴△BCD∽△BCA，
∴＝
∴，
∴AB＝．
30．（1）见解析过程；（2）．
【解答】（1）证明：∵CD是斜边AB上的高，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
又∵∠BCD+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，
∴△DAC∽△DCB；
（2）解：∵△DAC∽△DCB，
∴＝，即CD2＝AD×BD，
∴CD＝＝＝．
31．见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝，
∴AC2＝AB•AD；
（2）解：存在，
理由：如图，
过C作∠ACD＝∠B交AB于D，
则AC2＝AB•AD，
证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴＝，
∴AC2＝AB•AD．