四川省成都市邛崃市第一中学2024-2025学年高二上学期1月期末调研考试数学试卷（Word版附答案）

这是一份四川省成都市邛崃市第一中学2024-2025学年高二上学期1月期末调研考试数学试卷（Word版附答案），共11页。试卷主要包含了考试结束后，只将答题卡交回等内容，欢迎下载使用。
本试卷满分150分，考试时间150分钟。
注意事项:
1．答卷前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5．考试结束后，只将答题卡交回。
第I卷（选择题）
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求.
1．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
2．直线的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．
3．已知抛物线，弦过其焦点，分别过弦的端点的两条切线交于点，点到直线距离的最小值是（ ）
A．B．C．1D．2
4．已知双曲线，A为双曲线C的左顶点，B为虚轴的上顶点，直线l垂直平分线段，若直线l与C存在公共点，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能破译的概率分别是，，则密码被成功破译的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．已知是直线的一个方向向量，是平面的一个法向量，若．则（ ）
A．B．C．D．
7．在直角坐标系中，已知直线与圆相交于两点，则的面积的最大值为（ ）
A．1B．C．2D．
8．已知抛物线，圆，若点、分别在、上运动，且设点，则的最小值为（ ）．
A．B．C．D．
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9．已知一组数据，则下列结论正确的有（ ）
A．若，则这组数据的众数为1
B．若，则这组数据的分位数为3
C．若，则这组数据的平均数的最小值为
D．若，则这组数据的平均数的最小值为2
10．已知为坐标原点，抛物线的焦点为为上第一象限的点，且，过点的直线与交于两点，圆，则（ ）
A．
B．若，则直线倾斜角的正弦值为
C．若的面积为6，则直线的斜率为
D．过点作圆的两条切线，则两切点连线的方程为
11．如图，棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为面对角线上一个动点，则下列选项中正确的有（ ）
A．三棱锥的体积为定值．
B．无论点在线段的什么位置，都有平面平面
C．线段上存在点，使平面平面．
D．为上靠近的四等分点时，直线与所成角最小
第II卷（非选择题）
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12．甲、乙、丙、丁、戊、己名同学相互做传接球训练，球从甲手中开始，等可能地随机传向另外人中的人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外人中的人，如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住.记第次传球之后球在乙手中的概率为，则 .
13．已知椭圆的离心率为，且过点，动直线交椭圆于不同的两点、，且（为坐标原点），则 ．
14．已知抛物线C：的焦点为F，，过点M作直线的垂线，垂足为Q，点P是抛物线C上的动点，则的最小值为 ．
四、解答题;本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知，
(1)求线段垂直平分线所在直线方程
(2)若直线过，且、到直线距离相等，求方程
16．甲袋装有一个黑球和一个白球，乙袋也装有一个黑球和一个白球，四个球除颜色外，其他均相同．现从甲乙两袋中各自任取一个球，且交换放入另一袋中，重复进行n次这样的操作后，记甲袋中的白球数为，甲袋中恰有一个白球的概率为
(1)求；
(2)求的解析式；
(3)求．
17．已知平面直角坐标系上一动点到点的距离是点到点的距离的倍.
(1)求点的轨迹方程；
(2)若点与点关于点对称，点，求的最大值和最小值；
(3)过点的直线与点的轨迹相交于两点，点，则是否存在直线，使取得最大值，若存在，求出此时的方程，若不存在，请说明理由.
18．如图，在直三棱柱中，分别是的中点，，.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
19．已知椭圆：（）的焦距为，，分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于两点，的周长为8.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)对于，是否存在实数，使得直线分别交椭圆于点，且？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
12．
13．2
14．
15．（1）因为点，．
所以线段的中点坐标为，直线的斜率为，
因此直线的中垂线的斜率为，
因此线段的垂直平分线所在直线方程为，
即；
（2）因为直线过点，，，
当直线的斜率不存在时，显然不合题意，
设直线的方程为，即，
所以，解得或，
所以直线的方程为或.
16．（1）记第次交换后甲袋中恰有两个白球的概率为，
则第次交换后甲袋中恰有零个白球的概率为，
由题意得．
；
（2）由（1）知，
所以，且，
从而数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
即；
（3）显然的所有可能取值为0，1，2，
且，
，
即，从而，
所以的分布列为
所以.
17．（1）由已知，
化简得，即，
所以点P的轨迹方程为；
（2）依题意，设，
因为点与点关于点对称，，所以点P坐标为，
因为点P在圆上运动，所以，
即点Q的轨迹方程为，
不妨设，
，
其中，
则当时，取得最大值；
当时，取得最小值；
（3）由题意知的斜率一定存在，
不妨假设存直线的斜率为k，且，则，
联立方程：，
所以，
又因为直线不经过点，则，
因为点到直线的距离，，
所以，
因为，
所以当时，取得最大值2，此时，
所以直线的方程为或.
18．（1）由为直三棱柱，得平面，又，
以为原点，分别为轴，轴，轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

不妨设，
由题意可得：，
于是，，
设平面的法向量为，则，取，得，
显然，即平面，而平面，
所以平面.
（2）由（1）可知，平面的一个法向量为，显然轴垂直于平面，
不妨取其法向量为，设所求的平面夹角为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为.
19．（1）因为的周长为
，所以，
又因为，所以，所以，
所以椭圆的标准方程为.
（2）
设，设中点为，
联立，消去整理得，，
所以，即，
所以或，
又由韦达定理可得，，
所以，
所以，
因为，所以，
由或，可知，直线的斜率均存在，且都不等于零，
所以，即，
整理得，解得，
又因为或，所以满足题意，
所以存在.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
D
B
B
D
D
B
ABC
ACD
题号
11









答案
ABD









0
1
2