四川省泸县第二中学2024-2025学年高一上学期1月期末数学试卷（Word版附解析）

这是一份四川省泸县第二中学2024-2025学年高一上学期1月期末数学试卷（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了 “函数的定义域为R”是“”的， 若，则的大小关系为， 下列命题的否定是真命题的是， 已知，则的零点个数为， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项:
1.答卷前，考生务必把自己的姓名、 准考证号填写在答题卡上.
2.考生作答时，选择题用2B铅笔将答题卡对应题目的答案标号涂黑，其余各题用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效.
3.全卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，若，则取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出函数值域化简集合A，再利用给定的运算结果，借助包含关系求解即得.
【详解】集合，而，
由，得，则，
所以的取值范围为.
故选：B
2. 下列结论正确的有（ ）
A. 函数的定义域为
B. 函数，的图象与轴有且只有一个交点
C. 函数的图象与直线有且只有一个交点
D. 与是相同函数
【答案】B
【解析】
【分析】求出函数的定义域，判断A的真假；根据函数的概念判断BC的真假；化简函数解析式，根据对应关系判断是否为同一个函数，判断D的真假.
【详解】对A：由且，所以函数的定义域为，故A错误；
对B：根据函数的概念，可判断B正确；
对C：由函数的概念，可得函数的图象与直线至多有一个交点，故C错误；
对D：因为的定义域为，所以，与对应关系不同，所以与不是同一个函数，所以D错误.
故选：B
3. 函数是（ ）
A. 周期为的奇函数B. 周期为的偶函数
C. 周期为的奇函数D. 周期为的偶函数
【答案】B
【解析】
【分析】由函数判断.
【详解】因为函数，
所以，
所以函数是周期为的偶函数，
故选：B
4. “函数的定义域为R”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】由函数的定义域为R，即对任意x∈R恒成立，可得a的范围，则可得 “函数的定义域为R” 是“”的必要不充分条件.
【详解】因为函数的定义域为R，
所以对任意x∈R恒成立，
①当时，对任意x∈R恒成立；
②当时，只需，解得：；
所以.
记集合，.
因为A⫋B，所以 “函数的定义域为R” 是“”的必要不充分条件.
故选：B.
5. 若，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由对数函数和指数函数的性质可得.
【详解】，且，
，
，
故，
故选：A.
6. 下列命题的否定是真命题的是（ ）
A. 每个正方形都是平行四边形
B. 是无理数，是无理数
C. ，
D. ，关于x的方程有实数根
【答案】B
【解析】
【分析】利用相关知识，逐一分析各命题的真假性，从而得到其否定的真假性，由此得解.
【详解】对于A，显然每个正方形都是平行四边形，故该命题是真命题，
所以该命题的否定是假命题，故A错误；
对于B，当时，满足是无理数，但是有理数，故该命题是假命题，
所以该命题的否定是真命题，故B正确；
对于C，当时，满足，此时，故该命题是真命题，
所以该命题的否定是假命题，故C错误；
对于D，对于方程，有恒成立，故该命题是真命题，
所以该命题的否定是假命题，故D错误；
故选：B.
7. 放射性核素锶89会按某个衰减率衰减，设初始质量为，质量与时间（单位：天）的函数关系式为（其中为常数），若锶89的半衰期（质量衰减一半所用时间）约为50天，那么质量为的锶89经过30天衰减后质量约变为（ ）（参考数据：）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据时，代入函数关系式中，可得的值，进而代入求解即可.
【详解】由题意，锶89半衰期（质量衰减一半所用的时间）所用时间为50天，
即，则，
所以质量为锶89经过30天衰减后，
质量大约为．
故选：D．
8. 已知，则的零点个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
令，可得出，则函数的零点个数等于函数与函数图象的交点个数，利用数形结合思想可得解.
【详解】令，可得出，则函数的零点个数等于函数与函数图象的交点个数，且当时，.
在同一直角坐标系中作出函数与函数的图象如下图所示：
由图象可知，两个函数共有个公共点，
因此，函数的零点个数为.
故选：C.
【点睛】本题考查函数零点个数的求解，一般转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合思想求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，下面有关结论正确的有（ ）
A. 定义域为B. 函数在上的值域为
C. 在上单调递增D. 函数的图象关于轴对称
【答案】AB
【解析】
【分析】根据反例可判断BC的正误，求出函数的定义域后可判断A的正误，判断函数的单调性求出函数的值域后可判断D的正误.
【详解】因为，故其定义域为，故A正确；
而，，故在上不是单调递增，
故C错误，
而，故函数的图象关于轴对称，故D错误；
又当时，因均为增函数，故在上为增函数，
故其值域为，故B正确.
故选：AB.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 至少有一个实数，使
B. “”是“”的充分不必要条件
C. 命题“，”的否定是真命题
D. “在上单调递增”是“”的必要不充分条件
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A，由实数的平方的非负性可判断；对于B，利用不等式的性质判断即可；对于C，先表示出原命题的否定，再利用二次函数的性质判断即可；对于D，求出函数的单调递增区间，转化为集合间的包含关系判断即可.
【详解】对于A，由，得，则不存在实数使得方程成立，故A错误；
对于B，若，则，充分性成立；
假设，，满足，此时不成立，必要性不成立；
所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确；
对于C，命题“，”的否定是“，”，
因为恒成立，所以“，”是真命题，
即命题“，”的否定是真命题，故C正确；
对于D，由，
得二次函数的开口向下，对称轴方程为，则单调递增区间为，
若在上单调递增，则，
所以，解得，故充分性不成立；
若，则，此时，所以在上单调递增，故必要性成立；
所以“在上单调递增”是“”的必要不充分条件，故D正确；
故选：BCD
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 为奇函数
B. 上单调递增
C. 关于的方程有2个解
D. 若关于的不等式恰有1个整数解，则正实数的范围是
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据函数解析式可直接得出为奇函数，即A正确，画出函数图象可知B错误，结合图象可得方程有2个解，即C正确，根据不等式中整数解的个数可得，即可得正实数的范围是，即D正确.
【详解】易知函数定义域为，即定义域为关于原点对称；
且满足，即可得为奇函数，即A正确；
当时，可得，
可得函数在上单调递减，即B错误；
画出函数图象如下图所示：
易知代表函数图象与和交点个数，由图可知方程有2个解，即C正确；
关于的不等式可得，
结合图象可知，当时，可知不等式有无数个整数解；
当时，区间上无整数解，
因此只需在上包含一个即可，当时，,
当时，，
因此若不等式恰有1个整数解，只需，解得；
又为正实数，所以正实数的范围是，可得D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据函数解析式判断得出其奇偶性并利用对称性画出函数图象，再由函数与方程的思想即可得出方程根与不等式的解.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 幂函数为偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减，则______．
【答案】4
【解析】
【分析】
首先根据函数的单调性可得，，再验证是否满足条件，最后求值.
【详解】在区间0,+∞单调递减，
，解得：，且，
或，
当时，，函数是偶函数，满足条件，此时，
当时，，同样满足条件，
所以.
故答案为：4
13. 已知的圆心角所对的弧长为，则这个扇形的面积为_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据弧度值的定义，结合扇形面积公式求解即可.
【详解】由题意，，故这个扇形的半径，面积为.
故答案为：
14. 设，记，则函数的最小值为_______．
【答案】0
【解析】
【分析】根据题意，由所给的定义化简函数，再结合分段函数的性质，代入计算，即可求解.
【详解】当时，解得，
当时，解得，
则，
因为在上单调递减，
在上单调递增，
所以时，有最小值，且.
故答案为：0
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知：关于的不等式的解集为，：不等式的解集为.
（1）若，求；
（2）若是的必要不充分条件，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出当时集合A，解分式不等式求出集合，然后利用交集运算求解即可；
（2）根据是的必要不充分条件求出集合和集合的关系，根据集合关系列不等式组求解即可.
【小问1详解】
由题知：当时，，解得，所以，
又，所以，解得，所以，
所以；
【小问2详解】
若是的必要不充分条件，则是的真子集，
由（1）知，
时，集合，
所以，则，又时，，符合是的真子集，
时，，符合是的真子集，所以，
综上，实数的取值范围为.
16. 已知函数
（1）用定义法证明函数在区间上是增函数；
（2）若函数的定义域为，且，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据条件，利用函数单调性的定义，即可证明结果；
（2）根据条件和（1）结果，得到不等式组，即可求解.
【小问1详解】
任取，且，，
则
，
又，，，则，，
所以，，
得到，即，
所以函数在区间上是增函数.
【小问2详解】
因为函数的定义域为，
且在区间上是增函数，由，
得到，解得或，
所以实数的取值范围为或.
17. 函数的部分图象如图所示，该图象与轴交于点，与轴交于点为最高点，的面积为．
（1）求函数的解析式；
（2）若对任意的，都有，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角形的面积求得，进而求得，利用点求得，从而求得的解析式.
（2）先求得在区间的取值范围，根据绝对值不等式的解法化简不等式，根据恒成立问题以及对数不等式等知识求得正确答案.
【小问1详解】
由题意可知：的面积，可得，
所以周期，则，
由，得，又，于是，
所以；
【小问2详解】
由，则，得，
即．由，得，
即在上恒成立，
亦即，
因为，
所以，解得，
即实数的取值范围是．
【点睛】方法点睛：利用函数图象与性质求得三角函数的解析式，其中往往是通过周期，用来进行求解，往往通过函数图象上一个点的坐标来进行求解.求解不等式恒成立问题可转化为函数的最值来进行求解.
18. 近几年以华为为代表的中国高科技企业正在不断突破科技封锁．多项技术已经“遥遥领先”．国产光刻机作为芯片制造的核心设备，也已经取得了突飞猛进的发展．已知一芯片生产商用某国产光刻机生产的型芯片经过十项指标全面检测后，分为Ⅰ级和Ⅱ级，两种芯片的某项指标的频率分布如图所示：

若只利用该指标制定一个标准，需要确定临界值，将该指标大于的产品应用于A型手机，小于或等于的产品应用于型手机．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
（1）求型芯片Ⅰ级品该项指标的第70百分位数；
（2）当临界值时，求型芯片Ⅱ级品应用于A型手机概率；
（3）已知，现有足够多的型芯片Ⅰ级品、Ⅱ级品，分别应用于A型于机、型手机各1万部的生产：
方案一：直接将型芯片Ⅰ级品应用于A型手机，其中该指标小于等于临界值的芯片会导致芯片生产商每部手机损失700元；直接将型芯片Ⅱ级品应用于型手机，其中该指标大于临界值的芯片，会导致芯片生产商每部手机损失300元；
方案二：重新检测型芯片Ⅰ级品，Ⅱ级品，会避免方案一的损失费用，但检测费用共需要101万元；
请从芯片生产商的成本考虑，选择合理的方案．
【答案】（1）第70百分位数为86；
（2）；
（3）答案见解析．
【解析】
【分析】（1）在Ⅰ级品频率分布直方图中求出频率对应的值即得；
（2）在Ⅰ级品频率分布直方图中求出的频率即得；
（3）用表示出方案一的损失值与方案二的缺失值101万元比较可得．
【小问1详解】
设型芯片Ⅰ级品该项指标的第70百分位数为，
则该指标在80以下的榞率为0.55，该指标在90以下的概率为0.8，因此该项指标的第70百分位数为一定在内，
，
（也可以用），
得，
所以型芯片Ⅰ级品该项指标的第70百分位数为86；
【小问2详解】
当临界值时，
型芯片Ⅱ级品应用于A型手机的概率为；
【小问3详解】
设直接将型芯片Ⅰ级品、Ⅱ级品应用于A型、型手机时，该芯片生产商支出为（万元），
，
所以当时，，
当时，，
当时， ，
综上：为降低芯片生产商的成本，当临界值时，选择方案二；
当临界值时，选择方案一和方案二均可；
当临界值时，选择方案一．
19. 已知是定义在上的奇函数，且，若对任意的且时，有成立.
（1）证明：在上单调递增；
（2）解不等式：；
（3）若对所有的，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；
（2）
（3）或或
【解析】
【分析】（1）根据定义法即可证明函数单调性；
（2）利用函数单调性和奇偶性可得，解不等式可得结果；
（3）不等式先对所有的得到，再由对所有的恒成立，可求得实数的取值范围.
【小问1详解】
取任意，且；
由是定义在上的奇函数，可得，
又因为对任意的且时，有成立，
所以，且；
因此可得，即.
所以在上单调递增；
【小问2详解】
由于是定义在上的奇函数，将不等式变形
可得；
由（1）可知函数在上单调递增，
所以不等式需满足，
解不等式可得；
解不等式可得或；
解不等式可得或；
综合可得；
即不等式的解集为
【小问3详解】
由（1）可知，在上的最大值为，
因为对所有的恒成立，
所以对所有的恒成立，
即对所有的恒成立，
令，即对所有的恒成立，
所以，即，
解得或或.
所以实数的取值范围为或或
【点睛】方法点睛：函数不等式恒成立问题经常借助函数单调性求得其最值，转化成不等式恒成立即可.