2025沈阳五校协作体高一上学期期末考试数学含解析

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时间：120分钟 分数：150分
试卷说明：试卷共两部分：第一部分：选择题型（1-11题58分）
第二部分：非选择题型（12-19题92分）
第Ⅰ卷（选择题 共58分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 设集合，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】解指数不等式求出集合，再根据并集的定义计算可得.
【详解】由，解得，所以，
又，
所以.
故选：C
2. 已知向量，若，则（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据已知条件，结合平面向量共线的性质，以及向量的坐标运算法则，即可求解．
【详解】，
则，解得，
故，
．
故选：A．
3. 函数的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性，结合特殊值法进行判断即可.
【详解】函数的定义域为全体非零实数，
因，
所以该函数是奇函数，其图象关于原点对称，排除AB；
而当时，有，所以，排除C，
故选：D
4. 已知数据，且满足，若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，有可能变大的是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 极差D. 方差
【答案】A
【解析】
【分析】根据极差，中位数以及方差的定义即可排除BCD，举反例即可求解A.
【详解】由于，所以原来的极差为，新数据的极差为，故极差变小，
原来和新数据的中位数均为，故中位数不变，
去掉，后，数据波动性变小，故方差变小，
因此可能变大的是平均数，比如，原数据的平均数为6.6，去掉1和12后，
新数据的平均数为，但，故A正确.
故选：A
5. 如图，矩形中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】解法一：由平面向量的加、减、数乘运算，以及平面向量基本定理，可表示，
解法二：以为原点，分别为轴的正方向建系，由，结合坐标运算，求得，可表示．
【详解】解法一：依题意①，②，③，
由②③式解得，，
代入①式得．
解法二：以为原点，分别为轴的正方向建立平面直角坐标系，
设，则，
由，有，
有，解得，得．
故选：A．
6. 设，若（，），则的值为（ ）
A. 3B. 5C. 7D. 9
【答案】B
【解析】
【分析】根据对数的运算性质可求，从而可求的值.
【详解】，
而，故，即，
故选：B.
7. 已知正实数、满足，则的最大值为（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件结合基本不等式建立不等式，从而解出的最大值.
【详解】∵
∴，
∴，即，当且仅当时取等号，
故选：B
8. 已知函数是定义域为的函数，，对任意、，均有，已知、为关于的方程的两个解，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由韦达定理可得出，可得出，且，分析函数的对称性和单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可求得的取值范围.
【详解】因为、为关于的方程的两个解，
则，解得，由韦达定理可得，
因为函数是定义域为的函数，，即，
所以，函数的图象关于点对称，则且，
因为对任意、，均有，即，
所以，函数在上为增函数，则该函数在上也为增函数，
从而可知，函数在上为增函数，
由可得，解得，所以，，
因此，关于的不等式的解集为.
故选：D.
【点睛】方法点睛：利用函数的对称性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：
（1）把不等式转化为；
（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数对称性的区别.
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
9. 若，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 事件与不互斥
C. 事件与相互独立D. 事件与不一定相互独立
【答案】BC
【解析】
【分析】利用对立事件概率和为可判断错误；根据互斥事件不可能同时发生，可判断正确；根据相互独立事件的定义和性质，可以判断正确，错误.
【详解】故错误；
又所以事件与不互斥，故正确；
则事件与相互独立，故正确；
因为事件与相互独立，所以事件与一定相互独立，故错误.
故选：
10. 下列结论中正确的是 （ ）
A. 若幂函数的图象经过点，则
B. 函数且的图象必过定点
C. 函数的单调增区间是
D. 若幂函数，则对任意、，都有
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用幂函数的定义可判断A选项；利用可判断B选项；利用复合函数法可判断C选项；利用作差法可判断D选项.
【详解】对于A选项，设幂函数的解析式为，
由题意可得，解得，则，A错；
对于B选项，因为，
所以，函数且的图象必过定点，B对；
对于C选项，因为内层函数的增区间为，减区间为，
外层函数为减函数，故函数的增区间为，C对；
对于D选项，幂函数，对任意的，则，
则对任意、，
，
，
所以，
，
所以，，可得，
所以，，D对.
故选：BCD.
11. 已知函数关于的方程有从小到大排列的四个不同的实数根，若，则（ ）
A. B.
C. 的最小值为D. 的最大值为
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A和B，根据题意画出分段函数的图像，将方程的根的问题转化为与的交点即可，通过观察图象直接判断；对于C和D，可以借助二次函数的对称性，得到运用将未知数减少，转化为函数后用基本不等式可求出的范围即可解决.
【详解】
在平面直角坐标系内作出函数的图象，如图.
关于的方程有从小到大排列的四个不同的实数根,
等价于与有四个不同交点,则，显然正确.
令，则或，所以或，
所以，当时最小，数形结合有，故B不正确.
运用二次函数对称性，可知
，
当且仅当时取等号，故C正确.
根据图象，则无最大值，故D不正确.
故选：AC.
第Ⅱ卷（非选择题 共92分）
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 已知函数为奇函数，则函数的图象关于________对称.
【答案】
【解析】
【分析】由奇函数得到函数对称中心，再由函数的平移变换的关系求出函数的对称中心.
【详解】由题意可知函数关于点中心对称，
因为函数由函数向左平移1个单位得到，
所以函数关于点中心对称，
函数由向上平移1个单位得到，
所以函数关于点中心对称，
故答案为：.
13. 如图，△中，延长到，使，当点在线段上移动时，若，则的最大值是_______.

【答案】3
【解析】
【详解】试题分析：设==，0≤k≤1；
又；∴；∴t=λ﹣μ=3k，0≤k≤1；∴k=1时t取最大值3．
即t=λ﹣μ的最大值为3．
考点：平面向量的基本定理及其意义．
14. 已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是_________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，得到，联立方程组，求得，结合题意转化为成立，构造，得到在单调递增，利用二次函数的性质，分类讨论，即可求解.
【详解】因为是奇函数，是偶函数，满足，
可得，
联立方程组，解得，
又因为对任意的，都有成立，
所以，所以成立，
构造，
所以由上述过程可得在单调递增，
(i)若，则对称轴，解得；
(ii) 若，在单调递增，满足题意；
(iii) 若，则对称轴恒成立；
综上可得，，即实数的取值范围为.
故答案为：.
四、解答题
15. 随着国家将低空经济纳入战略新兴发展规划，无人机行业迎来前所未有的发展机遇．某无人机厂家为了解所生产的某类型无人机的飞行时长，随机抽取100架该类型无人机进行测试，统计得到如下频率分布表：
（1）估计该类型无人机飞行时长的平均数及第60百分位数（同一组数据用该组区间的中点值为代表，最终结果保留整数）；
（2）记飞行时长大于等于第60百分位数的为优良品，大于等于10且小于第60百分位数的为合格品．从该厂家生产的该类型无人机中按照是否为优良品并用分层抽样的方法抽取5架，再从这5架无人机中随机抽取2架，求至少有一架无人机为优良品的概率．
【答案】（1）平均数为36，第60百分位数约为39分钟．
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据给定数表，求出飞行时长的平均数，利用第60百分位数定义求出第60百分位数.
（2）利用分层抽样求出5架无人机中优良品的数量，再借助组合计数问题求出古典概率.
【小问1详解】
该类型无人机飞行时长的平均数为；
飞行时长在区间的频率为0.3，在的频率为0.65，
则该类型无人机飞行时长的第60百分位数，
由，解得，
所以该类型无人机飞行时长的第60百分位数约为39分钟.
【小问2详解】
依题意，合格品与优良品比例为，即为，
则抽取的5架无人机中，合格品有3架，优良品有2架，
所以从这5架无人机中随机抽取2架，至少有一架无人机为优良品的概率.
飞行时长（分钟）
频率
0.1
0.2
0.35
0.25
0.1
16. 如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点．
（1）若，求的值；
（2）若，，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意根据向量的线性运算法则得到，，再根据三点共线，求得即可求解.
（2）根据题意得到，，结合三点共线得到，利用基本不等式“1”的妙用即可求解.
【小问1详解】
因为，
所以，
因为是线段的中点，所以，
又因为，设，则有，
因为三点共线，所以，解得，即，
所以．
【小问2详解】
因为， ，
由（1）可知，，所以，
因为三点共线，所以，即，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为．
17. 为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投1个球．先由其中一人投篮，若投篮不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况，则比赛结束，且此人获胜．经过抽签决定，甲先开始投篮．已知甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且两人每次投篮的结果均互不干扰．
（1）求甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率；
（2）求比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）对总次数分三种情况讨论，结合相互独立事件的概率公式计算可得；
（2）分甲赢得比赛与乙赢得比赛两类讨论，根据相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得.
【小问1详解】
若甲、乙投篮总次数为次，则乙不可能获胜；
若甲、乙投篮总次数为次且乙获胜，则第一次甲未投中，乙投中第2、3次，
所以；
若甲、乙投篮总次数为次乙获胜，则第一次甲投中、第二次甲未投中，乙投中第3、4次，
所以；
记甲、乙投篮总次数不超过4次时且乙获胜为事件，则，
所以甲、乙投篮总次数不超过4次时，乙获胜的概率为；
【小问2详解】
若比赛结束时甲赢得比赛且甲恰好投了2次篮，则甲连续投中次，则概率；
若比赛结束时乙赢得比赛，又甲恰好投了2次篮，
①甲投中第一次，第二次甲未投中，乙投中第3、4次，则；
②甲第一次未投中，第二次乙未投中，第3次甲未投中，第4、5次乙投中，
则；
④甲第一次未投中，第二次乙投中，第3次乙未投中，第4甲未投中，第5、6次乙投中，
则；
综上可得比赛结束时，甲恰好投了2次篮的概率.
【点睛】关键点点睛：本题第2小问解决的关键是分析得甲恰好投了2次篮的所有情况，从而结合独立事件的概率公式即可得解.
18. 已知函数，.
（1）若存在，使得成立，求实数的取值范围；
（2）若不等式，对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由条件化简方程为，令得到关于的二次函数，由函数定义域求函数值域即可.
（2）将函数解析式代入不等式，通过换元并由单调性求出参数范围，用分离常数得到不等式，讨论函数的单调性通过定义域求得最大值，从而求得实数的取值范围.
【小问1详解】
∵，由，
∴在有解，
令，所以，
当时；当趋向于0或时趋向于1，即.
小问2详解】
，即，
令，则，
因为，为增函数，所以，
所以化为对任意的恒成立，
在上单调递减，
当时，取得最大值为，
所以，实数的取值范围为.
19. 定义一种新的运算“”：，都有.
（1）对于任意实数，试判断与的大小关系；
（2）若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，求实数的取值范
围；
（3）已知函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的范围.
【答案】（1）；
（2）或；
（3）且.
【解析】
【分析】（1）由题设计算与，即可判断；
（2）先化简不等式得，再结合题设以及一元二次函数性质列出关于a的不等式组计算求解即可；
（3）先化简两函数，再将问题转化成值域间的关系求值域即可求解.
【小问1详解】
∵，
∴，
故，
∴.
【小问2详解】
∵，
∴原不等式可化为：，即，
为满足题意，必有，即或①，
令，
由于，结合①可得：，
∴的一个零点在区间，另一个零点在区间，
从而，即②，
由①②可得：或.
【小问3详解】
由题意得，
设，
令，则，
∴，
∴，
设，其值域为，
∵，
∴，故的值域为，
根据题意可知：，∴，
解之得：且.
【点睛】方法点睛：对于新定义题目，解决此类题的策略是：
1. 准确理解“新定义”，明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论等；
2. 重视“举例”，利用例子可以检验是否理解和懂得正确运用，归纳例子提供解题思路和方法；
3. 运用新定义去解决问题时，根据新定义交代的性质或运算规则去运用即可，解决问题的过程中还需要将“新定义”的知识与已有知识联系起来，利用已有知识经验来解决问题.