上饶市2025届高三第一次高考模拟考试数学试卷及参考答案

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1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
2.回答第I卷时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效.
4.本试卷共19题，总分150分，考试时间120分钟.
第I卷（选择题）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2.设，其中为虚数单位.则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知数列是等差数列，记数列的前项和为，且，则（ ）
A.3 B. C.1 D.
4.设，若，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知向量满足，且，则与的夹角等于（ ）
A. B. C. D.
6.函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
7.如图，长方体中，，点为平面上一动点，若，则点的轨迹为（ ）
A.抛物线 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.圆
8.表示数集中最小的数.已知，且，则的最大值为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.8
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.
9.下列结论正确的是（ ）
A.数据的第70百分位数是23.
B.随机变量X服从二项分布，则
C.一组样本数据的方差，则这组样本数据的总和为60.
D.随机变量X服从正态分布，且，则
10.除数函数的函数值等于的正因数的个数，例如.若则下列选项中正确的是（ ）
A.
B.
C.若，则的最小值为1011
D.若，则
11.已知函数，则下列说法中正确的是（ ）
A.的图象关于原点对称
B.的值域为
C.当时，恒成立
D.若在区间上有2024个不同的实数根，则的取值范围是
第II卷（非选择题）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若，则__________.
13.如图，已知正方体的棱长为4，点是的侧面上的一个动点，当点到点的距离相等时，三棱锥的外接球的表面积为__________.
14.在中，为钝角，，作交于.已知，则__________.（其中表示不超过的最大整数）
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题13分）足球运动是一项古老的体育活动，源远流长，最早起源于我国古代的一种球类游戏蹴鞠，后来经过阿拉伯人传到欧洲，发展成现代足球.某校为了了解学生爱好足球是否与性别有关，对本校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各50名作为样本，其中女生有20人爱好足球，男生有40人爱好足球.
附：.
（1）根据已知条件，填写下列列联表，并依据独立性检验表，判断是否有的把握认为该校学生爱好足球与性别有关？
（2）现从该样本爱好足球的学生中，采用分层随机抽样的方法随机抽取6名学生，再从这6名学生中随机抽取3人，设抽取的3人中男生的人数为，求的分布列和数学期望.
16.（本小题15分）已知双曲线的焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率为.
（1）求双曲线的方程；
（2）若过点的直线与双曲线交于两点，的面积为，求直线的方程.
17.（本小题15分）如图1，在矩形中，，连接，将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2，若点在线段上且.
（1）求证：平面；
（2）若点在线段上，且使得平面与平面夹角的余弦值为，求.
18.（本小题17分）已知数列，设分别为与空间直角坐标系中轴，轴，轴正方向相同的单位向量，.
（1），求的值.
（2）定义：若，且，则，根据上述定义，若，设，求
（3）若数列均为正项数列，且为常数，且，求证：.
19.（本小题17分）已知常数，定义在的函数.
（1）求函数的最小值：
（2）若函数且的最小值等于的取小值.
（i）求实数的值；
（ii）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
上饶市2025届第一次高考模拟考试参考答案
12. 13. 14.4
7.C【详解】：根据平面截圆锥所得截线的定义可知轨迹是双曲线的一支.
8.C
【详解】由已知可得，得则，
又由，所以，解得：
故选：C.
9.BC
【详解】对选项A：数据共10个数，
从小到大排列为，由于，
故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即，
所以第70百分位数是23.5，故A错误；
对选项B：.
故B正确.
对选项C：由方差的公式可知，该组数据的平均数是3，这组样本数据的总和为，C正确；
对选项D：服从正态分布，
所以，故D错误.
故选：BC
10.ABD
【详解】对选项A：由，即个2和个3的乘积，由分步计数原理可得.所以，所以A正确.
对选项B：同理，即个2的乘积，所以.所以B正确.
对选项C：又由，即个3的乘积，所以.若，则的最小值为1012，所以C不正确.
对选项D：又，所以D正确.
故选：ABD
11.AC
【详解】对选项A：因为
所以A正确；
对选项B：设，则可表为，因为是增函数，所以，所以的值域为，所以B不正确；对选项C：设，则，
所以在上递减，所以即，所以C正确；
对选项D：因为，所以关于对称，又的图象关于原点对称，故是周期函数且周期，而，所以在上递增，可作出草图，如下图
设，则，该方程两根满足，显然均不为0且最多
仅有一个属于，不妨设
若时，方程在区间[上有1013个实数根；
若时，方程在区间[上有2026个实数根；
若时，在区间上有2024个实数根；
若时，方程在区间上有1012个实数根；
所以方程在区间仅有一根，
所以，
所以，所以D不正确.
故选：AC
【详解】：点到点的距离相等，即点与点重合，则正四面体的外接球与正方体的外接球一样，，外接球的表面积为
14.4
【详解】，由余弦定理可得：
所以，即
15.解：（1）填写列联表为：
根据列联表中的数据，
依据的独立性检验，可以推断，有的把握认为该校学生爱好足球与性别有关.
（2）由（1）知，采用分层随机抽样的方法随机抽取6名学生，
其中男生人数为（人）；女生人数为（人）
由题意可得，随机变量的所有可能取值为.
，
随机变量的分布列如下：
则
16.【详解】（1）（2）或
（1）抛物线的焦点坐标为，所以双曲线中，
双曲线的离心率为，即
双曲线方程为
（2）设直线的方程为，
所以原点到直线的距离，
联立，得，
所以且，
所以，且，
所以，
所以，
所以，
解得，所以，
所以直线的方程为或.
（其他解法酌情给分）
17.【详解】（1）在中，
在中，，
.
又平面平面，平面平面平面
平面.6分
（2）如图，过点作，则两两互相垂直，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，则
，
，
设，则，
设平面的一个法向量为，
则，令，则
平面的一个法向量为
易知平面的一个法向量
平面与平面夹角的余弦值为
解得
18.【详解】（1）由题设知
（2）
，
设，
则
可得：
同理可得：
故.
设数列的前项的和为，数列的前项的和为，数列的前项的和为.
（i）当时，，
故成立；
（ii）当时，
因为，所以，即
，所以
，
.
综上可得：.
19.【详解】（1），
由得，由得
所以在区间递减，在区间递增；
所以.
（2）（i）
①当时，在区间递减，无最小值，不符；
②当时，由得，由得
所以在区间递减，在区间递增；
故
因为和有相同的最小值，
所以即
所以
（ii）由上可知在递减，在递增；
在递减，在递增；且.
①当时，与均无交点，不符；
②当时，与均只有1个点，共2个交点，不符；
③当时，在区间递减，所以时，，
所以与最多1个交点；
同理与最多1个交点；
故与一共最多2个交点，不符；
④当时，与各有2个交点，设其横坐标分
别为且，
因为与共有3个交点，
所以中必存在两个相等，不妨设，
则即，
所以
下面证明存在使得.
设，
因为
且，
所以在区间至少有1个零点.
结合与各有2个交点及它们的单调性知，
所以存在，使得直线与共有3个交点.
因为，
所以，所以，
所以即，所以.0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
爱好
不爱好
合计
男生
女生
合计
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
D
B
D
C
D
A
C
C
BC
ABD
AC
爱好
不爱好
合计
男生
40
10
50
女生
20
30
50
合计
60
40
100
1
2
3