2025高考数学考二轮专题突破练15空间位置关系、空间角的向量方法-专项训练【含答案】

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1.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4,△A1BC的面积为22.
(1)求A到平面A1BC的距离;
(2)设D为A1C的中点,AA1=AB,平面A1BC⊥平面ABB1A1,求二面角A-BD-C的正弦值.
2.(2024·九省联考)如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,O为AC与BD的交点,AA1=2,∠C1CB=∠C1CD,∠C1CO=45°.
(1)证明:C1O⊥平面ABCD;
(2)求二面角B-AA1-D的正弦值.
3.如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,D为△ABC所在平面内一点,且四边形ABCD是菱形,AC∩BD=O,四边形ACC1A1为正方形,平面A1DC1⊥平面A1B1C1.
(1)求证:B1O⊥平面ABCD;
(2)求二面角C-DC1-A1的正弦值.
4.(2024·广东韶关高三模拟)如图,圆柱OO1内有一个直三棱柱ABC-A1B1C1,三棱柱的底面三角形内接于圆柱底面,已知圆柱OO1的轴截面是边长为6的正方形,AB=AC=30,点P在线段OO1上运动.
(1)证明:BC⊥PA1;
(2)当PA1=PB时,求BC与平面A1PB所成角的正弦值.
5.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D为AC的中点,AB=BC=2,∠AA1B1=∠B1BC.
(1)证明:BB1⊥AC;
(2)若BB1⊥BC,且满足: , (待选条件).
从下面给出的①②③中选择两个填入待选条件,求二面角B-B1D-C1的正弦值.
①三棱柱ABC-A1B1C1的体积为33;
②直线AB1与平面BCC1B1所成的角的正弦值为3913;
③二面角A-BB1-C的大小为60°.
6.如图,在三棱锥A-BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,∠ACB=∠ACD=θ.
(1)求证:AC⊥BD.
(2)有三个条件:①θ=60°;②直线AC与平面BCD所成的角为45°;③二面角A-CD-B的余弦值为33.请你从中选择一个作为已知条件,求直线BC与平面ACD所成角的正弦值.
专题突破练15 空间位置关系、空间角的向量方法 答案
1.解 (1)由题意可得,VA-A1BC=VA1-ABC=13S△ABC·AA1=13V直三棱柱ABC-A1B1C1=13×4=43.
设点A到平面A1BC的距离为d,则13S△A1BC·d=13×22·d=43,∴d=2.
(2)连接AB1交A1B于点E,如图.
∵AA1=AB,∴AB1⊥A1B.
又平面A1BC⊥平面ABB1A1,平面A1BC∩平面ABB1A1=A1B,∴AB1⊥平面A1BC.
又BC⊂平面A1BC,∴BC⊥AB1,又BC⊥BB1,AB1,BB1⊂平面ABB1A1,且AB1∩BB1=B1,
∴BC⊥平面ABB1A1,∴BC⊥AB,BC⊥A1B.
∴AB,BC,BB1两两垂直.以B为坐标原点,以BC,BA,BB1的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.
设AA1=AB=h,
则BC·ℎ2·ℎ=4,BC·2·ℎ2=22,
解得h=BC=2.
∴点A(0,2,0),B(0,0,0),D(1,1,1),E(0,1,1).
设n1=(x1,y1,z1)为平面ABD的一个法向量.
∵BA=(0,2,0),BD=(1,1,1),
∴n1·BA=2y1=0,n1·BD=x1+y1+z1=0.
令x1=1,则z1=-1,∴n1=(1,0,-1).
由AB1⊥平面A1BC,得AE为平面BDC的一个法向量,而AE=(0,-1,1),
∴cs=n1·AE|n1||AE|=-12.
∴二面角A-BD-C的正弦值为1--122=32.
2.(1)证明 如图,连接BC1,DC1,
因为底面ABCD是边长为2的正方形,所以BC=DC,
又因为∠C1CB=∠C1CD,CC1=CC1,
所以△C1CB≌△C1CD,所以BC1=DC1,点O为线段BD的中点,所以C1O⊥BD.
在△C1CO中,CC1=2,CO=12AC=2,∠C1CO=45°,
所以cs∠C1CO=22=C1C2+OC2-C1O22×C1C×OC⇒C1O=2,则C1C2=OC2+C1O2⇒C1O⊥OC,
又OC∩BD=O,OC⊂平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以C1O⊥平面ABCD.
(2)解 由题知,在正方形ABCD中,AC⊥BD,C1O⊥平面ABCD,所以以O为坐标原点,AC,BD,OC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系如图所示,
则B(0,2,0),D(0,-2,0),A(2,0,0),C(-2,0,0),C1(0,0,2),
则AA1=CC1=(2,0,2),AB=(-2,2,0),AD=(-2,-2,0).
设平面BAA1的法向量为m=(x1,y1,z1),平面DAA1的法向量为n=(x2,y2,z2),
则AA1·m=0,AB·m=0⇒2x1+2z1=0,-2x1+2y1=0⇒m=(1,1,-1),
AA1·n=0,AD·n=0⇒2x2+2z2=0,-2x2-2y2=0⇒n=(1,-1,-1).
设二面角B-AA1-D的大小为θ,
则cs θ=m·n|m||n|=13×3=13,
所以sin θ=1-cs2θ=223,
所以二面角B-AA1-D的正弦值为223.
3.(1)证明 如图,取A1C1的中点M,连接MD,MB1,MO.
由题意可知B1M∥BD,B1M=BO=OD,
所以四边形B1MDO是平行四边形.
因为A1B1=B1C1,所以B1M⊥A1C1.
因为四边形ACC1A1为正方形,所以OM⊥A1C1.
又OM∩B1M=M,所以A1C1⊥平面B1MDO.
又MD⊂平面B1MDO,所以A1C1⊥DM.
又平面A1DC1⊥平面A1B1C1,平面A1DC1∩平面A1B1C1=A1C1,DM⊂平面A1DC1,
所以DM⊥平面A1B1C1.
又平面ABCD∥平面A1B1C1,
所以DM⊥平面ABCD.
因为四边形B1MDO是平行四边形,
所以B1O∥DM,所以B1O⊥平面ABCD.
(2)解 以O为坐标原点,OC,OD,OB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系如图所示,则C(1,0,0),D(0,3,0),C1(1,3,1),A1(-1,3,1),
所以CD=(-1,3,0),DC1=(1,0,1),A1C1=(2,0,0),OD=(0,3,0).
设平面CDC1的法向量为m=(x,y,z),
则m·CD=0,m·DC1=0,即-x+3y=0,x+z=0,
令y=1,则x=3,z=-3,所以m=(3,1,-3)为平面CDC1的一个法向量.
因为OD·A1C1=0,OD·DC1=0,所以OD=(0,3,0)为平面A1DC1的一个法向量.
设二面角C-DC1-A1的大小为θ,则|cs θ|=|cs|=|m·OD||m||OD|=37×3=77,
所以sin θ=1-cs2θ=427.
所以二面角C-DC1-A1的正弦值为427.
4.(1)证明 如图,连接AO并延长,交BC于M,交圆柱侧面于N,
因为A1O1⊥B1C1,OO1为圆柱的高,
所以A1O1,B1C1,OO1两两垂直,以O1为坐标原点,过点O1作B1C1的平行线为x轴,以A1O1所在直线为y轴,以O1O所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,OO1=AA1=AN=6,AB=AC=30.
在△ABC中,由射影定理得AC2=AM·AN=30,所以AM=5,OM=AM-AO=2,从而CM=BM=(30)2-52=5,
所以A1(0,-3,0),B(5,2,6),C(-5,2,6),BC=(-25,0,0).
设P(0,0,λ),所以A1P=(0,3,λ),A1P·BC=0,所以BC⊥PA1.
(2)解 由(1)可得,BP=(-5,-2,λ-6),
所以|A1P|=|BP|,故9+λ2=5+4+(λ-6)2,解得λ=3,即点P是线段O1O的中点,
所以A1P=(0,3,3),BP=(-5,-2,-3).
设平面A1PB的一个法向量为n=(x,y,z),
则3y+3z=0,-5x-2y-3z=0,取y=1,得n=(55,1,-1),
设BC的一个方向向量为m=(1,0,0),于是得|cs|=|55(55) 2+12+(-1)2|=1111,
设BC与平面A1PB所成角为θ,则sin θ=|cs|=1111,
所以BC与平面A1PB所成角的正弦值为1111.
5.(1)证明 在三棱柱ABC-A1B1C1中,由题意可得AA1=B1B,∠AA1B1=∠B1BC,A1B1=BC,
∴△AA1B1≌△B1BC,
∴AB1=CB1.
又AD=DC,∴B1D⊥AC,
同时在△ABC中,∵AB=BC,AD=DC,
∴BD⊥AC,
∵B1D∩BD=D,B1D,BD⊂平面BDB1,
∴AC⊥平面BDB1,
又BB1⊂平面BDB1,∴AC⊥BB1.
(2)解 由(1)知BB1⊥AC,又BB1⊥BC且AC∩BC=C,
∴BB1⊥平面ABC,
∴平面ABC⊥平面BCC1B1.
方案一:选择①③.
∵BB1⊥平面ABC,
∴BB1⊥AB,BB1⊥BC,
∴∠ABC为二面角A-BB1-C的平面角,即∠ABC=60°,
∴AC=2,∴BD=3,
∴S△ABC=12×2×2×sin 60°=3.又三棱柱ABC-A1B1C1的体积为33,∴BB1=3.
(方法一)取A1C1的中点为E,连接EB1,ED,过E作EF⊥B1D于点F,连接C1F,
∵AC⊥平面BDB1,∴EC1⊥平面BDEB1,
又EF⊥B1D,∴C1F⊥B1D,
∴∠EFC1为二面角E-B1D-C1的平面角,
其中C1E=1,EF=32,C1F=132,则sin∠EFC1=21313.
∵二面角B-B1D-C1的平面角与二面角E-B1D-C1的平面角互补,
故二面角B-B1D-C1的正弦值为21313.
(方法二)如图所示,建立空间直角坐标系,
则B(0,1,0),B1(3,1,0),C1(3,-1,0),D0,-12,32.
设平面BDB1的一个法向量为m=(x1,y1,z1),且BB1=(3,0,0),BD=0,-32,32,
则m·BB1=0,m·BD=0,即3x1=0,-32y1+32z1=0,令y1=1,则x1=0,z1=3,故m=(0,1,3).
设平面B1DC1的一个法向量为n=(x2,y2,z2),且C1B1=(0,2,0),C1D=(-3,12,32),
则n·C1B1=0,n·C1D=0,即2y2=0,-3x2+12y2+32z2=0,
令x2=-1,则y2=0,z2=-23,故n=(-1,0,-23).
cs=m·n|m||n|=-31313,
故二面角B-B1D-C1的正弦值为21313.
方案二:选择①②.
过点A作AO⊥BC于点O.
∵平面ABC⊥平面BCC1B1,AO⊥BC,AO⊂平面ABC,
∴AO⊥平面BCC1B1,∴直线AB1与平面BCC1B1所成角为∠AB1O,且sin∠AB1O=3913.
设AO=x,BB1=y,
则VABC-A1B1C1=xy=33,sin∠AB1O=xy2+4=3913,
解得x=3,y=3,即AO=3,BB1=3.
余下解法参考方案一.
方案三:选择②③.
过点A作AO⊥BC于点O,
∵BB1⊥平面ABC,
∴BB1⊥AB,BB1⊥BC,
∴∠ABC为二面角A-BB1-C的平面角,即∠ABC=60°,
∴AC=2,∴AO=3.
∵平面ABC⊥平面BCC1B1且交线为BC,AO⊥BC,AO⊂平面ABC,
∴AO⊥平面BCC1B1,
∴直线AB1与平面BCC1B1所成角为∠AB1O,且sin∠AB1O=3913.
设BB1=y,则sin∠AB1O=AOAB1=3y2+4=3913,
解得y=3,即BB1=3.
余下解法参考方案一.
6.(1)证明 如图,取BD的中点O,连接OA,OC,则OC⊥BD.
因为BC=DC,∠ACB=∠ACD=θ.AC=AC,
所以△ABC≌△ADC,
所以AB=AD,所以OA⊥BD.
又OA∩OC=O,
所以BD⊥平面AOC.
又AC⊂平面AOC,所以AC⊥BD.
(2)解 在直线AC上取点P,使得∠POC=90°,连接PB,PD,
由(1)知BD⊥平面AOC,PO⊂平面AOC,
所以BD⊥PO.
又OC∩BD=O,所以PO⊥平面BCD.
由(1)知OC⊥BD,所以OC,OD,OP两两互相垂直.
以O为原点,OC,OD,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.如图所示.
因为∠BCD=90°,BC=CD=1,所以OC=OB=OD=22.
又PO⊥平面BCD,
所以PB=PC=PD.
选①,由θ=60°,可知△PCD是等边三角形,所以PD=CD=1,OP=22.
所以P0,0,22,C(22,0,0),D0,22,0,B0,-22,0,
所以BC=22,22,0,DC=22,-22,0,DP=0,-22,22.
设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),
则n·DC=22x-22y=0,n·DP=-22y+22z=0,
取x=1,则y=z=1,所以n=(1,1,1)为平面PCD的一个法向量.
设直线BC与平面PCD所成的角为α,
则sin α=|cs|=|BC·n||BC||n|=21×3=63.
因为平面ACD与平面PCD为同一个平面,所以直线BC与平面ACD所成角的正弦值为63.
选②,由PO⊥平面BCD,可知∠PCO为直线AC与平面BCD所成的角,所以∠PCO=45°,所以OP=OC=22.所以P0,0,22,C22,0,0,D0,22,0,B(0,-22,0),
所以BC=(22,22,0),DC=22,-22,0,DP=0,-22,22.
设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),
则n·DC=22x-22y=0,n·DP=-22y+22z=0,
取x=1,则y=z=1,所以n=(1,1,1)为平面PCD的一个法向量.
设直线BC与平面PCD所成的角为α,
则sin α=|cs|=|BC·n||BC||n|=21×3=63.
因为平面ACD与平面PCD为同一个平面,所以直线BC与平面ACD所成角的正弦值为63.
选③,作PM⊥CD,垂足为M,连接OM(图略).
由PO⊥平面BCD,CD⊂平面BCD,可知PO⊥CD.
又PO∩PM=P,所以CD⊥平面POM,所以CD⊥OM,所以∠PMO为二面角A-CD-B的平面角.
所以cs∠PMO=33,所以tan∠PMO=2.
因为OM=22×221=12,
所以OP=OMtan∠PMO=22.
所以P0,0,22,C22,0,0,D0,22,0,B0,-22,0,
所以BC=22,22,0,DC=22,-22,0,DP=0,-22,22.
设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),
则n·DC=22x-22y=0,n·DP=-22y+22z=0,
取x=1,则y=z=1,所以n=(1,1,1)为平面PCD的一个法向量.
设直线BC与平面PCD所成的角为α,
则sin α=|cs|=|BC·n||BC||n|=21×3=63.
因为平面ACD与平面PCD为同一个平面,
所以直线BC与平面ACD所成角的正弦值为63.