浙江省衢州市2024-2025学年高二上学期1月教学质量检测数学试题

这是一份浙江省衢州市2024-2025学年高二上学期1月教学质量检测数学试题，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知a=(1,0,2)，b=(2,2,m)，若a→⊥b→，则m=( )
A. 54B. −1C. 1D. 0
2.已知数列{an}是等差数列，a2=1，a3+a4=5，则a10=( )
A. 7B. 8C. 9D. 10
3.已知抛物线C：y=4x2，则抛物线C的准线方程为( )
A. y=−116B. y=116C. y=1D. y=−1
4.已知方向向量为(1,2)的直线倾斜角为α，则sin 2α=( )
A. 2 55B. −2 55C. 45D. −45
5.已知圆C：(x−3)2+(y−2)2=4，直线l：y=k(x−2)+1，则直线l被圆C截得的最短弦长为( )
A. 2B. 2C. 2 2D. 4
6.已知正项数列{an}，满足a1=1，a1a2+a2a3+⋯+anan+1+(n+1)an+12=1，则a2024=( )
A. 2B. 12C. 2024D. 12024
7.反比例函数y=1x的图象是双曲线，两条坐标轴是它的渐近线，若以其中心为原点，实轴所在的直线为x轴，重新建立直角坐标系，则双曲线在新坐标系中的方程为( )
A. x2−y2=1B. y2−x2=1C. x22−y22=1D. y22−x22=1
8.纸上画有一圆O，在圆内任取一定点A(异于点O)，将纸片折叠，使折叠上去的圆弧经过A，然后展开纸片，得到一条折痕l.继续上述过程，绕圆心一周，得到若干不同的折痕，则这些折痕围成的轮廊是什么曲线( )
A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列{an}，{bn}都是正项等比数列，则( )
A. 数列{an+bn}是等比数列B. 数列anbn是等比数列
C. 数列{lg(anbn)}是等差数列D. 数列a nbn是等比数列
10.已知抛物线C：y2=4x，过焦点F的直线与抛物线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点，准线与x轴交于点D，则下列结论正确的是( )
A. x1x2=4
B. 线段AB中点到准线的距离最小值为2
C. 若直线AB的斜率为 3，则|AB|=163
D. tan∠ADF=sinθ(θ为直线AB的倾斜角)
11.已知ABCD−A1B1C1D1为正方体，点P为棱AA1上的动点，点Q为平面PB1D1上的任意一点，Q到直线AA1和到平面ABCD的距离相等，则下列表述正确的是( )
A. 存在点P使得直线AA1与平面PB1D1所成的角为π3
B. 存在直线PQ与平面A1B1D1所成的角大于二面角P−B1D1−A1
C. 点Q所在的曲线可能为双曲线
D. 点Q所在的曲线可能为抛物线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若椭圆E：x24+y2=1的左右焦点为F1、F2，上顶点为P，则∠F1PF2= ．
13.类似二维向量，定义n维向量空间中A(a1,a2,…,an)，B(b1,b2,…,bn)两点间“距离”dAB= b1−a12+b2−a22+…+bn−an2.校服公司根据经验，得出8种标准型号及相应测量参数，如表．学生身材数据按身高、胸围、腰围、肩宽排列，用四维向量表示，看作四维向量空间中的一个点．8种标准型号为8个标准点．按“距离”分类，学生身材点与8个标准点的距离，哪个最近就归入哪一类．某学生身高172 cm，胸围89 cm，腰围73 cm，肩宽38 cm，此人身材点应归类为 型号．
14.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1，直线l是双曲线C右支的一条切线，与C的渐近线交于A、B两点，若AB的中点为(3,1)，且三角形OAB的面积S△OAB=45 5，则双曲线离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆M经过(1,0)和(3,2)，且圆心在直线3x+y−5=0上．
(1)求圆M的方程；
(2)若圆N：x2+y2+4x+4y+a=0与圆M外切，求实数a的值．
16.(本小题15分)
已知在三棱锥D−ABC中，DA⊥DC，AB⊥AC，AD=DC= 3，AB= 2，BD= 3．
(1)证明：平面BCD⊥平面ABC；
(2)求二面角A−BD−C的正弦值．
17.(本小题15分)
已知数列{an}满足an+1=2an−3且a1=5，数列{bn}满足bn+1−bn=1n(n+1)且b1=−1．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设cn=3−anbn，求数列{cn}的前n项和Sn．
18.(本小题17分)
已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，点A1,32在椭圆E上，AF⊥x轴．
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点P(0,2)的直线l与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当△AMN的面积为9时，求直线l的方程．
19.(本小题17分)
集合A={ai|ai0，bn>0成立;
对于A，不妨设an=2n，bn=3n，满足{an}，{bn}都是正项等比数列，此时an+bn=2n+3n，
因为a2+b2a1+b1=4+92+3=135，a3+b3a2+b2=8+274+9=3513，
所以a2+b2a1+b1≠a3+b3a2+b2，此时数列{ an+ bn}不是等比数列，故A不正确;
对于B，因为an+1bn+1anbn=an+1an×bnbn+1=q1q2，所以数列anbn是等比数列，故B正确;
对于C，因为lg(an+1bn+1)−lg(anbn)=lgan+1bn+1anbn=lgq1·q2为常数，
所以数列{lg(anbn)}是等差数列 ，故C正确
对于D，设an=2n，bn=3n，满足{an}，{bn}都是正项等比数列，
此时a1b1=23，a2b2=49=218，a3b3=827=281，
所以a2b2a1b1=21823=215，a3b3a2b2=281218=263，所以a2b2a1b1≠a3b3a2b2，所以数列{anbn}不是等比数列，故D不正确．
故选BC．
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查抛物线和直线的位置关系的综合应用，属于较难题．
根据已知条件结合抛物线的相关概念及各选项所需知识点逐个分析即可．
【解答】
解：由题意，焦点F(1,0)，D(0,−1)，直线AB的斜率不为0，不妨设y1>0
设直线方程为x=my+1，
由x=my+1y2=4x，消去x可得y2−4my−4=0，则y1+y2=4m,y1y2=−4，
则y1−y2= y1−y22= y1+y22−4y1y2=4 m2+1
所以x1x2=my1+1my2+1=m2y1y2+my1+y2+1=1，A错误；
x1+x2=my1+1+my2+1=my1+y2+2=4m2+2⩾2，
故AB中点到准线的距离为d=12x1+1+x2+1=12x1+x2+1⩾2，
当且仅当m=0，即直线AB⊥x轴时，等号成立．
故线段AB中点到准线的距离最小值为2，B正确；
若直线AB的斜率为 3，则m= 33，
则AB=x1+1+x2+1=x1+x2+2=4m2+4=4× 332+4=163，C正确；
当m=0时，AB⊥x轴，θ=π2，A1,2，则AF=DF=2，
此时tan∠ADF=sinθ=1；
当m≠0时，kAD+kBD=y1x1+1+y2x2+1=y1my1+2+y2my2+2=y1my2+2+y2my1+2my1+2my2+2
=2my1y2+2y1+y2my1+2my2+2=2m·−4+2·4mmy1+2my2+2=0，
则∠ADF=∠BDF，tan∠ADB=tan2∠ADF
根据两角的差的正切公式可得，tan∠ADB=tan∠ADF+∠BDF=tan∠ADF+tan∠BDF1−tan∠ADFtan∠BDF=kDA−kDB1+kDAkDB=y1x1+1−y2x2+11+y1x1+1y2x2+1=2y1−y2x1x2+y1y2+x1+x2+1
=2·4 m2+11+−4+4m2+2+1=2 m2+1m2，
又tan∠ADB=tan2∠ADF=2tan∠ADF1−tan2∠ADF=2 m2+1m2，则tan∠ADF=1 m2+1，
又tan θ=sin θcs θ=1m，sin2θ+cs2θ=1，所以sinθ=1 m2+1，则tan∠ADF=sinθ，
综上，D正确．
故选BCD．
11.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题为立体几何和圆锥曲线的综合题，属于难题．
建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解A，对于BCD利用空间中线面位置关系和正方体的结构特征进行求解．
【解答】
解：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
不妨设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，
则A(2,0,0)，A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，D1(0,0,2)，
可设P(2,0,x)，0≤x≤2，则AP=x，A1P=2−x，
D1B1=2,2,0，D1A1=2,0,0，D1P=2,0,x−2，AA1=0,0,2，
对于A，设平面PB1D1的法向量为n=a,b,c，
则n·D1B1=2a+2b=0n·D1P=2a+x−2c=0,
令a=x−2，则b=2−x，c=−2，即n=x−2,2−x,−2，
设直线AA1与平面PB1D1所成的角为θ，
则sinθ=csAA1,n=AA1·nAA1·n=−42 2x−22+4= 2 x−22+2，
因为0⩽x⩽2，所以 33⩽ 2 x−22+2⩽1，
即 33⩽sinθ⩽1，而 33